Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 5 Перпендикулярність прямих і площин у просторі

§35 Перпендикуляр і похила до площини

Подивіться на малюнок 212. Вертикально встановлена щогла, закріплена трьома стяжками, дає уявлення про перпендикуляр і похилу до площини. Так, відрізок АВ на щоглі можна вважати перпендикуляром, проведеним з точки А до поверхні землі, а одну зі стяжок АС — похилою, проведеною з точки А до поверхні землі.

Нехай дано площину а і точку А, яка не лежить у ній. Проведемо через точку А пряму, перпендикулярну до площини, яка перетинає площину в точці В (мал. 213). Говорять, що відрізок АВ є перпендикуляром, проведеним з точки А до площини а, а кінець В цього відрізка, який лежить у площині, — основою перпендикуляра.

Мал. 212

Перпендикуляром, проведеним з даної точки до даної площини, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.

Нехай АВ — перпендикуляр до площини а, a С — відмінна від точки В точка цієї площини (мал. 214). Тоді відрізок АС називають похилою, проведеною з точки А до площини а, а точку С — основою похилої. Відрізок ВС, який сполучає основи перпендикуляра та похилої, називають проекцією похилої АС на площину а.

Мал. 213

Мал. 214

Чи існує залежність між довжинами перпендикуляра й похилої, похилої та її проекції? Відповідь дає така теорема.

Теорема (властивості перпендикуляра й похилої)

Якщо з точки, взятої поза площиною, проведено до площини перпендикуляр і похилі, то:

1) перпендикуляр коротший за будь-яку похилу;

2) проекції рівних похилих є рівними й, навпаки, похилі, що мають рівні проекції, є рівними;

3) з двох похилих більша та, проекція якої більша.

Доведіть теорему самостійно, використавши властивості прямокутного трикутника.

Твердження теореми наведено в таблиці 22.

Таблиця 22

Теорема про властивості перпендикуляра й похилої застосовується на практиці. Наприклад, якщо встановлюють пляжну парасолю на ґрунті, то стяжки беруть рівної довжини. Нижні кінці їх закріплюють на однакових відстанях від основи ніжки парасолі (рівномірно по колу). Це сприяє стійкості парасолі.

Задача. З вершини С квадрата ABCD проведено перпендикуляр СМ до його площини. Знайдіть відстань від точки М до вершини А, якщо CM дорівнює 6 см, а сторона квадрата — 4 см.

Розв’язання. Проведемо діагональ АС квадрата ABCD (мал. 215). ∆ACM — прямокутний, оскільки CM ⊥ АС за означенням прямої, перпендикулярної до площини. За даною стороною квадрата знаходимо його діагональ:

З трикутника ACM, за теоремою Піфагора, матимемо:

Мал. 215

Зверніть увагу:

розв’язування задач про похилу та її проекцію на площину зводиться до розв’язування прямокутного трикутника, сторонами якого є похила, її проекція на площину й перпендикуляр до площини. Якщо такого трикутника немає на малюнку, то, щоб його утворити, проведіть допоміжні відрізки.

Подивіться на малюнки 216-217. На них зображено відстані від точки до площини (мал. 216), від прямої до паралельної їй площини (мал. 217) і між паралельними площинами (мал. 218).

Відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, проведеного із цієї точки до площини. Відстанню від прямої до паралельної їй площини називають довжину перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки цієї прямої до площини. За відстань між паралельними площинами приймають довжину перпендикуляра, проведеного з будь- якої точки однієї площини до іншої.

Мал. 216

Мал. 217

Мал. 218

Дізнайтеся більше

Значний внесок у розвиток шкільної геометрії зробив відомий український педагог-математик, доктор педагогічних наук, професор Іван Федорович Тесленко (1908-1994), який народився в с. Домоткань на Дніпропетровщині. Дотепер не втратили цінності його підручники та навчальні посібники, серед яких «Геометрія» (підручник для 9-10 класів), «Геометрія» (посібник для студентів фізико-математичних факультетів педагогічних інститутів).

Пригадайте головне

1. Що таке перпендикуляр, проведений з даної точки до площини; основа перпендикуляра?

2. Що таке похила, проведена з даної точки до площини? Що таке проекція похилої?

3. Сформулюйте властивості перпендикуляра й похилої.

4. Що називається відстанню від точки до площини; від прямої до паралельної їй площини; між паралельними площинами?

Розв'яжіть задачі

711. Назвіть на малюнку 219:

1) перпендикуляр;

2) основу перпендикуляра;

3) похилу;

4) проекцію похилої.

712. На малюнку 220 AD і DC — проекції похилих АВ і ВС.

1) AD DC. Яке із співвідношень правильне:

а) АВ = ВС; б) АВ > ВС; в) АВ < ВС?

2) АВ = ВС. Порівняйте довжини проекцій цих похилих.

Мал. 219

Мал. 220

Мал. 221

Мал. 222

713. За даними, наведеними на малюнках 221 - 223, знайдіть невідомий відрізок х.

714. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб (мал. 224). Довжина якого відрізка дорівнює відстані:

1) від вершини А до площини грані DD₁C₁C;

2) від прямої A₁D₁ до площини грані ABCD;

3) між площинами граней АА₁D₁D і BB₁C₁C?

Мал. 223

Мал. 224

715. Проведіть з точки О до площини а перпендикуляр ОМ і похилу ОК. Знайдіть довжину:

1) похилої ОК, якщо ОМ = 12 см, МК = 16 см;

2) перпендикуляра ОМ, якщо МК = 12 см, ОК = 15 см;

3) проекції МК похилої, якщо ОМ = 9 см, ОК = 15 см.

716. АВ — перпендикуляр, АС — похила, ВС — проекція похилої. Заповніть таблицю 23.

Таблиця 23

717. З точки до площини проведено перпендикуляр і похилу. Довжина похилої дорівнює а, кут між похилою і перпендикуляром — а. Знайдіть довжини перпендикуляра й проекції похилої, якщо:

1) а = 10 см, а = 60°; 2) а = 12 см, а = 45°; 3) а = 8 см, а = 30°.

718. З точки до площини проведено перпендикуляр і похилу. Довжина перпендикуляра дорівнює а, кут між похилою і перпендикуляром дорівнює а. Знайдіть довжину похилої та її проекцію на площину, якщо:

1) а = 6 см, а = 60°;   2) а = 5 см, а = 45°;   3) а = 14 см, а = 30°.

Мал. 225

Мал. 226

719. Скільки рівних похилих можна провести з даної точки до площини? Якою фігурою є геометричне місце основ цих похилих?

720. ОМ — перпендикуляр до площини квадрата ABCD, де О — точка перетину його діагоналей. Доведіть, що точка М рівновіддалена від вершин квадрата.

721. АК — перпендикуляр до площини прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Порівняйте довжини похилих КС і КВ. Поясніть відповідь.

722. ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб з ребром а. Знайдіть відстань:

1) від прямої АА₁ до площини BB₁D₁D;

2) від прямої AD до площини A₁B₁CD.

723. Порівняйте похилі МА і МС за даними, наведеними: 1) на малюнку 225; 2) на малюнку 226.

724. З точки до площини проведено перпендикуляр і похилу. Знайдіть кут між перпендикуляром і похилою, якщо довжина:

1) перпендикуляра дорівнює довжині проекції похилої;

2) проекції похилої дорівнює половині довжини похилої;

3) перпендикуляра дорівнює половині довжини похилої.

725. АВ — перпендикуляр, АС — похила, ВС — проекція похилої, а — кут між перпендикуляром і похилою. Заповніть таблицю 24.

Таблиця 24

726. З точки М до площини проведено рівні похилі МА, MB, МС, MD. Чи може чотирикутник ABCD бути: 1) квадратом; 2) паралелограмом; 3) прямокутником? Поясніть відповідь.

727. Доведіть: якщо існує точка, рівновіддалена від вершин паралелограма, то цей паралелограм — прямокутник.

728. Якщо точка рівновіддалена від вершин ромба, то цей ромб — квадрат. Доведіть.

729. Точка А розміщена на відстані а від вершин рівностороннього трикутника зі стороною а. Знайдіть відстань від точки А до площини трикутника, якщо:

1) а = см; 2)а = 3см.

730. З точки М поза площиною а проведено до неї три рівні похилі МА, MB, МС та перпендикуляр МО. Доведіть, що основа перпендикуляра О є центром кола, описаного навколо ∆ABC .

Зверніть увагу:

якщо дано кілька рівних похилих, проведених із точки до площини, то їх кінці лежать на колі, центром якого є основа перпендикуляра, проведеного на площину зі спільної точки похилих.

731. Точка D розміщена на відстані а від вершин прямокутного трикутника. Гіпотенуза трикутника дорівнює 6. Знайдіть відстань від точки D до площини трикутника, якщо:

1) а = 10 см, 6 = 12 см; 2) а = 20 см, 6 = 24 см.

732. З точки до площини проведено перпендикуляр довжиною 6 см і похилу довжиною 9 см. Знайдіть проекцію перпендикуляра на похилу.

733. З точки А до площини а проведено дві похилі, які дорівнюють 10 см і 17 см, а їх проекції відносяться, як 2 : 5. Знайдіть:

1) проекції похилих; 2) відстань від точки А до площини а.

Зверніть увагу:

якщо в задачі йдеться про дві похилі, що їх проведено з однієї точки до площини, то розгляньте два прямокутних трикутники, спільним катетом яких є перпендикуляр, проведений з даної точки до площини.

734. З точки до площини проведено дві похилі. Знайдіть довжини похилих, якщо:

1) різниця їх довжин дорівнює 6 см, а проекції похилих становлять 15 см і 27 см;

2) похилі відносяться, як 5 : 8, а проекції похилих дорівнюють 7 см і 32 см.

735. З точки до площини проведено дві рівні похилі. Знайдіть кут між кожною похилою та її проекцією, якщо кут між похилими дорівнює 60°, а кут між їх проекціями — прямий.

Проявіть компетентність

736. Щогла закріплена трьома однаковими тросами так, що їх нижні кінці віддалено від щогли на 20 м, а верхні закріплено на висоті 32 м. Які довжини тросів?

737. У підвалі, що має форму півциліндра (мал. 227), треба поставити два стояки, основи яких мають бути однаково віддалені по підлозі від найближчої стіни й розміщатися на відстані 2 м один від одного. Визначте висоту стояків, якщо ширина підвалу становить 4,6 м.

738. Потрібно протягнути два електричних дроти від стовпа до будинку (мал. 228). На стовпі вони кріпляться на висоті 9 м, а на стіні будинку — на висоті 4 м. Скільки потрібно дроту, якщо відстань від стовпа до будинку становить 20 м, а на кріплення і провисання слід додати 6 % знайденої довжини?

Мал. 227

Мал. 228

Мал. 211