Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 18 РАДІАННЕ ВИМІРЮВАННЯ КУТІВ. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ

Як відомо, кути вимірюють у градусах і його частинах - мінутах, секундах. Проте в математиці, астрономії, фізиці та інших науках використовують ще й радіанну міру кута, яка має певні переваги порівняно з градусною.

1. Радіанна міра кута

Кутом в 1 (один) радіан називають центральний кут, довжина дуги якого дорівнює довжині радіуса кола.

На малюнку 18.1 = R тому міра кута АОВ дорівнює 1 радіан (скорочено «рад»).

Знайдемо зв’язок між радіанною і градусною мірами. Довжина півкола, радіус якого R, дорівнює R, що в разів більше за довжину дуги АВ. Тому розгорнутому куту відповідає дуга міри радіанів. Отже,

Мал. 18.1

Звідси маємо, що

Корисно пам’ятати, що

Одержані формули, зокрема, використовують для переходу від градусної міри кута до радіанної і навпаки, проте для цього можемо застосовувати і пропорцію, врахувавши, що 180° = рад.

Приклад 1. Знайти радіанну міру кута 144°.

Розв’язання. І спосіб (за формулою).

II спосіб (за допомогою пропорції).

Маємо пропорцію:

Маємо рівняння: = , звідки х = , тобто х = рад.

Відповідь. рад.

Приклад 2. Знайти градусну міру кута 1,5 рад.

Розв’язання.

Відповідь.

Приклад 3. Знайти градусну міру кута .

Розв’язання. Виконати це завдання можна у той самий спосіб, що й попереднє, але тут доцільніше буде замінити на 180°. Матимемо:

Відповідь. 150°.

Приклад 4. Знайдемо радіанні міри табличних кутів:

2. Тригонометричні функції числового аргументу

Використовують радіанну міру кута, так само як і градусну, у записах тригонометричних виразів. Так, запис sin 2 означає синус кута, міра якого 2 радіани, запис cos означає косинус кута міри радіанів, запис tg(-3) - тангенс кута, міра якого -3 радіани.

Кожному допустимому значенню числа х (кута, що містить х радіанів) відповідає єдине значення sin х, cos х, tg x, сtg х. Тому синус, косинус, тангенс і котангенс є функціями числового аргументу х. Їх називають тригонометричними функціями числового аргументу.

Наприклад,

Приклад 5. Знайти значення виразу соs х + х, якщо х = 0.

Розв’язання. Якщо х = 0, то соs х + х - соs 0 + 0 = 1 + 0 = 1.

Відповідь. 1.

3. Знаходження значень тригонометричних функцій числового аргументу за допомогою калькулятора

Значення тригонометричних функцій числового аргументу за допомогою калькулятора знаходять так само, як і значення тригонометричних функцій кутів, які задано у градусах (§ 17, п. 5). Але у цьому випадку перемикач «Г-Р» для задання кутів у радіанах треба виставити в положення «Р». Нагадаємо, що в деяких калькуляторах це досягається за допомогою клавіші

і вибору відповідного режиму.

Перевірте на своєму калькуляторі, що

А ще раніше…

Перше використання радіана замість кутового градуса зазвичай приписують Роджеру Котсу (XVII ст.), який вважав цю

одиницю вимірювання кутів найбільш природною. Однак ідею вимірювання довжини дуги радіусом кола використовували й інші математики. Наприклад, Аль-Каші використовував одиницю вимірювання, яку називав «частина діаметра» і яка дорівнювала сучасного розуміння радіана. Також він використовував і більш дрібні частини цієї одиниці вимірювання.

Термін «радіан» уперше з’явився 5 червня 1873 року в екзаменаційних білетах, складених Джеймсоном Томсоном з Університету Квінса у Белфасті (Північна Ірландія). Томсон використовував цей термін ще раніше (до видання цих білетів), у той самий час коли його колега Томас Мюїр з Сент-Ендрюського університету коливався у виборі між термінами «рад», «радіал» і «радіан». У 1877році Мюїр, після консультації з Томсоном, вирішив використовувати термін «радіан».

• Що називають кутом в 1 радіан?

• Яка радіанна міра кута 180°?

• Як перейти від градусної міри до радіанної, і навпаки? Укажіть наближено градусну міру кута в 1 рад?

• Що називають тригонометричною функцією числового аргументу?

• Запам’ятайте радіанні міри табличних кутів.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

Знайдіть радіанну міру кута (18.1—18.2):

18.1.

18.2.

Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює (18.3-18.4):

18.3.

18.4.

2. Кутом якої чверті є кут (18.5—18.6):

18.5.

18.6.

18.7. Дах має форму трикутника. Радіанні міри двох кутів цього трикутника дорівнюють і . Знайдіть радіанну та градусну міри третього кута трикутника.

18.8. Туристичний намет має форму рівнобічної трапеції, один з кутів якої 72°. Знайдіть градусну та радіанну міри більшого з кутів цієї трапеції.

За допомогою калькулятора знайдіть і запишіть число з точністю до сотих (18.9-18.10):

18.9.

18.10.

Знайдіть за допомогою калькулятора (округліть до тисячних) (18.11-18.12):

18.11.

18.12.

18.13. Накресліть таблицю в зошиті та заповніть її.

Знайдіть значення виразу (18.14—18.15):

18.14.

18.15.

Позначте на одиничному колі точку, яку отримаємо при повороті точки Р₀(1; 0) на кут (18.16-18.17):

18.16.

18.17.

18.18. Знайдіть значення виразу Зsin а + 2соs а, якщо:

18.19. Знайдіть значення виразу 5соs b - 2sin b, якщо:

3. 18.20. Знайдіть радіанну міру внутрішнього кута правильного:

1) трикутника;

2) чотирикутника;

3) шестикутника;

4) десятикутника;

5) дванадцятикутника;

6) двадцятикутника.

18.21. Знайдіть радіанну міру кутів трикутника, якщо їх міри відносяться як 1 : 4 : 5.

Порівняйте числа (18.22—18.23):

18.22.

18.23.

Обчисліть (18.24—18.25):

18.24.

18.25.

Знайдіть значення виразу (18.26—18.27):

18.26.

18.27.

Які координати має точка одиничного кола, отримана при повороті точки Р₀(1; 0) на кут (18.28-18.29):

18.28.

18.29.

18.30. Скільки сторін має правильний многокутник, якщо його:

1) внутрішній кут дорівнює ;

2) зовнішній кут дорівнює ?

Знайдіть значення виразу (18.31—18.32):

18.31.

18.32.

4. Порівняйте (18.33—18.34):

18.33.

18.34.

18.35. Доведіть, що

18.36. Доведіть, що

Знайдіть координати точки одиничного кола, отриманої при повороті точки Р₀(1; 0) на кут (18.37—18.38):

18.37.

18.38.

18.39. Сплативши від заробітної плати 18 % податку на доходи фізичних осіб і 1,5 % військового збору, менеджер супермаркету отримав 5635 грн. Який розмір заробітної плати у цього менеджера?

18.40. Знайдіть найменше значення функції

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

18.41. Наведіть приклади кількох значень:

1) кута a, для яких tg а не існує.

2) кута β, для яких сtg β не існує.

18.42. Нехай А(х; у) - довільна точка, що належить одиничному колу. Чи правильні нерівності -1 ≤ х ≤ 1; -1 ≤ у ≤ 1?

18.43. Порівняйте з нулем координати х і у точки В(х; у), якщо ця точка лежить у:

1) І чверті;

2) II чверті;

3) III чверті;

4) IV чверті.

18.44. Точки А і А' симетричні відносно осі абсцис. Знайдіть координати точки А', якщо:

18.45. Парною чи непарною є функція: