Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 3. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

18. Формула суми перших n членів арифметичної прогресії

Розглянемо приклад.

Приклад. Знайти суму натуральних чисел від 1 до 100 включно.

• Запишемо суму S даних чисел двома способами: у порядку зростання доданків і в порядку спадання, та почленно додамо одержані рівності:

Суми пар чисел, розміщених одне під одним у правих частинах цих рівностей, дорівнюють 101; таких пар є 100. Тому

2S = 101 ∙ 100.

Звідси

Отже, сума всіх натуральних чисел від 1 до 100 включно дорівнює 5050. •

Зазначимо, що послідовність натуральних чисел 1; 2; …; 99; 100 є арифметичною прогресією (a_n), у якій a₁ = 1; d = 1; n = 100.

Використаємо проведені міркування для виведення формули суми S_n перших n членів довільної арифметичної прогресії a₁; a₂; …; a_n; … .

Запишемо:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n;

S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2 +… + a₁.

Додамо почленно ці рівності, одержимо:

2S_n= (a₁+ a_n ) + (a₂ + a_n-1) + (a₃ + a_n-2) + … + ( a_n + a₁) .

За властивістю 2 арифметичної прогресії сума кожних двох членів, узятих у дужки, дорівнює a₁ + a_n. Таких сум є n, тому:

2S_n = (a₁ + a_n ) ∙ n.

Звідси

(1)

Якщо в одержаній формулі замість a_n підставити вираз a + (n - 1)d, то матимемо:

Отже,

(2)

Формули (1) і (2) називають формулами суми перших n членів арифметичної прогресії.

Приклади розв’язання вправ

Вправа 1. Знайти суму перших дев’яти членів арифметичної прогресії (a_n): 3; 7; 11; … .

• 1-й спосіб. Маємо: a₁ = 3; d = a₂- a₁ = 7 - 3 = 4.

Знайдемо а₉: a₉ = 3 + 8 ∙ 4 = 35. За формулою (1) знаходимо:

2-й спосіб. Знаючи, що a₁ = 3, d = 4, за формулою (2) знаходимо:

Відповідь. 171. •

Вправа 2. Знайти суму непарних натуральних чисел, які не перевищують 71.

• Непарні натуральні числа утворюють арифметичну прогресію 1; 3; 5; …, у якій a1 = 1, d = 2, a_n = 1 + (n - 1) ∙ 2 = 2n - 1. Знайдемо, який порядковий номер має член 71 цієї прогресії: 71 = 2n - 1; n = 36. Отже, потрібно шукати суму перших тридцяти шести членів прогресії. Знаходимо:

Відповідь. 1296. •

Вправа 3. Знайти суму натуральних чисел, які не більші від 105 і при діленні на 9 дають в остачі 1.

• Натуральні числа, які при діленні на 9 дають в остачі 1, утворюють арифметичну прогресію (a_n): 1; 10; 19; …, у якій a₁ = 1, d = 9, a_n = 1 + (n - 1) ∙ 9 = = 9n - 8. Знайдемо, скільки членів цієї прогресії не перевищують 105. Для цього розв’яжемо нерівність a_n< 105:

Отже, потрібно шукати суму дванадцяти перших членів прогресії. Знаходимо: a₁₂= 1 + 11 ∙ 9 = 100;

Відповідь. 606. •

Вправа 4. Знайти перший член арифметичної прогресії (a_n), якщо сума другого і дванадцятого її членів дорівнює 20,4, а сума одинадцяти перших — 121.

• За умовою маємо: a₂ + a₁₂ = 20,4; S_n = 121. Використавши формули n-го члена та суми перших n членів арифметичної прогресії, одержимо систему рівнянь

Звідси:

Відповідь. 15. •

Вправа 5. Скільки потрібно взяти перших членів арифметичної прогресії (a_n), у якій a₁ = 2, d = 1, щоб їх сума дорівнювала 90?

• Використавши формулу

матимемо:

Корінь n₁ = -15 не задовольняє умову задачі. Отже, n = 12.

Відповідь. 12. •

Рівень А

764. Знайдіть суму десяти перших членів арифметичної прогресії, якщо:

а) a₁= 3; а₁₀ = 21;

б) a₁= 22; a₁₀= -2;

в) a₁= -4; a₁₀= -40;

г) a₁ = 0,4; a₁₀ = 5,8.

765. Знайдіть суму семи перших членів арифметичної прогресії, якщо:

а) a₁ = 15; a₇ = 5;

б) a₁ = -1,2; a₇ = 7,2.

Знайдіть суму перших n членів арифметичної прогресії, якщо:

766.

а) a₁= 8; d = 4; n = 5;

б) a₁= 2; d = -3; n = 6;

в) a₁ = -18; d = 2; n = 11;

г) a₁ = -0,2; d = -0,1; n = 21.

767.

а) a₁ = 1,5; d = 2; n = 8;

б) a₁ = 5; d = -3; n = 6.

768. Знайдіть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії:

а) 3; 9; 15; …;

б) -8; -5; -2; …;

в) 20; 19; 18; …;

г) -2,3; -2,5; -2,7; … .

769. Знайдіть суму дев’яти перших членів арифметичної прогресії:

а) 1; 5; 9; …;

б) -1; -2; -3; …;

в) -11; -6; -1; …;

г) 0,3; 0,5; 0,7; … .

770. Знайдіть суму:

а) п’ятдесяти перших натуральних чисел;

б) натуральних чисел від 11 до 20 включно;

в) цілих чисел від -20 до -1 включно.

771. Знайдіть суму:

а) сорока перших натуральних чисел;

б) натуральних чисел від 51 до 60 включно.

772. Довжини сторін п’ятикутника утворюють арифметичну прогресію. Знайдіть периметр п’ятикутника, якщо довжина його найкоротшої сторони дорівнює 4 см, а найдовшої — 12 см.

773. Сума п’яти перших членів арифметичної прогресії (a_n) дорівнює 25. Знайдіть п’ятий член прогресії, якщо а₁ = -5.

774. Сума дев’яти перших членів арифметичної прогресії дорівнює 126, а дев’ятий член дорівнює 54. Знайдіть перший член прогресії.

Рівень Б

775. Знайдіть суму:

а) непарних натуральних чисел, не більших від 100;

б) парних натуральних чисел, не більших від 56;

в) парних натуральних чисел від 24 до 120 включно;

г) двоцифрових натуральних чисел;

д) натуральних чисел, кратних 7 і не більших від 145;

е) цілих чисел, які належать проміжку [-18; 6).

776. Знайдіть суму:

а) парних натуральних чисел, не більших від 100;

б) непарних натуральних чисел, не більших від 51;

в) непарних натуральних чисел від 17 до 45 включно;

г) натуральних чисел, кратних 5 і не більших від 500;

д) цілих чисел, які належать проміжку (-21; 31).

777. Скільки потрібно взяти перших членів арифметичної прогресії 16; 14; …, щоб їх сума дорівнювала -434?

778. Перший член арифметичної прогресії дорівнює 3, а різниця — 4. Скільки потрібно взяти перших членів цієї прогресії, щоб їх сума дорівнювала 210?

779. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії (аn), якщо a₁₀ = 33; S₈ = 88.

780. Знайдіть різницю арифметичної прогресії (аn), якщо а₆ = 0; S₁₂ = -18.

781. Шостий член арифметичної прогресії на 20 більший від другого члена, а сума дванадцяти перших членів дорівнює 450. Знайдіть перший член і різницю прогресії.

782. П’ятий член арифметичної прогресії дорівнює 5, а сума десяти перших — 60. Знайдіть перший член і різницю прогресії.

783. Знайдіть третій член арифметичної прогресії, якщо сума дев’яти перших її членів дорівнює 18, а сума п’ятнадцяти перших членів — 165.

784. Знайдіть різницю арифметичної прогресії, якщо сума п’яти перших її членів дорівнює -50, а сума десяти перших членів — 25.

785. Знайдіть суму десяти перших членів арифметичної прогресії, п’ятий і восьмий члени якої відповідно дорівнюють 12 і 27.

786. Дев’ятий член арифметичної прогресії більший від четвертого утричі, а їх сума дорівнює 20. Знайдіть суму восьми перших членів прогресії.

787. Ламана складається із дванадцяти відрізків. Довжина першого відрізка дорівнює 25 см, а кожного наступного — на 2 см менша, ніж попереднього. Знайдіть довжину ламаної.

788. Екскаватор вирив траншею завдовжки 375 м, до того ж за перший день він вирив 50 м, а за кожний наступний — на 5 м більше, ніж за попередній. За скільки днів екскаватор вирив траншею?

789. Книжка має 280 сторінок. За перший день учень прочитав 25 сторінок книжки, а за кожний наступний — на 5 сторінок більше, ніж за попередній. За скільки днів учень прочитав усю книжку ?

Рівень В

790. Знайдіть суму двадцяти перших натуральних двоцифрових чисел, які при діленні на 3 дають в остачі 1.

791. Знайдіть суму натуральних трицифрових чисел, кратних 4.

792. Знайдіть суму всіх додатних членів арифметичної прогресії 24; 23,2; … .

793. Знайдіть суму членів арифметичної прогресії з дев’ятого до двадцятого включно, якщо перший член прогресії дорівнює 5, а різниця - -2.

794. Знайдіть суму перших n:

а) парних натуральних чисел;

б) непарних натуральних чисел.

795. Знайдіть натуральне число, яке у 5 разів менше від суми усіх натуральних чисел, які йому передують.

796. Розв’яжіть рівняння:

а) 6 + 11 + … + (1 + 5n) = 111 (n — натуральне число);

б) (х - 1) + (х - 3) + … + ( x - 27) = 350.

797. Для поливання 10 дерев, розміщених у ряд на відстані 3 м одне від одного, садівник приносить відро води для кожного дерева окремо із криниці, розташованої у тому ж ряду за 10 м від першого дерева. Скільки всього метрів пройде садівник, щоб полити всі дерева і повернутися до криниці?

Вправи для повторення

798. Обчисліть:

799. Побудуйте графік функції у = -2х² + 8х та вкажіть:

а) область значень функції;

б) проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень;

в) проміжок, на якому функція зростає.

800. Розв’яжіть систему рівнянь:

801. Фірма купила автомобіль за ціною, яка на 25% нижча від початкової вартості, а продала за ціною, яка на 15% нижча від початкової вартості. Скільки відсотків становить прибуток від витрачених коштів?

802. Скільки кілограмів 9%-го і 12%-го сплавів срібла потрібно взяти, щоб одержати 50 кг сплаву, що містить 10,8% срібла?

Поміркуйте

803. Чи можна множину перших 100 натуральних чисел розбити на 25 груп так, щоб у кожній групі було по 4 числа, одне з яких дорівнювало б середньому арифметичному трьох інших чисел?