Алгебра 7 клас - Істер О.С. - Генеза 2015 рік

Розділ 3. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

§ 26. Графік лінійного рівняння з двома змінними

Кожну пару чисел, що є розв’язком рівняння з двома змінними х і у, можна позначити точкою па координатній площині, абсцисою якої є значення х, а ординатою значення у. Усі такі точки утворюють графік рівняння з двома змінними.

З’ясуємо, як виглядає графік лінійного рівняння з двома змінними.

Приклад 1. Побудувати графік лінійного рівняння з двома змінними 5х + 2у = 8.

Р о з в ’ я з а н н я. Виразимо змінну у через змінну х: 2у = -5x + 8; отже, у = -2,5x + 4.

Формула у = -2,5x + 4 задає лінійну функцію, графіком якої є пряма. Для побудови графіка складемо таблицю значень х і у для двох його точок:

Графік функції у = -2,5х + 4 зображено на малюнку 28. Оскільки рівняння 5х + 2у = 8 та у = -2,5х + 4 є рівносильними, то побудована пряма єтакож і графіком рівняння 5х + 2у - 8.

Приклад 2. Побудувати графік лінійного рівняння з двома змінними 0х + 3у = -6.

Р о з в’ я з а н н я. Рівняння 0х + 3у = -6 рівносильне рівнянню у = -2. Це лінійна функція, графіком якої є пряма, що паралельна осі х і проходить через точку (0; - 2) (мал. 29). Ця пряма є також і графіком рівняння 0х + 3у = -6.

Мал. 28

Мал. 29

За допомогою аналогічних міркувань можна показати, що графіком будь-якого лінійного рівняння з двома змінними ах + by = с, де b ≠ 0, є пряма.

Розглянемо випадок, коли b = 0.

Приклад 3. Побудувати графік рівняння 2х + 0у = 8.

Р о з в ’ я з а н н я. Розв’язком даного рівняння є кожна пара чисел вигляду (4; у), де у - будь-яке число, наприклад (4; -2), (4; 0), (4; 3), (4; 7,5). Графік рівняння складається з усіх точок, абсциси яких дорівнюють 4, а ординати будь-які числа. Такі точки утворюють пряму, яка проходить через точку (4; 0) паралельно осі у (мал. 30).

Приклад 4. На малюнку 31 зображено графік рівняння 0х + 1,7у = 5,1, тобто у = 3, а на малюнку 32 - графік рівняння х + 0у = -1, тобто х = - 3.

Розглянемо випадок, коли в лінійному рівнянні ах + by = с обидва коефіцієнти а і b дорівнюють нулю.

Приклад 5. Нехай а = 0, b = 0, с ≠ 0. Тоді маємо рівняння 0х + 0у = с, наприклад 0х + 0у = 2. Це рівняння не має розв’язків, отже, його графік не містить жодної точки, а тому не існує.

Мал. 30

Мал. 31

Мал. 32

Приклад 6. Нехай а = 0, b = 0, с = 0. Тоді маємо рівняння 0х + 0у = 0. Будь-яка пара чисел є розв’язком цього рівняння, а його графіком - усі точки координатної площини.

Що називають графіком рівняння з двома змінними х і у? Яка фігура є графіком рівняння ах + by = с, у якому хоча б один з коефіцієнтів а або bвідмінний від нуля? Як побудувати графік рівняння у = m, де m число; графік рівняння х = n, де n - число?

974. (Усно) Чи належить графіку рівняння х + у - 8 точка:

1) (7; 1);

2) (5; -3);

3) (2; 7);

4) (8; 0)?

975. Які з точок А(5; 0), В(1; 4), С(4; -1), D(0; 5), E(3; 2) належать графіку рівняння х - у = 5?

976. Чи проходить графік рівняння 7х + 5у = 25 через точку:

1) (7; -4);

2) (5;-2);

3) (-1,4; 7);

4) (35; - 44)?

977. Графіки яких рівнянь проходять через точку Р(-2; 3):

1) 7х + 9у = 15;

2) 17у - 4х = 59;

3) 0х + 5у = 15;

4) х + у = -1;

5) 0x + 0у = 5;

6) 1,7x + 1,2у = 0,2?

978. Доведіть, що графіки рівнянь 5х - 8у = -66; 0х + 3у = 21 та 7у - 4х = 57 проходять через точку М(-2; 7).

979. Назвіть дві довільні точки, які належать графіку рівняння 2х - 5у = 20.

980. Знайдіть дві точки, які належать графіку рівняння 3х + 2у = 12, і дві точки, які йому не належать.

981. Побудуйте графік рівняння:

1) х - у = 5;

2) 0,5х + у = 3;

3) х + 3у = 0;

4) 0,2х - 0,4у = 2.

982. Побудуйте графік рівняння:

1) х + у = 6;

2) у - 2х = 0;

3) х - 0,5у = 4;

4) 2х + 3у = 5.

983. Запишіть яке-небудь лінійне рівняння з двома змінними, графік якого проходить через точку Р(1; -3).

984. На графіку рівняння 2х + 3у = 7 вибрано точку з абсцисою -4. Знайдіть ординату цієї точки.

985. На графіку рівняння 5х - 7у = 16 взято точку з ординатою -2. Якою є абсциса цієї точки?

986. Побудуйте графік рівняння:

1) 0х + 2,5у = 12,5;

2) 7х + 0у = -14;

3) 1,9х = 5,7;

4) 3у = - 7,5.

987. Побудуйте графік рівняння:

1) 3х + 0у = -12;

2) 0х - 1,2у = 3,6;

3) 1,8у = 7,2;

4) 4х = 6.

988. (Усно) Запишіть рівняння, графіки яких зображено на малюнках 33-36?

989. При якому значенні m графік рівняння:

1) 5х + 7у = m проходить через початок координат;

2) mх + 2у = 14 проходить через точку (2; -3);

3) 3х - 4у = m + 2 проходить через точку (-1; 5)?

990. Не викопуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь з осями координат:

1) х + 7у = -21;

2) 5х - Зу = 15.

991. Не викопуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь з осями координат:

1) 3х + у = 18;

2) -7х - 2у = 28.

992. Побудуйте графік рівняння:

1)2(х + у) - 3у=1;

2) - = .

993. Побудуйте графік рівняння:

1) 5(х - у) - 4(х + у) =-7;

2) + = 1.

Мал. 33

Мал. 34

Мал. 35

Мал. 36

994. Не виконуючи побудови, визначте, у яких координатних кутах розташовується графік рівняння:

1) 2х - 6у = 0;

2) 3х + у = 0;

3) 1,9х = 190;

4) 8у = 720.

995. Побудуйте в одній системі координат графіки рівнянь 2х + 3у = 6 і 4х + 6у = 8. Чи перетинаються ці графіки?

996. Побудуйте графік рівняння + = .

Вправи для повторення

997. Пряму пропорційність задано формулою у = -х.

Знайдіть:

1) значення у, якщо х = -8; 0; 12; 20;

2) значення х, якщо у = -2; 3; 10.

998. Подайте у вигляді многочлена:

1) 64а² - (8а - 1)² + 14а;

2) m² + 4n² - (m + 2n)² - 12mn;

3) 2m(m - 5) - (m - 5)²;

4) (х - 3)(x + 5) - (х + 1)².

999. Автомобіль і автобус одночасно виїхали назустріч один одному з пунктів А і В, відстань між якими 240 км. Швидкість автомобіля на 20 км/год більша за швидкість автобуса. Знайдіть швидкість автобуса і швидкість автомобіля, якщо воyи зустрілися через 2 год після виїздy, при цьому автомобіль зробив на шляху півгодинну зупинку.

Цікаві задачі для учнів неледачих

1000. Доведіть, що для будь-якого значення х значення виразу х⁸- х⁵ +х²- x + 1 є числом додатним.