Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 4 Паралельність прямих і площин у просторі

§28 Аксіоми стереометрії

1. АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ

Ви вже знаєте, що властивості основних геометричних фігур, які приймають без доведення, називаються аксіомами.

Вивчені в планіметрії аксіоми виконуються в кожній площині простору.

Введення у просторі нової геометричної фігури — площини — потребує розширення системи аксіом планіметрії. Нові аксіоми коротко називатимемо аксіомами стереометрії. Вони характеризують взаємне розміщення точок, прямих і площин. Сформулюємо їх.

Аксіоми (стереометрія).

1. Існують точки, що лежать у даній площині, і точки, що не лежать у ній.

2. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.

3. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то й кожна точка цієї прямої лежить у даній площині.

4. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.

Подивіться на малюнок 104. Ви бачите, що: 1) вершина А куба лежить у площині а, а вершина А₁ не належить їй; 2) через три вершини куба А, В і С проходить єдина площина а (тому площину а можна називати інакше — площина ABC); 3) кожна точка прямої ВС лежить у площині а; 4) площина ABC перетинається з площиною В₁ВС по прямій ВС, оскільки має з нею спільну точку В.

Мал. 104

2. НАСЛІДКИ З АКСІОМ СТЕРЕОМЕТРІЇ

НАСЛІДОК 1. Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну.

Справді, будь-які дві точки даної прямої разом з даною точкою (мал. 105) утворюють три точки, що не лежать на одній прямій. За аксіомою 2, через них проходить єдина площина. За аксіомою 3, дана пряма лежить у цій площині.

Мал. 105

Мал. 106

Мал. 107

На малюнку 104 ви бачите, що площина а проходить через пряму ВС, яка містить ребро куба, і точку А — його вершину.

НАСЛІДОК 2. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину і до того ж тільки одну.

Справді, якщо на кожній з даних прямих взяти по одній точці, відмінній від точки перетину даних прямих, і точку перетину (мал. 106), то утворяться три точки, що не лежать на одній прямій. За аксіомою 2, через них проходить єдина площина. За аксіомою 3, кожна з даних прямих лежить у цій площині.

На малюнку 104 ви бачите, що площина а проходить через прямі АВ і ВС, які містять відповідні ребра куба і перетинаються в його вершині В.

Зверніть увагу:

площину можна задати:

1) трьома точками, які не лежать на одній прямій;

2) прямою і точкою, яка не лежить на ній;

3) двома прямими, що перетинаються.

Задача Через будь-яку пряму в просторі можна провести безліч площин. Доведіть.

Розв’язання. Через пряму а і точку А, що не лежить на ній, можна провести єдину площину, нехай а (мал. 107). Але, за аксіомою 1, у просторі існує безліч точок, що не лежать у площині а. Через кожну із цих точок і дану пряму можна провести площину, відмінну від площини ос. Тому таких площин існує безліч.

На малюнку 108 ви бачите, що через пряму а проходять площини а, β, у і δ.

Мал. 108

Дізнайтеся більше

1. Головна праця давньогрецького вченого Евкліда «Начала» побачила світ близько 300 р. до н. е. У ній підсумовано й систематизовано всі досягнення грецької математики. «Начала» містять 13 книжок.

Історичне значення «Начал» Евкліда полягає в тому, що в них уперше зроблено спробу застосувати аксіоматичний метод у побудові геометрії. Нині цей метод є основним для створення й обґрунтування математичних теорій.

2. Давид Гільберт (1862-1943) — німецький математик. Був визнаним світовим лідером математиків, який значно вплинув на сучасну алгебру й геометрію. Гільберт розробив систему аксіом евклідової геометрії, яка є повнішою, ніж система аксіом Евкліда. Нині «Основи геометрії» Давида Гільберта перекладено багатьма мовами світу.

Пригадайте головне

1. Що таке аксіома?

2. Сформулюйте аксіоми стереометрії.

3. Які наслідки випливають з аксіом стереометрії?

4. Як можна задати площину?

Розв'яжіть задачі

518. Наведіть приклади аксіоми.

519. Дано площину а і прямі АВ, ВС, AD і CD (мал. 109-110).

1) Які з точок А, В, С і D лежать у площині а?

2) Яку іншу назву можна дати площині а?

3) Які з прямих лежать у площині а?

520. Заданими на малюнках 111,112 з’ясуйте:

1) які спільні точки мають площини а і β;

2) по якій прямій перетинаються площини а і β.

Мал. 109

Мал. 110

Мал. 111

Мал. 112

521. Чи справджуються у просторі наведені аксіоми планіметрії:

1) через будь-які дві точки можна провести єдину пряму;

2) з будь-яких трьох точок прямої лише одна з них лежить між двома іншими;

3) через будь-яку точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній;

4) на будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок заданої довжини і до того ж тільки один;

5) кожен відрізок має певну довжину, більшу за нуль;

6) довжина відрізка дорівнює сумі довжин його частин;

7) від будь-якого променя по один бік від нього можна відкласти кут заданої градусної міри і до того ж тільки один;

8) кожен кут має градусну міру, більшу за нуль і меншу від 180°;

9) градусна міра розгорнутого кута дорівнює 180°;

10) градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається променем, що проходить між його сторонами? Відповідь поясніть.

522. Заданими на малюнках 113, 114 визначте точки:

1) які лежать у площині а;

2) які не лежать у площині β;

3) через які не проходить площина а;

4) через які проходить площина β.

523. У площині а позначте точки А, В, С і D, а поза нею — точки М і N. Чи можна дати площині а таку назву:

1) AN;   3) ВС DM;   5) ВАС;   7) DAB ;

2) ADB;   4) ACD;   6) CNB;   8) MDC ?

524. Проведіть площину а. Позначте:

1) точки В і С, які лежать у площині а, і точку А, що не лежить у цій площині;

2) точки А і С, які лежать у площині а, і точку В, що не лежить у цій площині. Проведіть прямі АС, АВ, ВС. Які з цих прямих лежать у площині а?

525. Чи можуть пряма і площина мати тільки дві спільні точки? Чому?

Мал. 113

Мал. 114

Мал. 115

Мал. 116

526. Пряма а і точка А лежать у площині а (мал. 115). Точки В і С не лежать у даній площині. Чи визначають площину, відмінну від площини а:

1) пряма а і точка B;

2) пряма а і точка С;

3) прямі АВ і АС;

4) прямі АВ і ВС? Відповідь поясніть.

527. За даними на малюнку 116 заповніть таблицю 15 за зразком, наведеним у другому її стовпці.

Таблиця 15

528. Проведіть площини а і β, що перетинаються. Позначте точки, які лежать: 1) тільки в площині а; 2) тільки в площині β; 3) у площинах а і β. Зробіть відповідний запис.

529. Чи завжди можна провести площину через три довільні точки простору? А через чотири? Відповідь поясніть.

530. Якщо три точки кола лежать у площині а, то й усі точки кола лежать у даній площині. Доведіть.

531. Чи лежать в одній площині всі прямі, що перетинають сторони даного кута? Відповідь поясніть.

532. Дано два відрізки, що перетинаються: 1) АС і BD ; 2) АВ і CD. Чи лежать в одній площині прямі BA, DC, DB і СА? Відповідь поясніть.

533. Площини а і β перетинаються по прямій а. Пряма b лежить у площині а. Ці прямі перетинаються в точці B. Чи лежить точка B на прямій а? Відповідь поясніть.

534. Доведіть, що існують точки поза даною прямою на площині, у якій лежить дана пряма.

535. Дано чотири точки, що не лежать в одній площині. Скільки площин можна провести через: 1) усі дані точки; 2) трійки даних точок; 3) пари даних точок? Відповідь обґрунтуйте.

536. Три площини попарно перетинаються по прямих а, b і с. Доведіть: якщо ці площини мають спільну точку А, то прямі а, b і с перетинаються в точці А.

Проявіть компетентність

537. Чому штативи багатьох приладів (фотоапарата, теодоліта тощо) виготовляють у формі триноги (мал. 117)?

538. Щоб перевірити, чи є дана поверхня плоскою, до неї прикладають лінійку її «ребром» в різних напрямках. Ребро лінійки має повністю лежати на даній поверхні. На чому ґрунтується така перевірка?

539. Перевіряючи, чи лежать кінці чотирьох ніжок стільця в одній площині, тесля користується двома нитками. Як він це робить?

540. Вважаючи двері кімнати моделлю площини, а петлі, замок чи засув точками, поясніть, чому незамкнені двері відчиняються, а замкнені — нерухомі.

Мал. 117