Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

§ 35 ФІЗИЧНИЙ І ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ

Розглянемо деякі задачі, що приводять до поняття похідної.

1. Середня та миттєва швидкості руху точки вздовж прямої

Нехай точка рухається вздовж прямої, і відомо її координату х(t) у момент часу t. За інтервал часу від t₀ до t = t₀ + ∆t точка подолає відстань х(t₀ + ∆t) - х(t₀). Тоді середню швидкість руху за цей час можна визначити за формулою

Зауважимо, що якщо ∆t < 0, то розглядають інтервал часу від t₀ + ∆t до t₀, а відповідна відстань у цьому разі дорівнює х(t₀) - х(t₀ + ∆t). Тоді

Отже, в обох випадках середня швидкість точки, що рухається вздовж прямої, дорівнюватиме .

У кожний момент часу точка рухається з певною швидкістю. З’ясуємо, як знайти миттєву швидкість руху в момент часу t₀. Природно припустити, що коли ∆t досить мале, то за цей інтервал часу швидкість практично не зміниться, тобто середня швидкість за цей момент часу практично не відрізнятиметься від миттєвої швидкості _мит(t₀). Тому, щоб знайти миттєву швидкість, спочатку знайдемо середню швидкість _с(∆t), а далі - границю середньої швидкості за умови, що ∆t → 0. Отже,

Права частина цієї рівності є, за означенням, похідною функції х(t) у точці t₀, тобто

Маємо: миттєва швидкість (t) визначена для будь-якої диференційовної функції х(t) і при цьому

або коротко: похідна від координати за часом є швидкістю.

У цьому полягає фізичний зміст похідної. Міркуючи аналогічно, можна показати, що похідна від швидкості за часом є прискоренням.

Приклад 1. Тіло рухається прямолінійно за законом х(t) = t² (х вимірюється в метрах, t — у секундах). Знайти швидкість точки в момент часу t = 5 с.

Розв’язання. Оскільки v(t) = х'(t) = (t²)' = 2t і t = 5, то v(5) = 2 · 5 = 10 (м/с).

Відповідь. 10 м/с.

2. Дотична до графіка функції

Розглянемо графік функції у = f(х). Пряму с, що проходить через будь-які дві точки графіка функції f(х),

називають січною до цього графіка (мал. 35.1). З курсу геометрії відомо, що кутовий коефіцієнт к прямої, що проходить через точки А(х₀; у₀) і В(х; у) і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут а, дорівнює . Використовуючи поняття приростів функції та аргументу, це зручно записати так:

Дотичною в точці (х₀; у₀) до графіка функції у = f(x) називають граничне положення січної, що проходить через цю точку, коли ∆х → 0.

Мал. 35.1

На малюнку 35.1 пряма m - дотична до графіка функції у = f(х), яку проведено в точці А. Для прямої m маємо

Оскільки

то k = f'(х₀). Отже, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(x), що проведена в точці з абсцисою х₀, дорівнює похідній функції у = f(x) у цій точці: k = f'(x₀).

У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Оскільки f'(x₀) = k = tg φ, де φ — кут, який утворює дотична з додатним напрямом осі абсцис, то коли f'(x₀) > 0, кут φ - гострий; коли f'(х₀) = 0, то φ = 0°, тобто дотична паралельна осі абсцис (або збігається з нею), а у випадку f'(х₀) < 0 кут φ - тупий.

Приклад 2. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f(х) = х³, у точці з абсцисою х₀ = -2.

Розв’язання. f'(x) = (х³)' = 3х².

Оскільки k = f'(x₀) і х₀ = -2, то k = f'(-2) = 3 · (-2)² = 12.

Відповідь, k = 12.

Приклад 3. Знайти тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка функції f(х) = , що проведена в точці А(4; 2).

Розв’язання.

Нехай φ - кут нахилу дотичної до осі абсцис.

Оскільки = f'(х₀) і х₀ = 4, то

Відповідь. 0,25.

Приклад 4. На малюнку 35.2 зображено графік функції у = f(х), яка визначена на проміжку [-5; 5]. Пряма m - дотична до графіка функції.

1) Використовуючи графік, знайдіть f'(2).

2) Укажіть точки х₀, для яких f'(х₀) = 0.

Розв’язання. 1) Пряма m у точці з абсцисою х = 2 утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 45°. Тому f'(2) = tg 45° = 1.

Мал. 35.2

Мал. 35.3

2) Оскільки f'(х₀) = 0, то х₀ - абсциса тих точок графіка функції f(х), у яких дотична паралельна осі абсцис (або збігається з нею). Це точки х₀ = -4 та х₀ = -1 (мал. 35.3).

Відповідь. 1) f'(2) = 1; 2) -4; -1.

3. Рівняння дотичної до графіка функції

Нехай у = kх + І — рівняння дотичної до графіка функції у = f(х) у точці А(х₀; f(х₀)). Оскільки k = f'(х₀), то рівняння дотичної набуває вигляду:

Оскільки дотична проходить через точку А(х₀; f(х₀)), то координати цієї точки задовольняють рівняння дотичної, тобто f(x₀) = f'(x₀) · х₀ + l, звідки l = f(х₀) - f'(х₀) · x₀.

Отже, знаючи k і l можемо записати рівняння дотичної до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою х₀:

тобто

Приклад 5. Скласти рівняння дотичної до графіка функції f(x) = у точці з абсцисою х₀= -4.

Розв’язання. Маємо:

Підставимо отримані значення в рівняння дотичної, отримаємо:

Спростивши вираз у цьому рівнянні, матимемо:

Відповідь.

А ще раніше…

Нагадаємо, що Ньютон прийшов до поняття похідної, розглядаючи питання механіки, зокрема, миттєвої швидкості, а Лейбніц - виходячи з геометричних задач, а саме задачі на побудову дотичної до кривої.

Однак питання побудови дотичних до кривих цікавило математиків задовго до Лейбніца. Так, наприклад, Евклід в «Началах» дав спосіб побудови дотичної до кола, Архімед побудував дотичну до спіралі, яку названо на його честь, Аполоній - до еліпса, гіперболи і параболи. Проте стародавні вчені не розв’язали цю задачу в загальному вигляді: не вказали, як побудувати дотичну до довільної кривої в будь-якій її точці.

Із самого початку XVII століття багато вчених намагалися розв’язати цю задачу, зокрема: Торрічеллі, Вівіані, Робервалъ, Барроу, однак загальний метод побудови дотичних першим запропонував Лейбніц у 1684 році.

• Як знайти миттєву швидкість точки, що рухається за законом x(t)?

• У чому полягає фізичний зміст похідної?

• Що називають січною до графіка функції у = f(х)?

• Що називають дотичною до графіка функції у = f(х)?

• У чому полягає геометричний зміст похідної?

• Запам’ятайте рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х₀.

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

35.1. (Усно). Відомо, що кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х₀ дорівнює 0,4. Знайдіть значення похідної функції у = f(x) у цій точці.

35.2. Відомо, що f'(3) = 5. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(х), проведеної в точці з абсцисою х₀ = 3.

35.3. Відомо, що f'(4) = 1. Знайдіть:

1) кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(х), проведеної в точці з абсцисою х₀ = 4;

2) кут, який утворює ця дотична з додатним напрямом осі абсцис.

35.4. Дотична до графіка функції у = f(х) у точці з абсцисою x₀ утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 60°. Знайдіть f'(х₀).

2. 35.5. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(х) = у точці з абсцисою х₀ = -1.

35.6. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(х) = у точці з абсцисою х₀ = .

35.7. Знайдіть тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка функції F(х) = х² у точці з абсцисою х₀ = -2.

35.8. Знайдіть тангенс кута нахилу до осі абсцис дотичної до графіка функції f(х) = х³ у точці з абсцисою х₀ = -1.

35.9. Тіло рухається прямолінійно за законом х(t) = t³ (t вимірюється в секундах, х - у метрах). Знайдіть швидкість тіла в момент часу: 1) t = 2 с; 2) t = 3 с.

35.10. Тіло рухається прямолінійно за законом х(t) = t² (t вимірюється в секундах; х - у метрах). Знайдіть швидкість тіла в момент часу: 1) t = 4 с; 2) t = 10 с.

35.11. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = у точці з абсцисою х₀ = 1.

35.12. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = у точці з абсцисою х₀ = 1.

З. 35.13. На графіку функції f(х) = х² знайдіть точку, у якій дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 135°.

35.14. На графіку функції f(х) = знайдіть точку, у якій дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут 45°.

35.15. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом х(t) = . У який момент часу t (t > 0) швидкість точки буде дорівнювати - м/с, якщо t вимірюється в секундах, х - у метрах?

35.16. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом х(t) = t³ (t вимірюється в секундах, х - у метрах). У який момент часу t (t > 0) швидкість точки буде дорівнювати 48 м/с?

Мал. 35.4

Мал. 35.5

35.17. До графіка функції у = f(х) у точках з абсцисами х₁ і х₂ проведено дотичні (мал. 35.4). Знайдіть f'(х₁) і f'(х₂).

35.18. До графіка функції у = g(x) у точках з абсцисами х₁ і х₂ проведено дотичні (мал. 35.5). Знайдіть g'(x₁) і g'(х₂).

35.19. Знайдіть точки, у яких дотична до графіка функції f(х) = х³ паралельна прямій у = 12х -17.

35.20. Знайдіть точки, у яких дотична до графіка функції f(х) = паралельна прямій у = - х + 8.

35.21. Одна з матеріальних точок рухається прямолінійно за законом х(t) = t², а інша - за законом х(t) = t³ (t вимірюється в секундах, х - у метрах). У який момент часу t (t > 0) їхні швидкості будуть однаковими?

35.22. На малюнку 35.6 до графіка функції у = f(x) проведено дотичну в точці з абсцисою х₀. Знайдіть f'(х₀).

Мал. 35.6

Мал. 35.7

35.23. На малюнку 35.7 до графіка функції у = f(х) проведено дотичну в точці з абсцисою x₀. Знайдіть f'(х₀).

4. 35.24. На малюнку 35.8 зображено графік функції у = f(х), визначеної на проміжку [-6; 6].

1) Укажіть усі точки, у яких похідна функції у = f(х) дорівнює нулю.

2) Порівняйте f'(1) і f'(5).

35.25. На малюнку 35.9 зображено графік функції у = g(x), визначеної на проміжку [-5; 5].

Мал. 35.8

Мал. 35.9

1) Укажіть усі точки, у яких похідна функції у = g(х) дорівнює нулю.

2) Порівняйте g'(2) і g'(0).

35.26. До графіка функції f(х) = складіть рівняння дотичної, яка паралельна прямій у = х + 8.

35.27. До графіка функції f(х) = х² складіть рівняння дотичної, яка паралельна прямій у = -2х + 7.

35.28. Дано функцію f(х) = .

1) Складіть рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х₀ = -1.

2) Виконайте малюнок.

3) Знайдіть площу трикутника, обмеженого відрізками дотичної і осей координат.

35.29. Дано функцію f(х) = х³.

1) Складіть рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х₀ = -1.

2) Виконайте малюнок.

3) Знайдіть площу трикутника, обмеженого відрізками дотичної і осей координат.

35.30. У якій точці перетинаються дотичні до параболи у = х², проведені в точках з абсцисами х₀ = -2 і х₀ = 1?

35.31. Ставка податку на доходи фізичних осіб (зарплату) у 2015 році становила 15 %, якщо зарплата до 12 180 грн, плюс 20 % від суми, що перевищує 12 180 грн.

Із 2016 року ця ставка становить 18 % без обмежень. Директорка підприємства у 2015 році отримувала зарплату 13 000 грн на місяць, а в 2016 році - 15 000 грн на місяць; старший менеджер у 2015 році отримував зарплату 9000 грн на місяць, а в 2016 році - 10 000 грн на місяць. На яку суму змінився щомісячний податок кожного з них порівняно з 2015 роком?

35.32. (Національна олімпіада Австрії, 1971 р.). Доведіть, що для будь-яких додатних чисел а, b і с справджується нерівність:

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

35.33. Подайте вираз у вигляді степеня з основою х:

35.34. Дано f(х) = sin х - соs х. Знайдіть: