Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 20 ОСНОВНІ СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО Й ТОГО САМОГО АРГУМЕНТУ

У цьому параграфі розглянемо тотожності, що задають співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.

1. Основна тригонометрична тотожність

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР₀ одиничного кола переходить у радіус ОР_а (мал. 20.1). Точка Р_а(х; у) належить колу, радіус якого дорівнює 1. Тому координати точки задовольняють рівняння кола: х² + у² = 1. Але х = cos а; у = sin а, тому

Це співвідношення називають основною тригонометричною тотожністю. Вона задає залежність між значеннями синуса і косинуса одного й того самого кута, отже, дає можливість знаходити одне з цих значень через інше. Покажемо це на схемі:

Мал. 20.1

У формулах

Знак перед радикалом обираємо залежно від чверті, у якій лежить кут а.

Приклад 1. Спростити вираз:

Розв’язання.

Відповідь.

1) cos² х;

2) -sin 2а.

Приклад 2. Знайти sin а, якщо cos а = -0,6 і < а < .

Розв’язання. Оскільки а - кут II чверті, то sin a > 0.

Маємо:

Відповідь. 0,8.

2. Інші тригонометричні тотожності

Ми вже знаємо, що

Перемножимо ці рівності почленно:

Отже,

Ця рівність справджується для всіх значень а, при яких tg a і ctg а мають зміст, тобто за умови, що sin а ≠ 0 і cos а ≠ 0. Тоді:

Приклад 3. Довести тотожність:

Доведення. Перетворимо ліву частину кожної з тотожностей:

що й треба було довести.

що й треба було довести.

Приклад 4. Знайти значення виразу

якщо tg x = 5.

Розв’язання. 1-й спосіб. Оскільки tg x = 5, то соs х ≠ 0. Поділимо чисельник і знаменник дробу на соs х, маємо:

2-й спосіб. Оскільки tg x = 5, то = 5, тому sin x = 5 cos x.

Маємо:

Відповідь. 2.

3. Наслідки з основної тригонометричної тотожності

Поділимо обидві частини тотожності sin² a + cos² a = 1 на cos² a (за умови, що cos² а ≠ 0). Отримаємо:

тобто

Якщо обидві частини тотожності sin²а + cos²а = 1 поділити на sin²а (за умови, що sin²а ≠ 0), отримаємо:

тобто

Приклад 5. Довести, що при всіх допустимих значеннях β значення виразу

не залежить від β.

Доведення. Перетворимо ліву частину тотожності:

отримали число. Отже, значення виразу не залежить від β.

Приклад 6. Знайти tg x, sin x, cos x, якщо

і

Розв’язання.

2) Із тотожності

виразимо sin²х, маємо:

Оскільки х — кут IV чверті, то sin x < 0, тому

3) ctg х = , тому

Відповідь.

• Запам’ятайте основну тригонометричну тотожність.

• Запишіть означення тангенса і котангенса кута через синус і косинус цього кута.

• Як пов’язані між собою тангенс і котангенс?

• Запам’ятайте формули, які є наслідками з основної тригонометричної тотожності.

Розв'яжіть задачі та викачайте вправи

1. Спростіть вираз (20.1—20.2):

20.1.

20.2.

Знайдіть значення виразу (20.3—20.4):

20.3.

20.4.

Доведіть, що (20.5-20.6):

20.5.

20.6.

2. Спростіть вираз (20.7-20.10):

20.7.

20.8.

20.9.

20.10.

Доведіть тотожність (20.11—20.12):

20.11.

20.12.

Спростіть вираз (20.13-20.14):

20.13.

20.14.

20.15. Доведіть, що не можуть одночасно справджуватися рівності:

Чи можуть одночасно справджуватися рівності (20.16—20.17):

20.16.

20.17.

20.18. Чи можуть sin а і cos а одночасно дорівнювати:

20.19. Чи можуть tg β і ctg β одночасно дорівнювати:

Обчисліть (20.20—20.21):

20.20.

20.21.

Доведіть тотожність (20.22—20.23):

20.22.

20.23.

З. Спростіть вираз (20.24—20.25):

20.24.

20.25.

Доведіть тотожність (20.26—20.27):

20.26.

20.27.

20.28. Спростіть вираз:

Обчисліть (20.29-20.30):

20.29.

20.30.

20.31. Знайдіть значення тригонометричних функцій кута а, якщо:

20.32. Знайдіть значення тригонометричних функцій кута β, якщо:

Спростіть вираз (20.33—20.34):

20.33.

20.34.

Доведіть тотожність (20.35—20.36):

20.35.

20.36.

4. Знайдіть значення виразу (20.37—20.38):

20.37.

20.38.

20.39. Доведіть, що значення виразу не залежить від значення змінної а:

20.40. Знайдіть значення виразу

якщо а = 11°.

20.41. Знайдіть найменше і найбільше значення виразу:

20.42. Знайдіть область значень функції

20.43. Спростіть вираз

якщо:

20.44. Спростіть вираз

якщо:

Спростіть вираз (20.45-20.46):

20.45.

20.46.

20.47. Порівняйте значення виразів

якщо а = 12°, β= 37°.

20.48. Порівняйте значення виразів

якщо а = 142°.

20.49. Відомо, що sin а - cos а = 0,2. Знайдіть:

20.50.

Відомо, що sinа + cos а = -0,2. Знайдіть:

20.51. Відомо, що tg a + ctg a = 3. Знайдіть:

20.52. Відомо, що tg a - ctg a = 1. Знайдіть:

Побудуйте графік функції (20.53—20.54):

20.53.

20.54.

20.55. Знайдіть найбільше значення виразу sin⁸х + соs⁸x.

20.56. Кімната обладнана приладами освітлення, які споживають 300 Вт щогодини. Щодоби прилади вмикають на 6 годин. Якщо замінити їх на енергозберігаюче освітлення, то витрати на електроенергію скоротяться на 30 %.

1) Скільки ват протягом тижня можна заощадити, використовуючи енергозберігаюче освітлення?

2) Дізнайтеся тариф на електроенергію та з’ясуйте, скільки коштів протягом тижня можна заощадити, використовуючи енергозберігаюче освітлення?

20.57. Для кубічного рівняння х³ + ах² + bх + с = 0 справджується умова b = . Доведіть, що воно має єдиний розв’язок, та знайдіть цей розв’язок.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

20.58. Пригадайте відомі з курсу геометрії формули та заповніть пропуски:

20.59. Порівняйте з нулем вираз, якщо 0° < а < 90°: