Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 3. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

21. Розв'язування задач, пов'язаних з арифметичною та геометричною прогресіями

1. Обчислення сум. Вивчаючи арифметичну та геометричну прогресії, ми знаходили суми перших n їхніх членів. Проте є задачі, розв’язуючи які, доводиться шукати суми чисел, що не утворюють ні арифметичної, ні геометричної прогресії. Такі суми деколи можна знайти, перетворивши певним чином їхні доданки.

Приклад 1. Знайти суму у якій цілі частини доданків утворюють арифметичну прогресію, а дробові частини — геометричну.

• Позначимо цю суму через S і запишемо її так:

У перших дужках записано суму членів арифметичної прогресії (a_n), у якій а₁ = 1, d = 2. Знайдемо, яким за номером членом цієї прогресії є число 13: 13 = а₁ + (n - 1)d; 13 = 1 + (n - 1) ∙ 2; n = 7.

Отже, в перших дужках записано суму семи перших членів арифметичної прогресії.

У других дужках записано суму семи перших членів геометричної прогресії (b_n), у якій

Використавши формули суми перших n членів арифметичної та геометричної прогресій, знаходимо:

Відповідь.

2. Розв’язування рівнянь. Розглянемо приклад.

Приклад 2. Розв’язати рівняння 4х + 7x +… + 25x = 290, у якому коефіцієнти 4, 7, … , 25 утворюють арифметичну прогресію.

• Запишемо рівняння так:

(4 + 7 +… + 25) ∙ х = 290.

У дужках записано суму перших членів арифметичної прогресії, у якій а = 4, d = 3. Знайдемо кількість членів цієї прогресії. Нехай число 25 є її n-м членом. За формулою n-го члена 25 = 4 + (n - 1) ∙ 3, звідки:

21 = 3(n - 1); 7 = n - 1; n = 8.

Отже, у дужках записано суму восьми перших членів арифметичної прогресії. Тоді матимемо:

Відповідь. 2,5. •

Приклади розв'язання вправ

Вправа 1. Знайти суму 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1), де n — натуральне число.

• Числа 1; 3; 5; …; 2n + 1 утворюють арифметичну прогресію (a_n), у якій а₁ = 1, d = 2. Ця прогресія має n + 1 член (якщо n = 1, то маємо прогресію 1; 3, яка має 2 члени; якщо n = 2, то маємо прогресію 1; 3; 5, яка має 3 члени, і т. д.). Використавши формулу суми перших членів арифметичної прогресії, знаходимо:

Відповідь. (n + 1)². •

Вправа 2. Довести, що для будь-якого натурального значення n значення виразу менше від 2.

• Числа 1;

утворюють геометричну прогресію (b_n), у якій b₁ = 1, q = . Ця прогресія має n членів (якщо взяти, наприклад, n = 2, то матимемо прогресію 1; , яка має 2 члени). Використовуючи формулу суми перших n членів геометричної прогресії, знаходимо:

Оскільки для буд-якого натурального значення n, то й значення заданого виразу теж менше від 2 для будь-якого натурального значення n. •

Вправа 3. Розв’язати рівняння х³ + ax² + bx + c = 0, якщо відомо, що його коефіцієнти 1, a, b, c в указаному порядку утворюють геометричну прогресію, знаменник якої дорівнює 2.

• Оскільки 1, a, b, c — геометрична прогресія, перший член якої дорівнює 1, а знаменник — 2, то цією прогресією є: 1, 2, 4, 8, звідки а = 2, b = 4, с = 8. Отже, маємо рівняння х³ + 2х² + 4х + 8 = 0. Розв’яжемо це рівняння, розклавши його ліву частину на множники:

х²(х + 2) + 4(х + 2) = 0;

(х + 2)(х² + 4) = 0;

х + 2 = 0; х = -2; х² + 4 = 0 — коренів немає.

Відповідь. -2. •

Вправа 4. Знайти суму

• Позначимо дану суму через S. Записавши доданки у вигляді 9 = 10 - 1, 99 = 10² - 1, 999 = 10³ - 1 і т. д., матимемо:

S = (10 - 1) + (10² -1) + (10³ -1) +… + (10n -1) = (10 +10² +10³ +… + 10n) - n.

У дужках записана сума перших п членів геометричної прогресії (b_n), у якій b₁ = 10, q = 10. Тому:

Відповідь.

Рівень Б

Знайдіть суму (n — натуральне число):

878.

(дробові частини доданків утворюють геометричну прогресію);

б) 1 + 4 + 7 +… + (3n +1);

в) 1 + 3 + 9 +… + 3ⁿ.

879.

(цілі частини доданків утворюють геометричну прогресію);

б) 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1);

в) 2 + 4 + 8 +… + 2ⁿ.

880. Знайдіть суму перших n натуральних чисел, кратних 5.

881. Знайдіть суму перших n натуральних чисел.

Розв’яжіть рівняння, де х — натуральне число:

882.

а) (2x-100) + (4x-100) +… + (18x-100) = x² -100;

б) 3 + 6 +… + 3x = 165.

883.

a) x + 3x + 5 x +… + 21x = x² +120;

б) 2 + 4 +… + 2x = 90.

884. Куля котиться похилим жолобом. За першу секунду вона пройшла 0,2 м, а за кожну наступну — на 0,1 м більше, ніж за попередню. Який шлях пройшла куля за дев’яту секунду?

885. За вільного падіння тіло за першу секунду пройшло 4,9 м, а за кожну наступну — на 9,8 м більше, ніж за попередню. Який шлях пройшло тіло за шосту секунду?

886. Після реконструкції станків у цеху за перший день виготовили 40 деталей, а далі протягом місяця почали виготовляти щодня на 3 деталі більше, ніж за попередній день. За який день роботи буде виготовлено 100 деталей? За скільки днів у цеху буде виготовлено 178 деталей?

887. Гальмуючи, автомобіль за першу секунду проїхав 15 м, а за кожну наступну — на 3 м менше, ніж за попередню. Знайдіть гальмівний шлях автомобіля.

888. У трикутнику ABC провели середню лінію AC паралельно стороні AC й одержали другий трикутник A₁BC₁. У трикутнику A₁BC₁ знову провели середню лініюю A₂C₂паралельно A₁C₁ й одержали третій трикутник і т. д. Знайдіть висоту шостого трикутника, проведену з вершини B, якщо висота BH трикутника ABC дорівнює 16 см.

Рівень В

889. Доведіть, що корені рівняння х³ - 3х² - х + 3 = 0, записані в порядку зростання, утворюють арифметичну прогресію.

890. Доведіть, що для буд-якого натурального значення n значення виразу більше від n.

891. Знайдіть суму, де n — натуральне число:

Вказівки. а) Запишіть доданки у вигляді різниці двох дробів. Наприклад,

б) Позначте суму через S. Знайдіть 2S, а потім різницю 2S - S.

892. Розв’яжіть рівняння, де х — натуральне число:

893. Доведіть нерівність, де n — натуральне число:

894. Два тіла рухаються назустріч одне одному із двох точок, відстань між якими дорівнює 127 м. Перше тіло рухається рівномірно зі швидкістю 5 м/с. Друге тіло, яке почало рухатися на 3 с пізніше від першого, за першу секунду пройшло 5 м, а за кожну наступну — на 2 м більше, ніж за попередню. Скільки часу рухатиметься друге тіло до зустрічі?

895. Атмосферний тиск зменшується на 10% зі збільшенням висоти на 700 м. Знайдіть атмосферний тиск на висоті 2,8 км, якщо на висоті 5,6 км він дорівнює 50 кПа.

Вправи для повторення

896. Спростіть вираз і знайдіть його значення, якщо а = 2-¹, b = 3^-1.

897. Доведіть нерівність:

898. Знайдіть область визначення функції де m — найбільший корінь рівняння х² - 4х - 12 = 0.

899. Для яких значень а рівняння х - 6 = 3(х - а) має від’ємний корінь?

900. Вкладник вніс до банку певну суму під 15% річних і через 2 роки мав на рахунку 2645 грн. Яку суму вніс вкладник до банку?

Поміркуйте

901. Надруковано мільйон квитків з номерами від 000 000 до 999 999. Квиток з номером вважають «щасливим», якщо af + be + cd =

100. До ведіть, що сума номерів усіх «щасливих» квитків ділиться на 1001.

Цікаво знати

Слово «прогресія» походить від латинського слова «progressio» й означає «рух уперед» (як і слово «прогрес»). Уперше цей термін як математичний ужив у своїх працях римський учений Боецій (V-VI ст.).

Прогресії як часткові види числових послідовностей трапляються у папірусах ІІ тисячоліття до н. е. Перші із задач на прогресії, що дійшли до нас, пов’язані з господарською діяльністю, а саме — з розподілом продуктів, поділом спадку тощо.

Найдавнішою задачею на прогресії вважають задачу з єгипетського папірусу Ахмеса Райнда про поділ 100 мір хліба між п’ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого і т. д. У цій задачі йдеться про арифметичну прогресію, сума п’яти перших членів якої дорівнює 100.

В одній із задач цього папірусу подано формулу першого члена арифметичної прогресії, яку в сучасній символіці записують так:

Переконайтеся, що ця формула є правильною.

Зі знаходженням суми членів арифметичної прогресії пов’язана одна цікава історія. Відомий німецький математик Карл Гаус (1777-1875) ще у школі виявив блискучі математичні здібності. Якось учитель запропонував учням знайти суму ста перших натуральних чисел. Ледь учитель устиг прочитати умову задачі, як малий Гаус підніс руку: «Уже». Увесь клас був захоплений швидкістю, з якою він вирахував. Поміркуйте, як рахував Гаус.

Давно неабиякою популярністю користується задача-легенда, яка датується початком нашої ери. Індійський цар Шерам покликав до себе винахідника гри в шахи, свого підданого Сету, щоб нагородити його за кмітливу вигадку. Коли винахідникові запропонували самому вибрати винагороду, він попросив за першу клітинку шахової дошки дати йому 1 зернину пшениці, за другу — 2 зернини, за третю — 4 і т. д. Виявилося, що цар не зміг виконати прохання Сети. За останню 64-ту клітинку шахової дошки довелося б віддати 2⁶³ зернин пшениці, а за всі клітинки — таку кількість зернин, яка дорівнює сумі членів геометричної прогресії: 1; 2; 2²; 2³; …; 2⁶³. Ця сума дорівнює 2⁶⁴ - 1 = 18446744073709551615. Таку кількість зернин пшениці можна зібрати із площі, яка приблизно у 2000 разів більша від площі усієї поверхні Землі.

Запитання і вправи для повторення § 3

1. Наведіть приклади послідовностей.

2. Які є способи задання послідовностей? Наведіть приклади.

3. Що називають арифметичною прогресією? Наведіть приклади арифметичних прогресій.

4. Запишіть формулу п-го члена арифметичної прогресії.

5. Сформулюйте властивості арифметичної прогресії.

6. За якими формулами шукають суму перших п членів арифметичної прогресії?

7. Що називають геометричною прогресією? Наведіть приклади геометричних прогресій.

8. Запишіть формулу n-го члена геометричної прогресії.

9. Сформулюйте властивості геометричної прогресії.

10. За якими формулами шукають суму перших n членів геометричної прогресії?

902. Знайдіть члени послідовності (аn) із третього до шостого включно, якщо:

а) а_n = 4 - 3n²;

б) а_n = 3-(-2)_n.

903. Запишіть чотири перші члени послідовності (а_n), якщо:

а) а₁ = -5; а_n+1 = 2а_n + 3;

б) а₁ = 3; а₂ = 5; а_n+2 = 5а_n+1 - 2а_n.

904. Послідовність задано формулою х_n = n² - 6. Чи є членом цієї послідовності число 138; число 150?

905. Послідовність задано формулою а_n = n² - 5n. Знайдіть порядкові номери членів послідовності, для яких виконується нерівність аn + 6 < 0.

906. Чи є послідовними членами арифметичної прогресії числа:

а) 5; 14; 23;

б) -12; -11; -9?

907. Знайдіть різницю та четвертий член арифметичної прогресії:

а) 15; 19; 23; …;

б) 1,2; -1,3; -3,8… .

908. Запишіть формулу n-го члена арифметичної прогресії (a_n):

а) 13; 1; -11; …;

б) -4; -3,5; -3; … .

909. Знайдіть n-й член арифметичної прогресії (a_n), якщо:

а) a₁= 2; d = 10; n = 9;

б) a₁= 0,5; d = -1; n = 7;

в) a₁ = -5; a₂ = 2; n = 5;

г) a₁ = -1,6; a₂ = -1,2; n = 6.

910. Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a_n), якщо:

а) a₃ = 16; a₇ = 4;

б) a₄ = 10; a₂₁ = -24.

911. В арифметичній прогресії (a_n): а₂ = -8; а₉ = 27. Знайдіть а₅.

912. Знайдіть периметр п’ятикутника, коли відомо, що довжина однієї його сторони дорівнює 7 см, а кожної наступної — на 2 см більша від попередньої.

913. Знайдіть суму десяти перших членів арифметичної прогресії (a_n), якщо:

а) a₁= -6; a₁₀= 14;

б) a₁= 10; d = -4;

в) a₁= 1; a₆ = 26;

г) a₃ = 6; a₈ = 26.

914. Знайдіть суму всіх:

а) натуральних чисел від 11 до 101 включно;

б) двоцифрових чисел, які не більші від 75;

в) натуральних чисел, кратних 3, які не більші від 121;

г) непарних натуральних чисел, які не більші від 125;

д) парних натуральних чисел від 70 до 170 включно;

е) двоцифрових чисел, які при діленні на 7 дають в остачі 1.

915. Різниця арифметичної прогресії дорівнює 2,1, а сума п’яти її перших членів дорівнює 0,5. Знайдіть:

а) перший член прогресії;

б) п’ятий член прогресії.

916. Заповніть таблицю, якщо (a_n) — арифметична прогресія.

917. Скільки потрібно взяти членів арифметичної прогресії -100; -80; …, щоб їх сума дорівнювала 600?

918. Знайдіть суму членів арифметичної прогресії 7; 21; 35; … з дев’ятого до двадцять першого включно.

919. Знайдіть суму шести перших членів арифметичної прогресії, перший член якої дорівнює х, а різниця — у, якщо (х; у) — розв’язок системи рівнянь

920. Автомобіль після старту за першу секунду проїхав 1,75 м, а далі збільшував свою швидкість, долаючи за кожну наступну секунду на 3,5 м більше, ніж за попередню. Який шлях проїхав автомобіль за 5 с?

921. Чи є послідовними членами геометричної прогресії числа 2; 0,8; 0,32?

922. Знайдіть знаменник і четвертий член геометричної прогресії:

а) 5; 20; 80; …;

б) 1,6; 0,4; 0,1; … .

923. Знайдіть п’ятий член геометричної прогресії:

а) 1; -3; …;

б) 4; 1; … .

924. Знайдіть n-й член геометричної прогресії (b_n), якщо:

а) b = 3; q = 4; n = 4;

б) b = 5; q = -2; n = 7.

925. Знайдіть знаменник геометричної прогресії (b_n), якщо

926. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії (b_n), якщо:

927. Знайдіть суму членів геометричної прогресії (b_n) від третього до сьомого включно, якщо b₁ = 16, q = 0,5.

928. Знаменник геометричної прогресії дорівнює 3, а сума п’яти перших членів — 121. Знайдіть шостий член цієї прогресії.

929*.Чотири числа утворюють геометричну прогресію, сума крайніх членів якої дорівнює -126, а сума середніх - -30. Знайдіть ці числа.

930*. Дано рівнобедрений прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють по 1 см. Гіпотенуза цього трикутника є катетом другого рівнобедреного прямокутного трикутника і т. д. Знайдіть довжину гіпотенузи десятого такого трикутника.

931*. Сума трьох чисел, які утворюють арифметичну прогресію з додатною різницею, дорівнює 51. Якщо від цих чисел відняти відповідно числа 1, 7 і 8, то отримаємо три числа, які утворюють геометричну прогресію. Знайдіть числа, які утворюють арифметичну прогресію.

932*.Три числа, з яких перше більше від третього на 9, є послідовними членами геометричної прогресії. Якщо перше число залишити без змін, від другого відняти 7, а до третього додати 13, то нова трійка чисел утворить арифметичну прогресію. Знайдіть числа, які утворюють геометричну прогресію.

933. Розгляньте Малюнок 80. На бісектрисі OK кута хОу позначено точку М(8; 8). З точки М на осі координат опущено перпендикуляри МА і MB, у результаті чого утворився перший квадрат ОВМА. З точки М₁, яка є серединою діагоналі ОМ, знову опущено перпендикуляри на осі координат і утворився другий квадрат, і т. д. Знайдіть:

а) площу шостого квадрата;

б) суму площ шести таких квадратів;

в) суму периметрів шести таких квадратів.

Рис. 80

934. Розв’яжіть нерівність х² - 3х + m > 0, де m — перший член геометричної прогресії (b_n), у якій b₃ = -16, q = 2.

935*. Для яких натуральних значень n значення суми 1 + 2 + 3 + … + n є:

а) меншим від 1000;

б) трицифровим числом, яке можна записати за допомогою лише однієї цифри?

936. Знайдіть суму, де n — натуральне число:

937. Розв’яжіть рівняння 1 + 4 + 7 +… + (3х - 2) = 145, де х — натуральне число.

Завдання для самоперевірки № 4

Початковий рівень

1. Знайдіть сьомий член послідовності, яку задано формулою а_n = n² - 2n.

а) 7;

б) 35;

в) 63;

г) 24.

2. Яка із заданих послідовностей є арифметичною прогресією?

а) 1; 2; 4; 8;

б) 2; 5; 8; 10;

в) 16; 8; 4; 2;

г) 1; 6; 11; 16.

3. Знайдіть п’ятий член арифметичної прогресії (a_n), якщо а₁ = -5; d = 3.

а) 10;

б) 7;

в) -17;

г) 17.

4. Знайдіть суму дев’яти перших членів арифметичної прогресії (an), якщо а₁ = 2; а₉ = -6.

а) 4;

б) 18;

в) -18;

г) -4.

5. Знайдіть четвертий член геометричної прогресії (b_n), якщо b₁ = 4; q = 3.

а) 192;

б) 108;

в) 314;

г) 27.

6. Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії (b_n), у якій b₁ = -5; q = 2.

а) 160;

б) 155;

в) -160;

г) -155.

Середній рівень

7. Установіть відповідність між початком речення (1-4) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

8. Знайдіть десятий член арифметичної прогресії:

а) 1,2; 3,2; …;

б) -5; -2; … .

9. Знайдіть суму семи перших членів арифметичної прогресії (a_n), якщо а₁ = 2; d = -3.

10. Знайдіть п’ятий член геометричної прогресії (b_n), якщо b₁ = 0,5; q = -3.

11. Знайдіть суму шести перших членів геометричної прогресії -4; -8; … .

Достатній рівень

12. Чи є число -32 членом арифметичної прогресії (a_n), у якій а₁ = -8; d = -2,4?

13. Знайдіть перший член і різницю арифметичної прогресії (a_n), якщо а₁ + а₆ = -12,6; а₅ - а₂ = -9.

14. Знайдіть суму всіх двоцифрових чисел, які при діленні на 3 дають в остачі 2.

15. Четвертий і шостий члени геометричної прогресії відповідно дорівнюють -2 і -8. Знайдіть другий член прогресії.

16. Знайдіть перший член і суму семи перших членів геометричної прогресії (b_n), якщо b₇ = 192; q = 2.

Високий рівень

17. Знайдіть кількість додатних членів арифметичної прогресії 91; 89,5; … .

18. Знайдіть суму двадцяти перших членів арифметичної прогресії, якщо її п’ятий член дорівнює 1, а сума шести перших членів - -1,2.

19. Розв’яжіть рівняння 105 - (7 +12 +… + (2 + 5x)) = 20, де х — натуральне число.

20. Сума трьох перших членів геометричної прогресії дорівнює 13, а третій її член більший від першого на 8. Знайдіть знаменник цієї прогресії.

21. Три числа, з яких третє дорівнює -8, утворюють геометричну прогресію. Якщо перші два числа залишити без змін, а замість третього взяти -6, то нова трійка чисел утворить арифметичну прогресію. Знайдіть числа, які утворюють геометричну прогресію.