Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 23 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ

У цьому параграфі розглянемо формули, які дають можливість записувати тригонометричні функції суми і різниці двох кутів через тригонометричні функції цих кутів.

1. Косинус різниці й суми

Для того щоб отримати формулу для соs(а - β), спочатку розглянемо випадок, коли а > β і а — β <.

Нехай при повороті на кут а початковий радіус ОР₀ одиничного кола перейшов у радіус ОР_а, Р_а(х; у) (мал. 23.1). Оскільки х = cos а; у = sin а, то маємо вектор (cos a; sin a). Аналогічно, _β(cos β;sin β). Тоді: ∙_β - cos a cos β + sin a sin β.

З іншого боку:

Але

Тому

Мал. 23.1

Аналогічно розглядають і випадки, коли а < β або а — β >.

Отримали формулу косинуса різниці:

Із цієї формули маємо:

Отримали формулу косинуса суми:

Приклад 1. Обчислити cos 75°.

Розв’язання.

Відповідь.

Приклад 2. Спростити вираз

Розв’язання.

Відповідь. -sin a.

2. Синус різниці і суми

Знайдемо формулу для sin(a - β). Маємо:

Отримали формулу синуса різниці:

Для sin(a + β) матимемо:

Отримали формулу синуса суми:

Приклад 3. Знайти

якщо sin a = 0,6 і < a <.

Розв’язання.

Оскільки a - кут II чверті, то cos a < 0. Маємо:

Тоді

Відповідь. 0,7.

Приклад 4. Спростити вираз sin 12x cos 4x+ cos 12x sin 4x.

Розв’язання. Неважко помітити, що маємо праву частину формули sin(a + β), де a = 12х, β = 4х.

Отже, sin 12x cos 4x + cos 12x sin 4x = sin(12x + 4x) = sin 16x.

Відповідь. sin 16x.

3. Тангенс різниці і суми

Виразимо tg(a - β) через tg a і tg β за умови, що кожен із цих виразів має зміст, тобто за умови, що соs(а - β) ≠ 0, соs а ≠ 0, соs β ≠ 0. Маємо:

Поділимо чисельник і знаменник на добуток cosacosβ ≠ 0. Матимемо:

Отримали формулу тангенса різниці:

Для тангенса суми матимемо:

Отримали формулу тангенса суми:

Приклад 5. Обчислити:

Розв’язання.

Відповідь.

1) 2 - ;

2) .

4. Метод допоміжного кута

Для розв’язування задач вираз аsin x: ± bсоs х іноді доцільно подавати у вигляді синуса (або косинуса) суми чи різниці двох аргументів. Для цього у вказаному виразі винесемо за дужки множник , матимемо:

Числові коефіцієнти, отримані перед тригонометричними функціями в дужках, можна вважати косинусом і синусом (або синусом і косинусом) деякого кута, оскільки для них справджується основна тригонометрична тотожність. Справді,

Зокрема, якщо введемо позначення

де а — деякий кут, то в дужках отримаємо формулу суми або різниці синусів:

А якщо введемо позначення

то отримаємо формулу різниці або суми косинусів:

Кут а, який ми ввели для згаданого перетворення виразу, називають допоміжним кутом, тому таке перетворення дістало назву - метод допоміжного кута.

Приклад 6. Знайдіть усі значення параметра а, при яких можлива рівність:

Розв’язання. Оскільки

то маємо:

Отже, 13sin(4х - а) = а, тобто sin(4х - а) = . Оскільки -1 ≤ sin(4х - а) ≤ 1 і sin(4х - а) =, то -1 ≤ < 1, звідки -13 ≤ а ≤ 13.

Відповідь. -13 ≤ а ≤ 13.

А ще раніше…

Для складання тригонометричних таблиць важливо мати формули, за якими можна знаходити тригонометричні функції суми та різниці аргументів (а ± β) через тригонометричні функції аргументів а і β.

Першим, який дійшов до нас, трактатом, що містив такі формули, став «Альмагест» Птолемея. У цій праці видатний математик геометричним шляхом на основі теореми Птолемея виводить формули різниці і суми двох кутів для хорд.

Індійські вчені, зокрема Бхаскара (XII ст.), використовували формули, які в сучасній символіці можна записати так:

де R - радіус кола.

Цю та інші формули додавання використовували вчені середньовічних Азії та Європи.

У сучасному вигляді формули додавання стали використовувати після праці Г. Клюгера «Аналітична тригонометрія» (1770 р.). У ній автор на початку вводить тригонометричні функції не як лінії в колі, а як співвідношення між сторонами трикутника. Так, наприклад, формулу синуса суми Клюгер отримав з формули:sinС = sinАсоsВ + соsАsinВ, де А, В, С - кути трикутника.

• Запам’ятайте формули косинуса різниці і суми, синуса різниці і суми, тангенса різниці і суми.

• Що таке метод допоміжного кута?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Чи правильна рівність (23.1—23.2):

23.1.

23.2.

Чи правильно виконано спрощення (23.3—23.4):

23.3.

23.4.

2. За допомогою формул додавання перетворіть вираз (23.5— 23.6):

23.5.

23.6.

За формулами додавання перевірте істинність формули зведення (23.7-23.8):

23.7.

23.8.

23.9. Запишіть кут 105° як суму 60° + 45° та обчисліть:

23.10. Запишіть кут 15° як різницю 60° - 45° (або 45° - 30°) та обчисліть:

1) sin 15°;

2) соs 15°;

3) tg 15°.

Спростіть вираз (23.11—23.16):

23.11.

23.12.

23.13.

23.14.

23.15.

23.16.

Знайдіть значення виразу (23.17—23.18):

23.17.

23.18.

23.19. Відомо, що tg a = 4, tg β = -0,5. Знайдіть:

23.20. Відомо, що tg a = 0,25, і tg β = -8. Знайдіть:

Обчисліть (23.21—23.22):

23.21.

23.22.

Спростіть вираз (23.23—23.24):

23.23.

23.24.

3. Доведіть тотожність (23.25—23.26):

23.25.

23.26.

Спростіть вираз (23.27—23.28):

23.27.

23.28.

Знайдіть (23.29—23.30):

23.29.

23.30.

23.31. Дано:

Знайдіть:

23.32. Дано:

Знайдіть:

23.33. Доведіть формули котангенса суми і різниці:

23.34. Застосовуючи формули з попередньої вправи, обчисліть:

4. 23.35. Доведіть, що коли а, β, у — кути трикутника, то sin a cos β + cos а sin β = sin у.

23.36. Відомо, що sin а = , sin β = , а і β - кути II чверті.

Знайдіть tg(a - β).

23.37. Відомо, що cos a = , cos β = , а і β - кути І чверті.

Знайдіть tg(a + β).

23.38. Обчисліть:

23.39. Доведіть тотожність:

23.40. Доведіть тотожність:

23.41. Знайдіть найменше і найбільше значення виразу:

23.42. Знайдіть множину значень функції:

23.43. Доведіть, що коли

23.44. Дано:

Доведіть, що а - β = .

23.45. Відомо, що

Знайдіть а - β.

23.46. Знайдіть

23.47. Доведіть, що

23.48. Доведіть, що

Знайдіть значення виразу (23.49—23.52):

23.49.

23.50.

23.51.

23.52.

23.53. Нехай а, β, у — кути гострокутного або тупокутного трикутника. Доведіть, що

23.54. Нехай а, β, у - кути трикутника. Доведіть, що

23.55. Знайдіть усі натуральні значення параметра а, при яких можлива рівність: 8 соs 2х — 15 sin 2х = а² + 1.

23.56. Знайдіть усі значення параметра b, при яких можлива рівність: 8 sin х — 6 соs х = b - 3.

23.57. а - внутрішній кут правильного n-кутника, β - його зовнішній кут. Знайдіть n, якщо

23.58. Доведіть, що коли 0 < а < 90°, то sin а + cos а > 1.

23.59. а, β, у - кути трикутника, причому у - тупий. Порівняйте tg a tg β і 1.

23.60. Коефіцієнт корисної дії (ККД) деякого двигуна визначають за формулою

де Т₁ - температура нагрівача (у градусах Кельвіна), Т₂ - температура холодильника (у градусах Кельвіна). При якій мінімальній температурі нагрівача Т₁ ККД цього двигуна буде не менше за 20 %, якщо температура холодильника Т₂ = 320 К? Відповідь подайте у градусах Кельвіна.

23.61. (Національна олімпіада США). Доведіть, що кубічні корені з трьох різних простих чисел не можуть бути трьома членами (не обов’язково послідовними) деякої арифметичної прогресії.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

23.62. Для а = 30° і а = 60° порівняйте значення виразів: