Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина I АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ 2 Тригонометричні функції

§ 17 Графіки функцій y = tg x та tg x

Побудову графіка функції у = tgx на інтервалі геометричним способом показано на малюнку 67. Тут цей інтервал поділено на 8 рівних частин і значення тангенса в кожній з точок поділу знайдено за допомогою лінії тангенсів. Зверніть увагу, що тут, як і під час побудови графіків функцій синус і косинус, за одиницю довжини обрано радіус одиничного кола. Тому, наприклад, відстань від початку координат до точки на осі абсцис дорівнює ≈ 1,57 довжини зазначеного радіуса.

За тотожністю tg(x + ) = tgx графік тангенса на інтервал можна дістати паралельним перенесенням побудованої частини графіка у = tgx уздовж осі Ох праворуч на одиниць. Аналогічно міркуючи, можна побудувати графік функції у = tgx на всій області визначення (мал. 68).

Мал. 67

Мал. 68

Побудову графіка функції у = ctgx можна здійснити кількома способами. Один з них полягає у вираженні котангенса через тангенс за допомогою формули зведення:

Отже, графік функції у = ctgx збігається з графіком функції

Побудувати останній, маючи графік функції у = tgx, можна в такій послідовності:

Тобто спочатку графік функції у = tgx слід паралельно перенести вздовж осі Ох на одиниць вліво, а потім здійснити перетворення симетрії цього графіка відносно осі абсцис.

У результаті дістанемо графік функції котангенс, зображений на малюнку 69.

Мал. 69

Пригадайте головне

1 Як побудувати графік функції у = tgx на інтервалі геометричним способом?

2. Яка властивість функції тангенс і яке перетворення графіків функцій використовується для побудови графіка функції у = tgx на інтервалах а також

3. Які перетворення графіка функції у = tgx слід здійснити, щоб одержати графік функції у = ctgx? З якої рівності вони випливають?

Розв'яжіть задачі

348. Побудуйте графік функції у = ctgx на проміжку (0; я), скориставшись даними таблиці 9.

Таблиця 9

349. Ви побудували графік функції у = ctgx лише на проміжку (0;). Зважаючи, що найменший додатний період котангенса дорівнює , то за властивістю періодичних функцій на всіх інших проміжках, довжиною одиниць, що лежать ліворуч і праворуч від проміжка (0; ), графік функції у = ctgx матиме такий самий вигляд. Ураховуючи це, побудуйте ще кілька кривих графіка функції у = ctgx праворуч і ліворуч від побудованої.

350. Користуючись побудованим графіком функції у = ctgx, знайдіть і запишіть по три проміжки, на яких ця функція: 1) набуває додатних значень; 2) набуває від’ємних значень.

Укажіть два числа (а і β), для яких котангенс дорівнює нулю. Скільки таких чисел можна вказати?

351. Побудуйте графік функції у = ctgx на проміжку (0; ), знаходячи значення котангенса у відповідних точках цього проміжку за допомогою лінії котангенсів.

Побудову виконуйте в такій послідовності:

1) накресліть одиничне коло і проведіть лінію котангенсів. Позначте на цьому колі числа 0 і ;

2) поділіть верхнє півколо одиничного кола на 8 рівних частин і позначте числа, які зображені утвореними точками поділу;

3) накресліть прямокутну систему координат, узявши за одиничний відрізок радіус одиничного кола, і позначте на осі абсцис число ;

4) поділіть відрізок (0; ) на 8 рівних частин і позначте числа, які відповідають утвореним точкам поділу;

5) проведіть через кожну із цих точок перпендикуляри до осі Ох і на кожному з них побудуйте точку, ордината якої дорівнює котангенсу відповідного числа. Для цього виміряйте відповідний відрізок на лінії котангенсів і відкладіть його вгору або вниз (залежно від знака котангенса) на побудованому перпендикулярі;

6) сполучіть побудовані точки плавною лінією і продовжте її вгору і вниз.

Порівняйте побудовану криву з відповідною частиною графіка функції у = ctgx, зображеного на малюнку 69.

352. Користуючись графіком функції у = tgx, установіть проміжки, на яких вона монотонна, і вкажіть характер монотонності (зростає, спадає). Запишіть кілька таких проміжків.

353. Якою (зростаючою, спадною) є функція у = ctgx на інтервалі (0; )? А на інших проміжках? Зробіть загальний висновок.

354. Користуючись установленими властивостями функцій у = tgx та у = ctgx, порівняйте числа:

355. Користуючись графіком функції у = tgx, знайдіть кілька значень х, для яких tgx = 0. Скільки таких значень існує? Задайте множину цих значень формулою.

356. У межах інтервалу (-2; 2) вкажіть за графіком функції у = tgx проміжки, на яких ця функція: 1) набуває додатних значень; 2) набуває від’ємних значень.

357. Виконайте завдання, аналогічне до попереднього, для функції котангенс.

358. Розв’яжіть графічно нерівність:

1) tgx > 0;   2) tgx < 0;   3) ctgx > 0;   4) ctgx < 0.

359. Побудуйте графік функції:

1) у = tg2x; 2) у = tg2x - 4.

360. Укажіть послідовність перетворень, які необхідно здійснити щодо графіка функції у = tg 1,5х, щоб дістати графік функції

Проявіть компетентність

361. Проілюструйте графічно тотожність