Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - О.С. Істер - Генеза 2018 рік

ЧАСТИНА І. АЛГЕБРА

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

§2. МОНОТОННІСТЬ І НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПАРНІ ТА НЕПАРНІ ФУНКЦІЇ

У цьому параграфі ми пригадаємо вже відомі нам та вивчимо нові властивості функцій.

1. Монотонність функції

У курсі алгебри 9 класу ми вже ознайомилися з такими властивостями функцій, як зростання і спадання. Пригадаємо їх.

Функцію у = f(x) називають зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше значення функції.

Інакше кажучи, функцію у = f(x) називають зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂ із цього проміжку таких, що х₂ > х₁, справджується нерівність f(x₂) > f(x₁). Hа малюнку 2.1 зображено графік функції у = f(x), яка зростає на проміжку [а; b], при цьому проміжок [а; b] називають проміжком зростання функції.

Функцію у = f(x) називають спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції.

Мал. 2.1

Мал. 2.2

Тобто, функцію у = f(x) називають спадною на деякому проміжку, якщо для будь-яких х1 і х₂ із цього проміжку таких, що х₂ > x₁, справджується нерівність f(x₂) < f(х₁). На малюнку 2.2 зображено графік функції у = f(x), яка спадає на проміжку [а; b], при цьому проміжок [а; b] називають проміжком спадання функції.

Неважко помітити, що при русі вздовж графіка зліва направо (тобто в напрямку зростання аргументу х), графік зростаючої на деякому проміжку функції «прямує вгору» («зростає»), а графік спадної функції - «прямує вниз» («спадає»).

Функцію у = f(x) називають монотонною на деякому проміжку, якщо вона на цьому проміжку або зростає, або спадає.

На кожному з малюнків 2.1 і 2.2 функція у = f(x) на проміжку [а; b] є монотонною. У такому разі проміжок [а; b] називають проміжком монотонності функції.

Задача 1. Знайти проміжки зростання і спадання функції:

1) у = Vx; 2) у = -3х + 2;   3) у = х² - 2х + 4.

Розв’язання. 1) Графік функції у = зображено на малюнку 2.3. Функція зростає на проміжку [0; +∞).

2) Графіком функції у = -3х + 2 є пряма, для побудови якої знайдемо дві її точки: (0; 2) і (1; -1). Графік зображено на малюнку 2.4. Функція спадає на (-∞; +∞).

3) Графіком функції у = х² - 2х + 3 є парабола, гілки якої напрямлені вгору. Знайдемо абсцису і ординату вершини параболи:

Графік зображено на малюнку 2.5. Функція спадає на проміжку (-∞; 1] і зростає на проміжку [1; +∞).

Мал. 2.3

Мал. 2.4

Мал. 2.5

2. Парність та непарність функцій

Область визначення функції у = f(x) будемо називати симетричною відносно нуля, якщо разом з кожним числом х область визначення функції містить також і число (-х). Серед функцій, область визначення яких симетрична відносно нуля, розрізняють парні та непарні.

Функцію у = f(x) називають парною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного х з області визначення справджується рівність:

f(-х) = f(x).

Задача 2. Дослідити на парність функцію f(x) = х².

Розв’язання. D(f) = (-∞; +∞), тобто область визначення функції симетрична відносно нуля. Крім того, f(-x) = (-х)² = х² = f(х).

Отже, функція f(х) = х² - парна.

Відповідь. Функція парна.

На малюнку 2.6 схематично зображено графік функції у = х². Він є симетричним відносно осі у. Узагалі,

графік будь-якої парної функції симетричний відносно осі у.

Мал. 2.6

Дійсно, коли функція у = f(х) - парна, то будь-яким двом протилежним значенням аргументу х і -х відповідає одне й те саме значення функції у, а точки (х; у) і (-х; у), як відомо, - симетричні відносно осі ординат.

Функцію у = f(x) називають непарною, якщо її область визначення симетрична відносно нуля і для кожного х з області визначення справджується рівність:

f(-x) = -f(x).

Задача 3. Дослідити на парність функцію f(x) = .

Розв’язання. D(f) = (-∞; 0) ∪ (0; + ∞). Область визначення функції симетрична відносно нуля. Крім того,

Отже, f(х) = - непарна.

Відповідь. Функція непарна.

На малюнку 2.7 схематично зображено графік функції у =

Він є симетричним відносно початку координат. Узагалі,

Мал. 2.7

графік будь-якої непарної функції симетричний відносно початку координат.

Дійсно, коли функція у = f(х) - непарна, то будь-яким двом протилежним значенням аргументу х і -х відповідають протилежні значення функції у і -у, а точки (х; у) і (-х; -у), як відомо, - симетричні відносно початку координат.

Якщо область визначення функції у = f(х) не є симетричною відносно нуля або не виконується жодна з рівностей f(-x) = f(x) і f(-х) = -f(х), то кажуть, що функція у = f(х) ні парна, ні непарна.

Задача 4. Дослідити на парність функцію:

Розв’язання. 1) D(f) = (-∞; 1) ∪ (1; +∞). Область визначення функції не є симетричною відносно нуля, оскільки -1 ∈ D(f), а 1 ∉ D(f). Тому функція - ні парна, ні непарна.

2) D(f) = (-∞; +∞). Область визначення симетрична відносно нуля. Знайдемо f(-х). Маємо:

f(-х) = (-х)² + (-х) - х² - х = -(-х² + х).

Оскільки f(-х) ≠ (х) і f(-х) ≠ -f(х), то функція - ні парна, ні непарна.

Відповідь. 1) Ні парна, ні непарна; 2) ні парна, ні непарна.

3. Неперервність функції.

Важливою властивістю функції є її неперервність. Інтуїтивне уявлення про неперервність функції можна отримати, будуючи її графік.

Будемо називати функцію неперервною на деякому проміжку, якщо її графік на цьому проміжку - неперервна лінія.

Наприклад, функція у = -3х + 2, графік якої зображено на малюнку 2.4, є неперервною на проміжку (-∞; +∞), а функція у = , графік якої зображено на малюнку 2.7, є неперервною на кожному з проміжків (-∞; 0) і (0; +∞).

Будемо казати, що функція у = f(x) неперервна в точці х, якщо ця точка належить деякому проміжку, на якому функція у = f(x) є неперервною. Функція у = є неперервною,

наприклад у точці х - -8, адже ця точка належить проміжку (-∞; 0), на якому функція у = неперервна, та в точці х = 5, адже ця точка належить проміжку (0; +∞), на якому функція y = також є неперервною.

У точці х = 0 функція у = не є неперервною, адже ця точка не належить жодному з проміжків (-∞; 0) або (0; +∞), на яких функція неперервна. У такому разі кажуть, що в

точці х = 0 функція у = має розрив, а точку х - 0 при цьому називають точкою розриву.

Зауважимо, що всі відомі нам функції, які задаються однією формулою, неперервні в кожній точці своєї області визначення, оскільки їх графіки на кожному з проміжків області визначення - неперервні лінії. Це зауваження дає можливість досліджувати нескладні функції на неперервність та точки розриву без побудови їх графіків.

Задача 5. Дослідити функцію на неперервність і точки розриву.

Розв’язання. Областю визначення функції є множина всіх значень х, для яких х² + 2х - 3 ≠ 0, тобто х ≠ 1; х ≠ -3. Отже, D(y) = (-∞; - 3) ∪ (-3; 1) ∪ (1; + ∞).

Тому функція є неперервною на кожному з проміжків (-∞;-3), (-3; 1) та (1;+∞), а точки х = 1 і х = -3 є точками розриву функції.

Відповідь, (-∞;-3), (-3; 1), (1; +∞) - проміжки неперервності, 1 і -3 — точки розриву.

Дослідимо на неперервність і точки розриву функції, які для різних значень аргументу задано різними формулами.

Задача 6. Дослідити на неперервність і точки розриву функцію:

Розв’язання. 1) Графік функції зображено на малюнку 2.8. Функція неперервна на (-∞;+∞), точок розриву немає. 2) Графік функції зображено на малюнку 2.9. Функція неперервна на кожному з проміжків (-∞; 2) і (2; +∞), а в точці х = 2 має розрив.

Мал. 2.8

Мал. 2.9

Відповідь. 1) Неперервна на (-∞; +∞), точок розриву немає. 2) (-∞; 2); (2; +∞) - проміжки неперервності, 2 - точка розриву.

Яку функцію називають зростаючою на деякому проміжку, а яку - спадною? Яку функцію називають монотонною на деякому проміжку? Яку область визначення функції називають симетричною відносно нуля? Яку функцію називають парною, а яку - непарною? Яку властивість має графік парної функції, а яку - непарної? Яку функцію називають неперервною на проміжку? Яку функцію називають неперервною в точці?

Розв'яжіть задачі та виконайте вирази

1

2.1. На малюнку 2.10 зображено графік функції, визначеної на проміжку [-5; 6]. Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції.

2.2. На малюнку 2.11 зображено графік функції, визначеної на проміжку [-5; 6]. Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції.

2.3. Відомо, що f(-1) = 7. Знайдіть f(1), якщо функція f:

1) парна;   2) непарна.

Мал. 2.10

Мал. 2.11

2.4. Відомо, що g(2) = 9. Знайдіть g(-2), якщо функція g:

1) парна;   2) непарна.

2.5. (Усно). Серед функцій, графіки яких зображено на малюнках 2.12-2.17, знайдіть ті, що є неперервними в точці х = 1.

Мал. 2.12

Мал. 2.13

Мал. 2.14

Мал. 2.15

Мал. 2.16

Мал. 2.17

2

2.6. Функція f(x) зростає на проміжку [-3; 3]. Порівняйте:

2.7. Функція g(x) спадає на проміжку [0; 4]. Порівняйте:

2.8. Функцію f(x) задано на проміжку [-4; 4], причому на проміжку [-4; 0] вона зростає, а на проміжку [0; 4] - спадає. Порівняйте:

1) f(-3) і f(-1);   2) f(1) і f(3,2).

2.9. Зобразіть схематично графік функції f(x), якщо:

1) f(x) зростає на проміжку [-5; 1] і спадає на проміжку [1; 4];

2) f(x) спадає на проміжках [-6; -2] та [2; 6] і зростає на проміжку [-2; 2].

2.10. Зобразіть схематично графік функції g(x), якщо:

1) g(x) спадає на проміжку [0; 3] і зростає на проміжку [3; 7];

2) g(x) зростає на проміжках [-5; -1] та [2; 5] і спадає на проміжку [-1; 2].

Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції, попередньо побудувавши схематично її графік (2.11—2.12):

2.11.

2.12.

Доведіть, що парною є функція (2.13—2.14):

2.13.

2.14.

Доведіть, що непарною є функція (2.15—2.16):

2.15.

2.16.

2.17. (Усно). Які з функцій на малюнках 2.18-2.23 є парними, які - непарними, а які — ні парними, ні непарними?

Мал. 2.18

Мал. 2.19

Мал. 2.20

Мал. 2.21

Мал. 2.22

Мал. 2.23

Знайдіть проміжки неперервності і точки розриву функції (2.18-2.19):

2.18.

2.19.

3

Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції (2.20-2.21):

2.20. 1) у = х² - 2х;   2) у = -х² + 4х - 1.

2.21. 1) у = -х² + 6х;   2) у = х² + 8х + 3.

2.22. М’яч рухається за законом s(t) = 8t - 4t², де s - відстань у метрах від поверхні землі, t - час у секундах, t ≥ 0.

1) Побудуйте графік руху м’яча.

2) Визначте, у який момент часу м’яч буде на землі.

3) Знайдіть проміжки зростання і спадання функції s(t).

4) Знайдіть найбільшу висоту, на яку підніметься м’яч.

Дослідіть функцію на парність (2.23—2.24):

2.23.

2.24.

2.25. Чи є функція g(x) = х⁴ парною, якщо її областю визначення є множина:

1) [-2; 1]; 2) [-4; 4];   3) (-∞; 0];   4) (-∞; 0) ∪ (0; +∞)?

2.26. Чи є функція g(x) = х³ непарною, якщо її областю визначення є множина:

1) [-1; 1]; 2) [-1; 2];   3) (-∞; -1]; 4) (-∞_;-2] ∪ [2; +∞)?

2.27. Функцію у = f(x) задано на проміжку [-6; 6]. Частину її графіка зображено на малюнку 2.24. Побудуйте графік цієї функції, якщо вона:

1) парна; 2) непарна.

Мал. 2.24

Знайдіть проміжки неперервності та точки розриву функції (2.28—2.29):

2.28.

2.29.

4

Побудуйте графік функції та знайдіть проміжки, на яких вона зростає, та проміжки, на яких - спадає (2.30—2.31):

2.30.

2.31.

Дослідіть функцію на парність (2.32—2.33):

2.32.

2.33.

2.34. Функції f(x) і g(x) визначені на множині всіх дійсних чисел. Чи є функція u(х) парною або непарною, якщо:

2.35. При якому значенні а функція у = f(х) є неперервною на множині R, якщо:

2.36. При якому значенні а функція у = g(x) є неперервною на множині R, якщо:

Життєва математика

2.37. Машина таксі за місяць проїхала 6000 км. Витрати пального для цієї автівки в середньому складають 9 літрів на 100 км. Вартість пального - 22 грн/л. Скільки було витрачено на бензин за цей місяць?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

2.38. Обчисліть:

2.39. При яких значеннях х має зміст вираз:

2.40. Розв’яжіть рівняння:

1) х² = 36;   2) х² = 0;   3) х² = -9;   4) х² = 7.