Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 1 ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 4 ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ ОСНОВНИХ ВИДІВ ФУНКЦІЙ. ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ ЗА ДОПОМОГОЮ ГЕОМЕТРИЧНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ. ОБЕРНЕНА ФУНКЦІЯ

У цьому параграфі пригадаємо матеріал, відомий вам з попередніх класів: графіки та властивості основних видів функцій; побудову графіків за допомогою геометричних перетворень. Також ознайомимося з поняттям оберненої функції.

1. Графіки основних видів функцій

Графіком функції у = f(х) називають множину всіх точок (х; у) координатної площини, у яких абсциси належать області визначення функції, а ординати обчислюють за формулою у = f(х).

З попередніх класів ми вже знаємо вигляд графіків функцій

Функція у = kх + І

Функцію вигляду у = kх + І, де k і І — деякі числа, називають лінійною.

Графіком функції у = kх + І є пряма (мал. 4.1-4.3).

Мал. 4.1

Мал. 4.2

Мал. 4.3

Функція у = х²

Графіком функції у = х² є парабола, гілки якої напрямлені вгору, а вершиною є точка (0; 0) (мал. 4.4).

Функція у =

Графіком функції у = є гілка параболи, що лежить у І чверті координатної площини (мал. 4.5).

Мал. 4.4

Мал. 4.5

Функція у = , k ≠ 0

Графіком функції у = , k ≠ 0 є гіпербола, гілки якої лежать у І і III чвертях, якщо k > 0 (мал. 4.6), і у II і IV чвертях, якщо k < 0 (мал. 4.7).

Мал. 4.6

Мал. 4.7

Функція у = ах² + bх + с, а ≠ 0

Графіком функції у = ах² + bх + с, де а ≠ 0, є парабола з вершиною в точці А(х_в; у_в) (мал. 4.8). її можна побудувати в такий спосіб:

1) знайти координати вершини параболи: х_в = - , y_в = у(х_в); якщо а > 0 - гілки параболи напрямлені вгору, якщо а < 0 - униз;

2) знайти ще кілька точок, що належать параболі (під час побудови можна використати симетрію параболи відносно прямої х = х_в);

3) сполучити отримані точки плавною лінією.

Приклад 1. Схематично побудувати графік функції та знайти її проміжки зростання і спадання:

1) у = -3 + 2;

2) у = х² - 2х + 4.

Мал. 4.8

Розв’язання. 1) На малюнку 4.9 зображено графік функції у = -3х + 2. Це пряма, яку проведемо через точки (0; 2) і (1; -1). Функція спадає на проміжку (-∞; +∞).

Мал. 4.9

Мал. 4.10

2) Графіком функції у = х² - 2х + 4 є парабола, гілки якої напрямлені вгору. Знайдемо координати вершини параболи: х_в = - = 1, у_в = 1 - 2 · 1 + 4 = 3. Графік функції схематично зображено на малюнку 4.10. Функція спадає на проміжку (-∞; 1] і зростає на проміжку [1; +∞).

Відповідь. 1) Спадає на (-∞; +∞); 2) спадає на (-∞; 1], зростає на [1; +∞).

2. Властивості основних видів функцій

Систематизуємо дані про властивості основних видів функцій у таблиці (с. 35).

3. Побудова графіків функцій за допомогою перетворень відомих графіків функцій

Нагадаємо, як за допомогою геометричних перетворень графіків функцій можна будувати графіки інших функцій.

Побудова графіка функції у = f(x) ± n, де n > 0

Щоб побудувати графік функції у = f(x) + n, де n > 0, достатньо графік функції у = f(x) перенести вздовж осі у на n одиниць вгору.

Щоб побудувати графік функції у = f(x) - n, де n > 0, достатньо графік функції у = f(x) перенести вздовж осі у на n одиниць униз.

Зауваження. Замість того щоб переносити графік функції вгору або вниз, можна перенести вісь х на стільки ж одиниць у протилежний бік.

Приклад 2. Побудувати графіки функцій у = + 2 і у = - 3.

Розв’язання. Перетворимо графік функції у = . Графіки функцій у = + 2 і у = - 3 зображено на малюнку 4.11.

Мал. 4.11

Побудова графіка функції у = f(x ± m), де m > 0

Щоб побудувати графік функції у = f(х - m), де m > 0, достатньо графік функції у = f(х) перенести вздовж осі х на m одиниць вправо; щоб побудувати графік функції у = f(х + m), де m > 0, достатньо графік функції у = f(x) перенести вздовж осі х на m одиниць вліво.

Зауваження. Замість того, щоб переносити графік функції вправо або вліво, можна перенести вісь у на стільки ж одиниць у протилежний бік.

Приклад 3. Побудувати графіки функцій у = (х - З)² і у = (х + 2)².

Розв’язання. Перетворимо графік функції у = х². Графіки функцій у = х², у = (х - З)² і у = (х + 2)² зображено на малюнку 4.12.

Мал. 4.12

Мал. 4.13

Побудова графіка функції у = -f(x)

Графіки функцій у = f(х) і у = -f(х) симетричні відносно осі х.

Приклад 4. Побудувати графік функції у = -.

Розв’язання. Графіки функцій у = і у = - зображено на малюнку 4.13.

Побудова графіка функції у = kf(x), де k > 0, k ≠ 1

Щоб отримати графік функції у = kf(х), де k > 0, k ≠ 1, треба графік функції у = f(х) розтягнути від осі х у k разів, якщо k > 1, або стиснути його до осі х у разів, якщо 0 < k < 1.

Приклад 5. Побудувати графіки функцій

Розв’язання.

Графік функції у = |х| зображено на малюнку 4.14. На малюнку 4.15 зображено графіки функцій у = |х|, у = 3|х| і у = |х|.

Мал. 4.14

Мал. 4.15

Виконуючи послідовно два і більше перетворень, можна будувати графіки функцій вигляду у = f(х + m) + n, у = kf(x), де k < 0, і деяких інших.

Приклад 6. Побудувати графік функції у = |х - 3| + 2.

Розв’язання. Перенесемо графік функції у = |х| уздовж осі х на 3 одиниці вправо, після чого - уздовж осі у на 2 одиниці вгору. Графік функції у = |х - 3| + 2 зображено на малюнку 4.16.

Приклад 7. Побудувати графік функції у = -3.

Розв’язання. Графік функції у = розтягнемо втричі від осі х, отримаємо графік функції у = 3 (мал. 4.17). Графік функції у = -3 симетричний графіку функції у = 3 відносно осі х (мал. 4.17).

Мал. 4.16

Мал. 4.17

4. Обернена функція

Під час дослідження функцій ми неодноразово розв’язували задачу знаходження значення функції f(х) для заданого значення аргументу х₀. Часто доводилося розв’язувати й обернену задачу: знаходити значення аргументу х, для якого функція набуває заданого значення у₀.

Приклад 8. Дано функцію f(х) = 2х - 7. Знайти значення аргументу, для якого значення функції дорівнює 3.

Розв’язання. Маємо: 3 = 2х - 7, звідки х = 5.

Відповідь. 5.

Приклад 9. Дано функцію f(х) = х² + 2. Знайти значення аргументу, для якого значення функції дорівнює 11. Розв’язання. За умовою: 11 = х² + 2, тоді х = 3 або х = -3. Відповідь. 3; -3.

Функцію, яка набуває кожного свого значення тільки в одній точці області визначення, називають оборотною.

Отже, функція f(x) = 2х - 7, яку ми розглянули у прикладі 8, є оборотною, а функція f(x) = х² + 2, яку ми розглянули у прикладі 9, не є оборотною.

З рівності у = f(x), де f(x) - оборотна функція, як з рівняння, знайдемо х (якщо це можливо), отримаємо: х = g(y). Цю функцію х = g(y) називають оберненою до функції f(x). Оскільки у шкільній математиці прийнято позначати аргумент через х, а функцію через у, остаточно отримаємо: у = g(x).

Приклад 10. Для функції у = 2х - 7 знайти обернену.

Розв’язання. Оскільки функція у = 2х - 7 є оборотною, то для неї можна знайти обернену. Виразимо х через у, матимемо:

Позначимо аргумент через х, функцію - через у і остаточно отримаємо

Побудувавши графіки функцій

в одній координатній площині, можна помітити, що вони є симетричними відносно прямої у = х (мал. 4.18).

Таку властивість мають графіки для будь-якої оборотної і оберненої до неї функцій.

Мал. 4.18

Графіки функцій у = f(x) та оберненої до неї у = g(x) є симетричними відносно прямої у = x.

Можна довести, що коли функція у = g(x) є оберненою до у = f(х), то і, навпаки, функція у = f(х) є оберненою до функції у = g(x). Про такі функції f(x) і g(x) кажуть, що вони є взаємно оберненими.

Функції у = 2х - 7 і у = - взаємно обернені.

Зауважимо, що для взаємно обернених функцій справджується така властивість: областю визначення оберненої функції є множина значень прямої, а множина значень оберненої функції - область визначення прямої функції.

Приклад 11. Для функції у = - 2 знайти обернену.

Розв’язання. Функція у = - 2 є оборотною, її графік зображено на малюнку 4.19. Маємо: у + 2 = .

Оскільки ≥ 0 для всіх значень х з області визначення, то у + 2 ≥ 0, тобто у ≥ -2. Для таких у маємо: х = (у + 2)².

Повертаючись до традиційних позначень, отримаємо, що у = (х + 2)², де х ≥ -2, - функція, обернена до у = - 2 (мал. 4.19).

Відповідь. у = (х + 2)², х ≥ -2.

Мал. 4.19

• Що називають графіком функції у = f(х)?

• Сформулюйте основні властивості кожної з функцій: у = kх + l, у = х²; у = ; у = ,к ≠ 0; у = ах²+bх + с, а ≠ 0.

• Як, користуючись графіком функції у = f(х), побудувати графіки функцій у = f(х) ± n, де n > 0; у = f(х ± m), де m > 0; у = -f(х); у = kf(х), де k > 0, k ≠ 1?

• Яку функцію називають оборотною? Як знайти для неї обернену?

• Яку властивість мають графіки оборотної і оберненої до неї функцій?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. 4.1. (Усно). Зростаючою чи спадною на своїй області визначення є функція:

4.2. Зростаючою чи спадною на проміжку (-∞; +∞) є функція:

4.3. (Усно). Як треба перетворити графік функції у = , щоб отримати графік функції:

4.4. Як треба перетворити графік функції у = х², щоб отримати графік функції:

2. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій (4.5—4.6):

4.5.

4.6.

Побудуйте графік функції (4.7—4.8):

4.7.

4.8.

Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції, попередньо побудувавши схематично її графік (4.9—4.10):

4.9.

4.10.

4.11. (Усно). Які з графіків, зображених на малюнках 4.20- 4.23, є графіками оборотних функцій?

Мал. 4.20

Мал. 4.21

Мал. 4.22

Мал. 4.23

Знайдіть функцію, обернену до функції (4.12—4.13):

4.12.

4.13.

4.14. Доведіть, що функції у = х і у = - збігаються із собі оберненими.

4.15. Доведіть, що функції у = -х і у = збігаються із собі оберненими.

4.16. Знайдіть координати вершини параболи у = 3х² - 6х + 5. Побудуйте схематично графік функції та знайдіть множину її значень.

З. Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції та її найбільше і найменше значення (4.17—4.18):

4.17.

4.18.

4.19. М’яч рухається за законом s(t) = 8t - 4t², де s - відстань у метрах від поверхні землі, t - час у секундах, t ≥ 0.

1) Побудуйте графік руху м’яча.

2) Визначте момент часу, коли м’яч буде на землі.

3) Знайдіть проміжок зростання і проміжок спадання функції s(t).

4) Знайдіть найбільшу висоту, на яку піднявся м’яч.

Побудуйте графік функції (4.20—4.23):

4.20.

4.21.

4.22.

4.23.

4.24. При яких значеннях m функція у = mх - 5m + 2х + 3 є спадною?

4.25. При яких значеннях р функція у = рх + 9р - 4х - 5 є зростаючою?

4.26. При якому значенні b функція у = 4х² + bх + 7 спадає на проміжку (-∞; -1] і зростає на проміжку [-1; +∞)?

4.27. При якому значенні b функція у = -2х² + bх зростає на проміжку (-∞; 4] і спадає на проміжку [4; +∞)?

4.28. Які з даних функцій є оборотними:

Знайдіть функцію, обернену до даної, та побудуйте графіки прямої і оберненої їй функцій, якщо (4.29—4.30):

4.29.

4.30.

4. Побудуйте графік функції. За графіком знайдіть нулі та проміжки знакосталості функції (4.31—4.32):

4.31.

4.32.

4.33. Побудуйте графік функції та знайдіть проміжки, на яких вона зростає, і проміжки, на яких вона спадає:

4.34. Побудуйте графік функції та знайдіть її проміжки зростання і проміжки спадання:

4.35. Доведіть, що графік функції у = |f(х)| можна побудувати так: частину графіка функції у = f(х), яка лежить вище від осі абсцис (і на самій осі), залишаємо без зміни, а частину, яка лежить нижче від осі абсцис, відображаємо симетрично відносно цієї осі (мал. 4.24).

Мал. 4.24

4.36. 1) Доведіть, що функція у = f(|х|) - парна.

2) Доведіть, що графік функції у - f(|х|) можна побудувати так: частину графіка у = f(х), яка лежить праворуч від осі ординат (і на самій осі), залишаємо без зміни, а потім цю частину відображаємо симетрично відносно осі ординат (мал. 4.25).

Мал. 4.25

Побудуйте графік функції (4.37—4.38):

4.37.

4.38.

Знайдіть функцію, обернену до функції (4.39—4.40):

4.39.

4.40.

4.41. Побудуйте графік функції

4.42. Прибуток малого підприємства щомісячно протягом півроку збільшувався на 10 % відносно прибутку за попередній місяць. Податок на прибуток підприємства (ППП) в Україні становить 18 %. Знайдіть розмір ППП, сплаченого підприємством за ці півроку, якщо його прибуток за перший місяць склав 20 000 грн. Округліть до цілих гривень.

4.43. (Задача Стенфордського університету). Три числа є членами арифметичної прогресії, а три інші - членами геометричної прогресії. Додаючи відповідні члени цих прогресій, отримали суми 85, 76 і 84, а сума трьох членів арифметичної прогресії дорівнює 126. Знайдіть члени обох прогресій.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

4.44. Розв’яжіть лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до лінійних:

4.45. Розв’яжіть квадратні рівняння:

4.46. Розв’яжіть дробово-раціональні рівняння: