Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 6 Координати і вектори

§40 Вектори у просторі

1. ЗАДАНИЯ ВЕКТОРА У ПРОСТОРІ

У стереометрії, які в планіметрії, вектором вважатимемо напрямлений відрізок (мал. 288). Його початок і кінець задають довжину і напрям вектора. Від точки прикладання абстрагуються.

Мал. 288

Зверніть увагу:

щоб задати вектор, достатньо вказати його початок і кінець.

У просторі, як і на площині, вектор позначають за допомогою риски або стрілки: (мал. 289). Аналогічним є означення довжини вектора та його позначення:

(мал. 290). Так само визначають нуль-вектор та одиничний вектор (за означенням, || = 1).

Мал. 289

Мал. 290

Мал. 291

2. КОЛІНЕАРНІСТЬ І КОМПЛАНАРНІСТЬ ВЕКТОРІВ

У просторі, як і на площині, два вектори є колінеарними, якщо вони паралельні одній прямій (мал. 291). Позначають так само, як і на площині:

Інші поняття та позначення також є аналогічними (мал. 292):

— співнапрямлені вектори:

— протилежно напрямлені вектори:

— рівні вектори (за означенням, вони мають рівні довжини і співнапрямлені);

— протилежні вектори

Новим для простору є поняття компланарних векторів.

Мал. 292

Вектори називаються компланарными, якщо вони паралельні одній площині.

На малюнку 293 ви бачите компланарні вектори Вони паралельні площині а.

Мал. 293

3. ДІЇ З ВЕКТОРАМИ У ПРОСТОРІ

У просторі, як і на площині, для будь-якого вектора і деякої точки О існує лише одна точка М, що (мал. 294). Побудову точки М називають відкладанням вектора від точки О.

Будь-які вектори у просторі можна відкласти від спільної точки. Тому, як і на площині, у просторі два вектори додають за відомими вам правилами — трикутника (мал. 295) або паралелограма (мал. 296). Різницю двох векторів у просторі знаходять так само, як і на площині (мал. 297). Узагалі, для будь-яких трьох точок простору А, В і С справджуються рівності:

Для додавання трьох некомпланарних векторів застосовують правило паралелепіпеда (мал. 298).

Мал. 294

Мал. 295

Мал. 296

Мал. 297

Мал. 298

Добуток вектора на число k ≠ 0 визначають у просторі так само, як і на площині. За означенням:

1)

2) коли k > 0 (мал. 299, а);

3) коли k < 0 (мал. 299, б).

Добуток нуль-вектора на число і вектора на число нуль є нуль-вектором:

Мал. 299

Властивості додавання векторів і множення вектора на число наведено в таблиці 31.

Таблиця 31

4. ДОВЖИНА ВЕКТОРА. КУТ МІЖ ДВОМА ВЕКТОРАМИ

Ви вже знаєте, що довжина вектора — це довжина відрізка АВ. Нехай у прямокутній декартовій системі координат (мал. 300) точки А і В мають координати: А (х₁; у₁; z₁), В (х₂; у₂; z₂). Скористаємося формулою довжини відрізка:

Мал. 300

Тоді:

Одержану формулу називають формулою довжини вектора за координатами його кінців.

Числа а₁ = х₂ - х₁, а₂ = у₂ - у₁, а₃ = z₂ - z₁ вважають координатами вектора

Тоді для вектора (а₁; а₂; а₃) одержимо формулу довжини вектора за його координатами:

Задача 1. Знайдіть довжину вектора (3; 0; 4).

Розв’язання.

Кут між векторами можна знайти за формулою:

Приймемо цю формулу без доведення.

Задача 2. Знайдіть кут А трикутника ABC, якщо А (1; 1; 3), В (1; 3; 3), С (1; 3; 5).

Розв’язання. Шуканий кут ВАС трикутника ABC дорівнює куту між векторами (мал. 301), тому спочатку знайдемо координати цих векторів:

Тепер знайдемо косинус кута BАС:

Мал. 301

Отже, косинус кута ВАС дорівнює тому ∠ВАС = 45°.

Дізнайтеся більше

1 Ви знаєте, що вектори знайшли широке застосування у фізиці, механіці тощо. Наприклад, на малюнку 302 рух кинутого м’яча описується такими векторами, як переміщення м’яча,

швидкості, сили тяжіння, кутової швидкості обертання м’яча навколо осі.

2. Термін «колінеарний» походить від латинського сполучення: со (сum) — разом, спільно, lіnео — лінія, а термін «компланарний» — від латинського сполучення: со (сum) — разом, спільно, planum — площина.

Мал. 302

3. У 1918 р. побачила світ книжка «Простір, час, матерія» видатного німецького математика Германа Вейля (1885-1955). Учений запропонував покласти в основу геометрії лише два поняття — «точка» і «вектор» і чотири операції над ними. Побудована автором теорія широко застосовується в сучасній фізиці, кристалографії, хімії, економіці та інших науках. За роботи з геометрії та спеціального розділу алгебри — теорії груп Г. Вейль отримав Міжнародну премію імені Лобачевського.

Пригадайте головне

1. Поясніть, що таке вектор. Як його позначають?

2. Що таке довжина або модуль вектора?

3. Який вектор називають нуль-вектором; одиничним вектором?

4. Які вектори називають колінеарними; співнапрямленими? протилежно напрямленими; рівними? протилежними? Як їх позначають?

5. Що таке компланарні вектори?

6. Як знайти суму двох векторів у просторі? А різницю?

7. Поясніть, як знайти суму трьох некомпланарних векторів за правилом паралелепіпеда.

8. Як визначають добуток вектора на число?

9. Які властивості має додавання векторів; множення вектора на число?

10. Як знайти довжину вектора? Кут між векторами?

Розв'яжіть задачі

848. На малюнку 303 назвіть:

1) усі зображені вектори; 2) вектори з початком у точці А; 3) колінеарні вектори; 4) співнапрямлені вектори; 5) протилежно напрямлені вектори; 6) компланарні вектори.

849. Вектор задано двома точками:

1) А і В; 2) В і А; 3) Н і Н. Побудуйте вказаний вектор. Зробіть відповідний запис.

850. Вектор задано двома точками:

1) С і В; 2) D і С. Побудуйте вказаний вектор. Зробіть відповідний запис.

Мал. 303

Мал. 304

Мал. 305

851. Чому дорівнює модуль вектора (мал. 304):

Чи є серед даних векторів одиничні вектори?

852. Чому дорівнює модуль вектора (мал. 305):

Чи є серед даних векторів одиничні вектори?

853. За даними на малюнку 306 побудуйте вказані вектори:

854. За даними на малюнку 307 побудуйте вказані вектори:

855. На малюнку 308 дано вектор . Побудуйте вектор:

856. На малюнку 309 дано вектор . Побудуйте вектор:

Мал. 306

Мал. 307

Мал. 308

Мал. 309

857. Який з векторів має більшу довжину:

Відповідь поясніть.

858. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Побудуйте вектори:

859. Побудуйте паралелепіпед. Чи можна позначити два вектори з кінцями у вершинах паралелепіпеда так, щоб вони були: 1) колінеарними; 2) співнапрямленими; 3) протилежно напрямленими; 4) рівними; 5) протилежними? Наведіть приклади.

860. Побудуйте паралелепіпед. На його ребрах задайте три некомпланарні вектори та знайдіть їх суму, якщо: 1) три вектори мають спільний початок; 2) два вектори мають спільний початок; 3) вектори не мають спільного початку.

861. Знайдіть координати вектора Заповніть таблицю 32.

Таблиця 32

862. Заповніть таблицю 33.

Таблиця 33

863. Знайдіть координати точки А, якщо:

864. Знайдіть довжину вектора якщо:

1) А (3; 2; 1), В (8; 7; 1); 2) А (10; 3; 3), В (-2; 0; -1).

865. Знайдіть довжину вектора якщо А (6; 4; 0); В (-3; 1; ).

866. Знайдіть довжину вектора :

867. Яка довжина вектора

868. Знайдіть кут між векторами:

869. Знайдіть кут між векторами

870. Точка А лежить між точками В і С. Точка М лежить між точками В і С. Серед векторів назвіть:

1) співнапрямлені вектори; 2) протилежно напрямлені вектори.

871. Побудуйте вектори якщо їх довжини відповідно дорівнюють 5 см і 10 см та відомо, що ці вектори: 1) протилежно напрямлені; 2) співнапрямлені.

872. Побудуйте колінеарні вектори якщо їх довжини дорівнюють по 5 см. Скільки розв’язків має задача?

873. Побудуйте компланарні вектори якщо їх довжини дорівнюють по 2 см. Скільки розв’язків має задача?

874. Побудуйте компланарні вектори якщо їх довжини дорівнюють по 3 см. Скільки розв’язків має задача?

875. Дано точки B (3; 1; 3) і С (-2; 8; -8). Знайдіть координати точки А, якщо:

876. Знайдіть координати вектора, протилежного до якщо:

1) А (10; 2; 0), B (1; 1; 1); 2) А (4; 5; -7), B (0; 4; 6).

877. Знайдіть кут А трикутника ABC, якщо:

1) А (1; 1; 3), В (5; 3; 3), С (1; 7; 3);   2) А (2; 1; 3), В (7; 4; 5), С (4; 2; 1).

878. Знайдіть кут М трикутника МРТ, якщо М (2; 1; 3), Р (7; 4; 5), Т (4; 2; 1).

879. Дано куб. Скільки пар рівних векторів можна побудувати з кінцями в його вершинах?

880. Дано прямокутний паралелепіпед. Скільки пар рівних векторів можна побудувати з кінцями у його вершинах?

881. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Доведіть, що довжина вектора не залежить від довжини ребра куба.

Проявіть компетентність

882. Туристи пройшли від базового табору в напрямі на північ 10 км і повернули на схід. Пройшовши за цим напрямом 1 км, вони піднялися на гору висотою 2 км. Покажіть напрями їх руху на плані в масштабі 1 км в 1 см.

883. За малюнком 310 побудуйте напрям руху повітряної кулі.

884. За малюнком 311 побудуйте напрям руху вантажу, який піднімає гелікоптер.

Мал. 310

Мал. 311