Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 5 ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАНННЯ

§ 43 АСИМПТОТИ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ

Поняття асимптоти графіка функції вже траплялося нам у § 40 (приклад 2, мал. 40.2), це була вертикальна пряма. У цьому параграфі детально розберемося, яку пряму називають асимптотою графіка функції і як знайти її рівняння.

Пряму називають асимптотою графіка функції, якщо відстань між цією прямою і точкою графіка прямує до нуля при віддаленні цієї точки від початку координат.

Асимптоти бувають вертикальними, горизонтальними та похилими.

Наприклад, функція у = (мал. 43.1) має дві асимптоти, вертикальну (х = 0) та горизонтальну (у = 0).

Мал. 43.1

1. Вертикальна асимптота

Якщо існує таке число а, що

то х = а — вертикальна асимптота графіка функції у = f(x).

Виходячи з поняття неперервності функції, можна дійти висновку, що вертикальна асимптота, якщо вона існує, може бути лише в точці розриву функції.

Приклад 1.

Чи має вертикальну асимптоту графік функції

Розв’язання. D(f): х ≠ 3. Оскільки в точці х = 3 функція має розрив, то пряма х = 3 може виявитися вертикальною асимптотою. Маємо:

отже, х = 3 — вертикальна асимптота.

Відповідь. Має.

Приклад 2.

Чи має вертикальну асимптоту графік функції

Розв’язання. D(f): х ≠ 3. У точці х = 3 функція має розрив, тому х = 3 - єдина пряма, яка може бути вертикальною асимптотою. Але

тому х = 3 - не є асимптотою графіка даної функції.

Відповідь. Ні.

2. Похилі та горизонтальні асимптоти

Оскільки асимптота графіка - це пряма, то рівняння похилої асимптоти має вигляд у = kх + І.

Якщо маємо функцію у = f(x), для якої існують

і

причому

то пряма у = kx + І при k ≠ 0 є похилою асимптотою графіка функції у = f(x), а при k = 0 — горизонтальною асимптотою, рівняння якої у = І.

Приймемо це твердження без доведення.

Якщо к = 0, то матимемо у = І — горизонтальну асимптоту.

Приклад 3.

Знайти асимптоти графіка функції

Розв’язання. Оскільки х = 0 — точка розриву функції і

то х = 0 - вертикальна асимптота.

Маємо далі:

Отже, k = 2, тобто існує похила асимптота.

тобто l = 0, отже, у = 2х — похила асимптота.

Відповідь. х = 0 та у = 2х.

Приклад 4.

Знайти похилі асимптоти графіка функції

Розв’язання. Оскільки

то похилих асимптот немає.

Відповідь. Похилих асимптот немає.

Приклад 5.

Знайти похилі асимптоти графіка функції

Розв’язання. Маємо:

Оскільки k = 0, то якщо асимптота існує, то вона буде горизонтальною асимптотою.

Отже, маємо рівняння горизонтальної асимптоти: у = -3.

Відповідь. у = -3.

Зауважимо, що графік функції або будь-яка крива не може мати більше двох похилих асимптот. Функція, яка має границю на нескінченності, при х → +∞ та при х → -∞ не може мати різних значень кожної з цих границь, тому й похилих асимптот може бути не більше ніж дві. Якщо ж значення цих границь збігаються, то функція має тільки одну похилу асимптоту.

• Що називають асимптотою графіка функції?

• У якому випадку пряма х = а є вертикальною асимптотою графіка функції?

• Як знайти похилу асимптоту графіка функції?

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

1. Чи має асимптоти графік функції (43.1—43.2):

43.1.

43.2.

2. Знайдіть вертикальну асимптоту графіка функції (якщо вона існує) (43.3—43.4):

43.3.

43.4.

3. Знайдіть похилу асимптоту графіка функції (якщо вона існує) (43.5—43.6):

43.5.

43.6.

43.7. Зобразіть схематично графік функції у = f(х), областю визначення якої є множина всіх дійсних чисел, крім чисел 2 і 5, якщо відомо, що графік функції має єдину асимптоту х = 2.

43.8. Зобразіть схематично графік функції у = f(х), областю визначення якої є множина всіх дійсних чисел, крім чисел 0 і 3, якщо відомо, що графік функції має дві асимптоти х = 0 і х = 3.

4. Знайдіть усі асимптоти графіка функції (43.9—43.10):

43.9.

43.10.

43.11. 1) У сільських районах щорічно споживають 840 м³ води на одну особу. Яка щорічна потреба у воді в селі з населенням 3000 осіб? 2) Проектна діяльність. Дізнайтеся, скільки населення мешкає у вашому селі або селі, де проживають ваші родичі, та розрахуйте щорічну потребу цього села у воді.

43.12. (Національна олімпіада Болгари, 1980 р.). Доведіть, що для коренів х₁ і х₂ многочлена

де р ∈ R, р ≠ 0, справджується нерівність: