Підручник Алгебра 9 клас - В. Кравчук - Підручники і посібники 2017 рік

§ 1. НЕРІВНОСТІ

7. Системи нерівностей з однією змінною

1. Поняття системи нерівностей з однією змінною та її розв’язку. Розглянемо задачу.

Задача. Наталя купила 10 однакових зошитів і заплатила за них більше, ніж 45 грн, а Тарас — 5 таких самих зошитів і заплатив за них менше, ніж 30 грн. Якою може бути ціна зошитів, які купували Наталя і Тарас?

Нехай ціна зошитів дорівнює x грн. Тоді 10 зошитів коштують 10х грн, що за умовою задачі більше ніж 45 грн, тобто 10x > 45.

П’ять зошитів коштують 5х грн, що, за умовою задачі, менше ніж 30 грн, тобто 5х < 30.

Щоб розв’язати задачу, потрібно знайти ті значення х, для яких буде правильною як нерівність 10х > 45, так і нерівність 5х < 30.

Якщо потрібно знайти усі ті значення змінної, які задовольняють кілька нерівностей, то кажуть, що потрібно розв’язати систему нерівностей. Для нашої задачі систему нерівностей записують так:

Значення х = 5 є розв’язком обох нерівностей цієї системи, бо кожна з числових нерівностей 10 ∙ 5 > 45 і 5 ∙ 5 < 30 є правильною. Таке значення х називають розв’язком системи нерівностей.

Означення

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, для якого є правильною кожна з нерівностей системи.

Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.

Щоб розв’язати систему нерівностей поділимо обидві частини першої нерівності системи на 10, а другої — на 5. Одержимо:

На рисунку 20 позначено множини розв’язків нерівностей системи — проміжки (4,5; +∞) і (-∞; 6).

Рис. 20

Значення змінної, для яких є правильною і перша, і друга нерівності системи, — це спільні числа даних проміжків. Тому множиною розв’язків системи нерівностей є проміжок (4,5; 6) — переріз проміжків (4,5; + ∞) і (-∞; 6).

Узагалі, множиною розв ’язків будь-якої системи нерівностей є переріз множин розв’язків нерівностей, які утворюють систему.

Повернімося до задачі. Оскільки множиною розв’язків складеної нами системи нерівностей є проміжок (4,5; 6), то можна сказати, що ціна зошитів більша, ніж 4 грн 50 к., але менша, ніж 6 грн.

Множиною розв’язків системи нерівностей є, як правило, деякий проміжок. Приклади інших можливих множин розв’язків систем нерівностей наведено в таблиці.

2. Розв’язування систем нерівностей з однією змінною. Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв’язати систему нерівностей

• Розв’язуватимемо кожну з нерівностей системи:

Позначимо на координатній прямій множину тих чисел, які задовольняють першу нерівність останньої системи, і множину чисел, які задовольняють другу нерівність.

Спільними розв’язками нерівностей є значення х, які задовольняють нерівність х ≤ -1.

Відповідь. х ≤ -1. (Множину розв’язків системи можна записати у вигляді проміжку (-∞; -1].) •

Приклад 2. Розв’язати систему нерівностей

На координатній прямій позначимо множину чисел, які задовольняють нерівність і множину чисел, які задовольняють нерівність х ≥ -1,5.

Спільними розв’язками нерівностей є значення х, що задовольняють нерівність

Відповідь.

Приклад 3. Розв’язати систему нерівностей

На координатній прямій позначимо множину чисел, які задовольняють нерівність х > 2, і множину чисел, які задовольняють нерівність х < -3.

Спільних розв’язків нерівності не мають. Відповідь. Розв’язків немає. •

Систему нерівностей з однією змінною можна розв’язувати за такою схемою:

1) розв’язуємо кожну нерівність системи;

2) зображуємо множину розв’язків кожної нерівності на одній координатній прямій;

3) знаходимо спільні розв’язки нерівностей і записуємо множину розв’язків системи.

Для тих хто хоче знати більше

Приклад 4. Розв’язати нерівність |х + 11 + |х - 2| < 6.

• Знайдемо значення х, для яких значення виразів, які стоять під знаком модуля, дорівнюють нулю:

х + 1 = 0, х = -1; х - 2 = 0, х = 2.

Значення х = -1 та х = 2 розбивають координатну пряму на три проміжки.

Розв’яжемо нерівність на кожному із цих проміжків.

1) х < -1, або х ∈ (-ю; -1). Для цих значень х вираз х + 1 набуває від’ємних значень, а тому |х + 1| = -х - 1; вираз х - 2 теж набуває від’ємних значень, тому |х - 2| = = -х + 2. Тоді нерівність |х + 1| + |х - 2| < 6 набуде вигляду -х - 1 - х + 2 < 6. Розв’яжемо одержану нерівність:

-2х + 1 < 6; -2х < 5; х > -2,5.

Урахувавши, що значення х мають задовольняти нерівність х < -1, матимемо систему нерівностей множиною розв’язків якої є проміжок (-2,5; -1).

2) -1 ≤ x < 2, або x ∈ [-1; 2). Значення виразу x + 1 для цих значень x є невід’ємними, а значення виразу x - 2 — від’ємними. Тому |x + 1| = x + 1, |x - 2| = -x + 2. Задана нерівність на проміжку [-1; 2) без знака модуля матиме вигляд: x + 1 - x + 2 < 6, звідки 0 ∙ x < 3. Розв’язком останньої нерівності є будь-яке число. Тому всі числа із проміжку [-1; 2) є розв’язками заданої нерівності.

3) x ≥ 2, або x ∈ [2; + оо»). На цьому проміжку вирази x + 1 та x - 2 набувають невід’ємних значень, тому |x + 1| = x + 1, |x - 2| = x - 2. Задана нерівність на проміжку [2; + оо») без знака модуля матиме вигляд: x + 1 + x - 2 < 6, звідки: 2x < 7; x < 3,5.

У даному випадку значення x повинні задовольняти дві нерівності: x ≥ 2 й x < 3,5, тобто систему множиною розв’язків якої є проміжок [2; 3,5).

Отже, множиною розв’язків заданої нерівності є об’єднання проміжків (-2,5; -1), [-1; 2) і [2; 3,5), тобто проміжок (-2,5; 3,5).

Відповідь. (-2,5; 3,5). •

Приклади розв’язання вправ

Вправа 1. Для яких значень х має зміст вираз

• Даний вираз має зміст для тих значень х, для яких кожний з виразів 2x + 9 і 5 + x набуває невід’ємних значень. Отже, шукані значення x повинні задовольняти систему нерівностей

Розв’яжемо одержану систему:

Спільними розв’язками нерівностей є значення x, які задовольняють нерівність x ≥ -4,5.

Відповідь. x ≥ -4,5. •

Вправа 2. Розв’язати нерівність

• Дріб додатний лише тоді, коли його чисельник і знаменник додатні або коли вони обидва від’ємні. Тому розв’язками даної нерівності є значення х, для яких:

Розв’язками першої системи нерівностей є значення х, які задовольняють нерівність х > 2, а другої — нерівність х < -1.

Відповідь. х < -1 або х > 2. (Множину розв’язків можна записати у вигляді об’єднання проміжків: (-∞; -1) ∪ (2; + ∞).) •

Зауваження. Розв’язування нерівності (х - 2)(х + 1) > 0 також зводиться до розв’ язування двох систем нерівностей, наведених у попередньому прикладі. Тому множиною розв’язків цієї нерівності теж є (-да; -1) ∪ (2; + ∞).

Вправа 3. Розв’язати подвійну нерівність 4 < 3 - 2х ≤ 9.

• Дану подвійну нерівність можна записати у вигляді системи

Розв’яжемо систему нерівностей:

Відповідь. -3 ≤ х < -0,5, або по-іншому [-3; -0,5). •

Зауважимо, що подвійну нерівність у вправі 3 можна розв’язати й на основі властивостей рівносильності нерівностей (див. пункт 5, вправа 2).

Усно

229. Які з чисел -4; 0; 5 є розв’язками системи нерівностей

230. Чи правильно записана множина розв’язків кожної із систем нерівностей, поданих у таблиці?

231. Який із проміжків є множиною розв’язків системи нерівностей

Рівень А

32. Які з чисел -3; 0; 5; 10 є розв’язками системи нерівностей

233. Чи є число -2 розв’язком системи нерівностей:

Розв’яжіть систему нерівностей:

234.

235.

236.

237.

238.

239.

240. Розв’яжіть систему нерівностей і вкажіть найбільше ціле число, яке є її розв’язком:

241. Знайдіть натуральні розв’язки системи нерівностей:

242. Маса 100 однакових зернин не перевищує 80 г, а маса 50 таких самих зернин не менша ніж 35 г. Якою може бути маса однієї зернини?

243. Автомобіль рухався з постійною швидкістю і за 1,5 год проїхав більше ніж 105 км, а за 2 год — менше ніж 150 км. Якою може бути швидкість автомобіля?

Рівень Б

Розв’яжіть систему нерівностей:

244.

245.

246.

247.

248.

249.

250. Знайдіть суму та добуток усіх цілих розв’язків системи нерівностей

251. Скільки цілих розв’язків має система нерівностей

Розв’яжіть подвійну нерівність, перейшовши до системи нерівностей:

252. а) -5 ≤ 3х - 2 < 10; б) 1,2 ≤ 2 - 4х ≤ 2,8.

253. а) -2 < 5х + 3 ≤ 8; б) 4,4 < 1 - 2х < 4,8.

254. Для яких значень аргументу значення функції належать проміжку [-3; 1]?

255. Для яких значень аргументу значення функції більші від -3, але менші від 7?

Розв’яжіть нерівність:

256.

а) (х - 3)(х + 1) < 0;

б) (х - 1)(2х + 5) ≥ 0;

257.

а) (х - 2)(2х - 5) < 0;

258. Знайдіть область визначення функції:

259. Для яких значень х має зміст вираз:

Розв’яжіть систему нерівностей:

260.

261.

262. Катер пройшов річкою шлях від пристані А до пристані В і повернувся назад. Його швидкість у стоячій воді дорівнює 18 км/год, а швидкість течії річки — 3 км/год. Відомо, що час руху катера більший ніж 1,5 год, але менший, ніж 2 год. Якою може бути відстань між пристанями?

263. Поїзд рухається з деякою швидкістю. Якщо він збільшить швидкість на 10 км/год, то за 4 год пройде менше, ніж 260 км. Якщо ж він зменшить швидкість на 5 км/год, то за 5 год пройде більше ніж 240 км. Якою може бути швидкість поїзда?

Рівень В

264. Знайдіть усі значення а, для яких система нерівностей

а) не має розв’язків;

б) має 4 цілі розв’язки.

265. Знайдіть усі значення а, для яких множина розв’язків системи нерівностей є підмножиною проміжку (5; +да).

266. Розв’яжіть систему нерівностей з параметром а:

267. Знайдіть усі значення а, для яких рівняння х² - 2(а - 1)х + а² - 2а = 0 має корені, один з яких менший від 0, а інший — більший від 1.

268. Розв’яжіть нерівність:

а) 3х + |х - 1| ≤ 7; б) |6 - 3x| - (3x - 5) > 1;

в) |x| + |4x - 1| < 3; г) |2x + 5| - |3x - 6| > 4.

269. Змішали 2 кг 30%-го розчину сульфатної кислоти із 3 кг другого розчину цієї ж кислоти й одержали розчин, відсотковий уміст у якому сульфатної кислоти більший від 36%, але менший від 42%. Скільки відсотків сульфатної кислоти містив другий розчин?

Вправи для повторення

270. Знайдіть значення функції у = 4 - 2х², якщо х = 0; х = -3; х = 3. Чи проходить графік цієї функції через точку А(4; -28)?

271. Побудуйте графік функції:

а) у = 2 x - 2;

б) у = -.

272. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій y = lx - 12 та у = x².

273. Для яких значень k графіки функцій y = kx + 4 й y = 0,5x - 2 перетинаються в точці, що лежить на осі абсцис?

274. Знайдіть три послідовні натуральні числа, якщо відомо, що сума квадратів найменшого і найбільшого чисел у 5 разів більша від середнього числа.

Поміркуйте

275. Чи можна в таблиці розміру 9 х 9 розставити знаки «+» так, щоб у кожному рядку їх кількість була парною, а в кожному стовпці — непарною?

Цікаво знати

Як відомо, виникнення чисел обумовлене потребами практичної діяльності людини. Застосування ж чисел вимагало вміння їх порівнювати. Робити це люди навчилися багато тисячоліть тому.

Ще в «Началах» Евкліда суто геометрично було обґрунтовано нерівність , де a і b розглядали як довжини відрізків.

Розглянемо геометричну ілюстрацію цієї нерівності (див. рис. 21).

На відрізку MN завдовжки a + b як на діаметрі побудовано півколо; О — його центр; MK = a, KN = b; PO і LK — перпендикуляри до прямої MN, де P і L — точки півкола. Трикутник MLN — прямокутний (∠ L = 90°), LK — його висота, тому

Оскільки відрізок PO — радіус півкола, то

Урахувавши, що PO ≥ LK, маємо:

Цю доволі відому нерівність між середнім арифметичним і середнім геометричним двох додатних чисел, яку можна поширити на випадок більшої кількості чисел, називають ще нерівністю Коші.

Огюстен Луї Коші — відомий французький математик. Він написав понад 800 праць з арифметики і теорії чисел, алгебри, математичного аналізу, теоретичної та небесної механіки, математичної фізики. Були періоди, коли Коші щотижня подавав у Паризьку Академію Наук нову математичну працю. Швидкість, з якою Коші переходив від одного предмета до іншого, дозволила йому прокласти в математиці чимало нових шляхів. Багато теорем, означень, ознак носять його ім’я.

Огюстен Луї Коші (1789 - 1857)

Наведемо ще дві відомі нерівності, які, як і нерівність Коші, використовують для доведення багатьох математичних тверджень, зокрема, для доведення інших нерівностей.

Нерівність Коші — Буняковського:

де a₁, a₂, …, a_n; b₁, b₂, …, b_n — довільні дійсні числа.

Віктор Якович Буняковський — відомий український математик. Народився в місті Бар на Вінниччині, навчався в Парижі, де в той час викладали такі видатні вчені, як Лаплас, Фур є, Пуассон, Коші, Ампер та інші. Там же в 1824 році блискуче захистив докторську дисертацію й отримав ступінь доктора математичних наук Паризького університету. У 1826 році Віктор Буняковський переїхав до Петербурга, де майже 40 років викладав математику й механіку в цивільних і військових навчальних закладах, зокрема — у Петербурзькому університеті. Упродовж 25 років (1864 - 1889) був віце-президентом Петербурзької Академії Наук.

Віктор Якович Буняковський (1804 - 1889)

Нерівність Коші — Буняковського не єдиний значний здобуток українського математика. Віктор Буняковський написав понад 100 наукових праць з різних розділів математики, зокрема з теорії чисел, математичного аналізу, теорії ймовірностей, статистики. Зважаючи на вагомий внесок у розвиток математики, він був обраний почесним членом усіх університетів царської Росії. Петербурзька Академія наук удостоювала премії імені Буняковського за найкращі праці з математики.

Нерівність Беркуті:

(і + х)n ≥ 1 + nx,

де х > -1, n — натуральне число.

Якоб Бернуллі — швейцарський математик, працював професором Базельського університету. Основні його праці стосуються математичного аналізу, та особливу увагу вчений приділяв теорії ймовірностей, чимало теорем якої названо його ім’ям. Бернуллі започаткував один з розділів прикладної математики — математичну статистику.

Якоб Бернуллі (1654 - 1705)

Запитання і вправи для повторення § 1

1. У якому випадку число а більше від числа b; менше від числа b?

2. Як розташовані на координатній прямій точки, що відповідають числам а і b, якщо а < b; а > b?

3. Які нерівності називають строгими; нестрогими?

4. Сформулюйте властивості числових нерівностей. Доведіть їх.

5. Сформулюйте властивість додавання числових нерівностей. Доведіть її.

6. Сформулюйте властивість множення числових нерівностей. Доведіть її.

7. Сформулюйте наслідок із властивості множення числових нерівностей.

8. Наведіть приклади числових проміжків.

9. Що називають об’єднанням двох множин?

10. Що називають перерізом двох множин?

11. Наведіть приклади нерівностей з однією змінною.

12. Що називають розв’язком нерівності з однією змінною? Що означає розв’язати таку нерівність?

13. Які нерівності називають рівносильними?

14. Сформулюйте властивості рівносильності нерівностей.

15. У якому випадку нерівності зі змінною утворюють систему нерівностей?

16. Що називають розв’язком системи нерівностей з однією змінною?

17. Назвіть кроки розв’язування системи нерівностей з однією змінною.

276. Порівняйте числа а і с, якщо:

а) а - с = 1,4;

б) c - а = -2;

в) а - 3 > c - 3;

г) 0,1а < 0,1c.

277. Порівняйте числа:

Доведіть нерівність:

278.

279*

280. Виділивши із тричлена квадрат двочлена, доведіть нерівність:

281*. Два катери, що мають ту саму швидкість у стоячій воді, проходять двома різними річками однакову відстань за течією річки і повертаються у ті пункти, з яких вийшли. У якій з річок на цей рух потрібно більше часу: у річці зі швидкою течією чи в річці з повільною течією?

282. Відомо, що m > 2. Доведіть, що:

а) 3m + 4 > 10;

б) 1,5m - 1 > 0;

в) 5 - 3m < -1.

283. Відомо, що 2 < с < 4. Оцініть значення виразу:

а) 2с - 5;

б) -2,5c + 1;

в) .

284. Оцініть значення виразу:

а) a - 2b, якщо -3 < a < -2,5; 1,5 < b < 2;

б) ab + 10b², якщо 1 < a < 2; 0,3 < b < 0,4.

285. Оцініть довжину l середньої лінії трапеції з основами a і b, якщо 7,4 < a < 7,5 і 4,8 < b < 4,9.

286. Зобразіть на координатній прямій проміжок:

а) [-1,5; 2);

б) [3; + ∞);

в) (-∞; -7];

г) (2; 7).

Назвіть, якщо можливо, найбільше і найменше числа, які належать заданому проміжку.

287. Знайдіть об’єднання та переріз проміжків:

а) [-2; 1] і (-1; 3);

б) [2; 4) і [4; 5);

в) (-∞; 1,5) і [-1; 0];

г) (-∞; 1] і (-3; + ∞).

288. Знайдіть об’єднання та переріз множин А і В, якщо:

а) А = {-2; 0; 2}, B = {0; 1; 2};

б) А = {2; 3; 5; 7; 11}, B = {1; 3; 5; 7; 9}.

289. Чи є число 1,999 розв’язком нерівності х < 2? Знайдіть яке-небудь число, більше від 1,999, що задовольняє дану нерівність.

Розв’яжіть нерівність:

290. а) х - 3 < 0;

б) 4х ≥ 30;

в) -5х > 2;

г) 3 + 2х ≤ 1.

291.

292.

293. Знайдіть усі натуральні числа, які задовольняють нерівність:

а) 8 - 3(х +1)>-10;

б) 7 - 3y ≥ 2у - 23.

294. Для яких значень x значення дробу більше від відповідного значення дробу

295. Знайдіть усі значення a, для яких рівняння має від’ємний корінь:

а) 5x - 2а = 0; б) x - 7 = 3a;

в) x + 9 = 4a + 3; г) 1 - 2x = 3a + 5.

296. Знайдіть усі значення а, для яких рівняння x² - 4x + 2а = 0:

а) має два різні корені;

б) не має коренів.

Розв’яжіть нерівність:

297.

а) |x - 3| < 18;

б) |2x + 7| ≥ 9;

в) 1 - |x + 2| < 2(|x + 2| + 5);

г) 11 - x| + |x| ≤ -2.

298*.

а) |x + 2| + |x - 2| < 6;

б) |4x + 2| - |x - 6| > 1.

299. З Києва до Рівного виїхав автобус і рухається зі швидкістю 70 км/год, а через годину вслід за ним виїхав автомобіль. З якою швидкістю повинен їхати автомобіль, щоб наздогнати автобус до його прибуття у Рівне, якщо відстань між цими містами дорівнює 320 км?

Розв’яжіть систему нерівностей:

300.

301.

302. Знайдіть найменше ціле число, яке є розв’язком системи нерівностей

303. Розв’яжіть подвійну нерівність:

304. Розв’яжіть нерівність:

305. Знайдіть область визначення функції:

306. Три ділянки прямокутної форми мають однакову довжину, яка дорівнює 12 м. Ширина першої ділянки на 1,5 м менша від ширини другої й на 0,5 м більша від ширини третьої. Якою може бути ширина першої ділянки, якщо площа другої ділянки більша від 90 м², а площа третьої — менша від 72 м²?

Завдання для самоперевірки № 1

Початковий рівень

1. Відомо, що a < b. Якому з чисел може дорівнювати різниця a - b:

а) 6;

б) 0,03;

в) -1,2;

г) 0?

2. Відомо, що х > у. Укажіть правильні нерівності:

а) х - 2 > у - 2;

б) -х > -у;

в) 5х < 5у;

г) 2х + 1 > 2у + 1.

3. Розв’язком якої нерівності є число -3?

а) 5х + 1 > 0;

б) -х + 7 ≥ 0;

в) -2х - 1 < 0;

г) х + 8 ≤ 0.

4. Укажіть проміжок, зображений на рисунку 22.

Рис. 22

а) (-∞; 3);

б) (-3; +∞);

в) [3; +∞);

г) (-∞; -3].

5. Множиною розв’язків нерівності х + 2 < 0 є …

а) (-∞; -2];

б) (-∞; -2);

в) (-2; +∞);

г) [-2; +∞).

6. Множиною розв’язків системи нерівностей

а) (-∞; -1);

б) [-1; 2];

в) (-1; 2];

г) [2; +∞).

Середній рівень

7. Установіть відповідність між нерівностями (1-4) та множинами їх розв’язків (А-Д).

8. Порівняйте числа:

9. Відомо, що 4 ≤ х ≤ 5; 2 ≤ у ≤ 3. Оцініть значення виразу:

а) х + у;

б) 2х - у.

10. Знайдіть об’єднання та переріз проміжків:

а) (4; 7] і [-1; 5);

б) (∞; 1] і (0; + х).

11. Знайдіть область визначення функції:

12. Розв’яжіть систему нерівностей

Достатній рівень

13. Доведіть нерівність:

а) (3m - 1)(3m + 1) > 9m² - 7;

б) х² + 8х + 19 > 0.

14. Вимірявши довжину а і ширину b прямокутника (у сантиметрах), знайшли, що 2,1 < а < 2,2 і 1,7 < b < 1,8. Оцініть:

а) периметр прямокутника;

б) площу прямокутника.

15. Розв’яжіть нерівність:

16. Розв’яжіть подвійну нерівність

17. Розв’яжіть систему нерівностей:

18. Моторний човен пройшов деякий шлях за течією річки і повернувся в початковий пункт. Швидкість течії річки дорівнює 3 км/год, а швидкість човна у стоячій воді — 15 км/год. На яку відстань від початкового пункту відплив човен, якщо вся поїздка тривала більше ніж 3 год, але менше ніж 4 год?

Високий рівень

19. Доведіть нерівність:

20. Знаючи, що 0,6 ≤ a ≤ 0,7; 0,4 ≤ b ≤ 0,5, оцініть значення виразу:

21. Розв’яжіть нерівність:

а) |3х - 0,51 ≤ 3,5;

б) |2х + 1| > 1.

22. Знайдіть цілі розв’язки системи нерівностей

23. Знайдіть область визначення функції:

24. Два туристи пройшли шлях від пункту A до пункту B. Перший турист половину шляху йшов зі швидкістю 4 км/год, а другу половину — зі швидкістю 5 км/год. Другий же турист першу половину шляху йшов зі швидкістю 6 км/год, а другу половину — зі швидкістю 3 км/год. Хто з них швидше подолав шлях між пунктами?