Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 1 ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

§ 4. РОЗМІЩЕННЯ ДВОХ ПРЯМИХ У ПРОСТОРІ: ПРЯМІ, ЩО ПЕРЕТИНАЮТЬСЯ, ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ, МИМОБІЖНІ ПРЯМІ

Таблиця 4

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Мимобіжні прямі

Якщо дві прямі лежать в одній площині, то, як відомо з курсу планіметрії, вони або перетинаються, або паралельні (див. відповідні рисунки в табл. 4). У стереометрії можливий ще один випадок — прямі не лежать в одній площині і не перетинаються (див. рисунок в табл. 4 та рис. 4.1).

Означення. Дві прямі в просторі називаються мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині.

Будемо казати також, що два відрізки мимобіжні, якщо вони лежать на мимобіжних прямих.

Наприклад, у кубі АВСDА₁В₁С₁D₁ (рис. 4.2) ребра DD₁ і B₁C₁ мимобіжні.

Наступну теорему називають ознакою мимобіжних прямих, оскільки вона визначає достатні умови для того, щоб прямі були мимобіжні.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Теорема 4.1. Якщо одна пряма лежить у даній площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не належить першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

Доведення. Нехай пряма b лежить у площині а, а пряма а перетинає площину а в точці А, яка не належить прямій b (див. рис. 4.1). Якщо припустити, що прямі а і b лежать в одній площині, то в цій площині лежить і точка А (яка належить прямій а). Але через пряму b і точку А проходить єдина площина, тому розглядуваною площиною буде площина а. Тоді пряма а повинна лежати в площині а, що суперечить умові. Отже, прямі а і b не лежать в одній площині, тобто вони мимобіжні.

Наприклад, у піраміді ABCD (рис. 4.3) ребра АD і ВС мимобіжні, оскільки пряма ВС лежить у площині АВС, а пряма АD перетинає цю площину в точці А, яка не належить прямій ВС.

Рис. 4.3

Наочне уявлення про мимобіжні прямі дають дві прямолінійні дороги, одна з яких проходить по естакаді, а інша — під естакадою, та різні елементи будівельних конструкцій.

2. Паралельні прямі в просторі

Нагадаємо, що дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. Для паралельності прямих у просторі потрібно, щоб вони не тільки не перетиналися, але ще й лежали в одній площині.

Означення. Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

Як і в планіметрії, будемо казати, що два відрізки паралельні, якщо вони лежать на паралельних прямих. Наприклад, у кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра АD і А₁D₁ паралельні (див. рис. 4.2).

Наочне уявлення про паралельні прямі дають колони будівлі, корабельний ліс, колоди дерев’яного зрубу.

Як ви вважаєте, чому в корабельному лісі стовбури дерев паралельні один одному?

Як відомо, на площині через точку поза даною прямою можна провести єдину пряму, паралельну даній прямій (аксіома паралельних). Аналогічне твердження має місце і в просторі, тільки тут його вже потрібно доводити.

Теорема 4.2. Через точку в просторі, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Доведення. Нехай точка В не належить прямій а. Проведемо через цю пряму і точку В площину а (рис. 4.4). Ця площина — єдина. У площині а через точку В проходить єдина пряма, назвемо її b, яка паралельна прямій а. Вона і буде єдиною шуканою прямою, яка паралельна даній.

Рис. 4.4

Із означення паралельності прямих у просторі й теореми 4.2 випливає, що через дві різні паралельні прямі в просторі можна провести площину, і до того ж тільки одну. Отже, до відомих із § 1 способів задавання площини можна додати ще один: площину можна задати двома паралельними прямими.

Як і на площині, має місце так звана властивість транзитивності паралельності прямих, яка виражає також ознаку паралельності прямих. Для паралельності прямих транзитивність означає: «Якщо пряма а паралельна прямій b, а пряма b паралельна прямій с, то пряма а паралельна прямій с».

Транзитивність — від латин. transitivus — перехідний — одна з властивостей логічного відношення величин.

Теорема 4.3. Дві прямі, які паралельні третій прямій, паралельні.

Із доведенням теореми можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Наприклад, у кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 4.5) ребра AB і D₁C₁ паралельні, оскільки кожне з них паралельне ребру DC.

Рис. 4.5

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Прямі а і b перетинаються. Доведіть, що всі прямі, які паралельні прямій а і перетинають пряму b, лежать в одній площині.

Розв'язання

Оскільки прямі а і b перетинаються, через них можна провести єдину площину а. Нехай деяка пряма с паралельна прямій а і перетинає пряму b в точці В (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Проведемо в площині а через точку В пряму с' || а. Але за теоремою 4.2 через точку В проходить єдина пряма, паралельна прямій а. Отже, пряма с збігається з прямою с', тобто пряма с лежить у площині а.

Коментар

Спочатку, користуючись властивістю, що через дві прямі, які перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну, побудуємо площину, яка проходить через дані прямі.

Потім доведемо, що будь-яка пряма, яка перетинає одну пряму і паралельна другій, лежить у цій площині.

Одержаний результат можна коротко сформулювати так: усі прямі, які паралельні між собою і перетинають дану пряму, лежать в одній площині.

Задача 2. Через кінці відрізка АВ і його середину М проведено паралельні прямі, що перетинають деяку площину в точках А₁, В₁ і М₁ відповідно. Знайдіть довжину відрізка ММ₁, якщо відрізок АВ не перетинає площину і АА₁ = 8 см, ВВ₁ = 6 см.

Розв'язання

Оскільки паралельні прямі АА₁, ВВ₁, ММ₁, які перетинають пряму АВ, лежать в одній площині, то точки А₁, М₁ і В₁ лежать на одній прямій (рис. 4.7, б), і ми одержуємо плоский чотирикутник АВВ₁А₁, який є трапецією (АА₁ || ВВ₁).

За умовою точка М — середина відрізка АВ і ММ₁ || АА₁. Тоді за теоремою Фалеса точка М₁ — середина А₁В₁. Отже, ММ₁ — середня лінія трапеції і

Відповідь: 7 см.

Рис. 4.7

Коментар

Для побудови рисунка до задачі потрібно використати результат задачі 1. Оскільки пряма АА₁ перетинає пряму АВ, а прямі ММ₁ і ВВ₁ паралельні прямій АА₁, то всі вони лежать в одній площині β (рис. 4.7, а). Тоді площина β перетинає дану площину а по прямій А₁В₁, на якій лежать усі спільні точки цих площин, зокрема і точка М₁.

Отже, на рисунку точки А₁, М₁ і В₁ повинні лежати на одній прямій (рис. 4.7, б). Фактично після побудови правильного рисунка одержуємо планіметричну задачу в площині β.

ЗАПИТАННЯ ДЛЯ КОНТРОЛЮ

1. Які прямі в просторі називаються паралельними?

2. Які прямі називаються мимобіжними? Укажіть моделі мимобіжних прямих, використовуючи предмети класної кімнати.

3. Сформулюйте ознаку мимобіжних прямих.

ВПРАВИ

4.1°. Запишіть пари мимобіжних ребер:

1) у прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁;

2) у призмі АВСА₁В₁С₁;

3) у піраміді SABCD.

4.2°. Чи правильним є твердження, що коли дві прямі лежать у різних площинах, вони завжди мимобіжні?

4.3. Пряма а мимобіжна з прямою b, а пряма b мимобіжна з прямою с. Чи випливає звідси, що прямі а і с завжди мимобіжні?

4.4. Точка А не належить прямій а. Проведіть через точку А пряму b так, щоб прямі а і b були мимобіжними.

4.5. Доведіть, що коли прямі АС і BD мимобіжні, то прямі АВ і CD теж мимобіжні.

4.6. Доведіть, що площина, яка проходить через одну з двох мимобіжних прямих і точку на другій прямій, перетинає другу пряму.

4.7. Через дану точку простору проведіть пряму, яка перетинає кожну з двох даних мимобіжних прямих. Чи завжди це можливо?

4.8. Скільки пар мимобіжних прямих визначається різними парами з:

1) чотирьох точок;

2) п’яти точок;

З*) n точок, ніякі чотири з яких не належать одній площині?

4.9°. Запишіть пари паралельних ребер:

1) у прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁;

2) у призмі АВСА₁В₁С₁;

3) у правильній піраміді SABCD.

4.10. Паралелограми ABCD і АВС₁D₁ лежать у різних площинах. Доведіть, що чотирикутник CDD₁C₁ — також паралелограм.