Підручник Алгебра 9 клас - Г. П. Бевз - Освіта 2017 рік

Розділ 2 БОГОЛЮБОВ Микола Миколайович (1909-1992)

Квадратична функція

§ 13 Системи рівнянь другого степеня

З поняттям «система рівнянь» ви ознайомилися в 7 класі. Тоді розглядалися системи двох лінійних рівнянь з двома змінними та способи їх розв’язування. На практиці часто доводиться розглядати системи, що містять рівняння другого степеня.

Приклади рівнянь другого степеня з двома змінними:

Кожне з таких рівнянь має дві змінні та принаймні один член другого степеня відносно цих змінних. Тобто або одну змінну в квадраті, або добуток двох змінних.

Приклади рівнянь першого, третього і четвертого степенів:

Якщо одне з рівнянь системи — другого степеня з двома змінними, а друге — рівняння з тими самими змінними другого або першого степеня, то таку систему називають системою двох рівнянь другого степеня з двома змінними.

Пригадаємо. Розв’язком рівняння з двома змінними називається кожна пара чисел, яка перетворює це рівняння в правильну рівність.

Розв’язком системи рівнянь називають спільний розв’язок усіх її рівнянь.

Розв’язати систему рівнянь — означає знайти множину всіх її розв’язків.

Наприклад, для рівнянь x² + y - 5 = 0 і x - у + 3 = 0 спільними розв’язками є пари чисел (-2; 1) і (1; 4). Перевірте усно. Інших спільних розв’язків ці рівняння не мають (мал. 107).

Отже, система має два розв’язки, її задовольняють дві пари чисел: (-2; 1) і (1; 4).

Існують різні способи розв’язування систем рівнянь. Основними серед них є:

• спосіб підстановки;

• спосіб алгебраїчного додавання;

• графічний спосіб.

Покажемо на конкретних прикладах, як ці способи використовують під час розв’язування систем рівнянь другого степеня.

Мал. 107

Приклад. Розв’яжіть систему рівнянь:

Розв’язання. а) Спосіб додавання. Додаємо рівняння системи, маємо 3х² = 27, звідси x² = 9, x₁ = 3, x₂ = -3.

Оскільки x² = 9, то з другого рівняння знаходимо: y₁ = y₂ = 1.

Отже, система має два розв’язки: (3; 1) і (-3; 1). б) Спосіб підстановки. Виразимо з другого рівняння x² через у і підставимо його в перше рівняння:

2(y + 5) - y² = 2, або y² - 2y - 8 = 0.

Знаходимо корені рівняння: y₁ = 4, y₂ = -2.

Якщо y = 4, то x² = 9, звідси x₁ = 3, x₂ = -3.

Якщо y = -2, то x² = 3, звідси

Отже, дана система рівнянь має 4 розв’язки:

в) Графічний спосіб. Графіком першого рівняння є коло з центром у початку координат і радіусом 5 одиниць.

Графіком другого рівняння є гіпербола

Мал. 108

Побудуємо графіки цих рівнянь в одній системі координат (мал. 108) і визначимо координати точок їх перетину.

З графіка бачимо, що дана система рівнянь має чотири розв’язки: (-4; -3), (-3; -4), (3; 4), (4; 3). Безпосередньою підстановкою переконуємося, що це точні розв’язки даної системи.

ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?

Для розв’язування деяких видів систем використовують спосіб заміни змінних. Розв’яжемо цим способом такі системи рівнянь:

Розв’язання.

звідси xy(11 - xy) = 30.

Замінивши xy = a, матимемо з останнього рівняння а² - 11а + 30 = 0. Коренями цього квадратного рівняння є 5 і 6.

Якщо xy = 5, то x + у = 6; якщо xy = 6, то x + у = 5.

Маємо дві системи рівнянь:

Розв’язавши обидві системи, одержимо розв’язки заданої системи:

а) (5; 1), (1; 5); (3; 2), (2; 3).

б) Сформуємо повний квадрат двочлена в першому рівнянні системи:

Уведемо нові змінні: a = x - 2, b = x - 2y. Тоді задана система матиме такий вигляд:

(*)

Якщо від першого рівняння відняти друге, то одержимо квадратне рівняння з однією змінною b² + b = 2, яке має корені b₁ = -2 і b₂ = 1.

Підставимо ці значення b у систему (*) і знайдемо відповідні значення змінної а.

Якщо b₁ = -2, то а² + 2 = 3, звідси а₁ = -1 або а₂ = 1.

Якщо b₂ = 1,то а² -1 = 3, звідси а₁ = -2 або а₂ = 2.

Отже, розв’язками системи рівнянь (*) є такі пари чисел:

(-1; -2), (1; -2), (-2; 1), (2; 1).

Щоб знайти розв’язки заданої системи, потрібно перейти до змінних x і y та розв’язати (можна усно) відповідні системи:

Одержимо: (1; 1,5), (3; 2,5), (0; -0,5), (4; 1,5).

Відповідь. а) (5; 1), (1; 5); (3; 2), (2; 3); б) (1; 1,5), (3; 2,5); (0; -0,5), (4; 1,5).

Перевірте себе

1. Наведіть приклад рівняння другого степеня з двома змінними.

2. Що є розв’язком рівняння з двома змінними?

3. Скільки розв’язків може мати рівняння з двома змінними?

4. Яка фігура є графіком рівняння:

а) у = х²;

б) х² + у² = 4;

в) (х - 1)² + (у - 2)² = 9;

г) у² = х?

5. Що таке система двох рівнянь другого степеня з двома змінними?

6. Скільки розв’язків може мати система двох рівнянь другого степеня з двома змінними?

7. Назвіть основні способи розв’язування системи рівнянь другого степеня з двома змінними.

Вионаємо разом

1. Розв’яжіть систему рівнянь:

• Розв’язання. а) Додамо почленно дані рівняння системи, маємо рівняння 2х² = 72, корені якого -6 і 6. Підставивши будь-яке з цих значень у друге рівняння даної системи, матимемо 36 - у² =11. Корені цього рівняння -5 і 5. Отже, система має чотири розв’язки: (6; 5), (-6; -5), (-6; 5) і (6; -5).

б) Віднімемо почленно перше рівняння від другого: у² - 2ху + х² = 1, або (у - х)² = 1.

Звідси у - х = 1, або у - х = -1.

Якщо у - х = 1, то у = х + 1. Підставимо в перше рівняння ху - х² = 2 замість у вираз х + 1:

х(х + 1) - х² = 2, х² + х - х² = 2, х - 2, тоді у - 2 + 1 = 3.

Якщо у - х - -1, то у - х - 1, і з першого рівняння ху - х² = 2

маємо: х(х - 1) - х² = 2, х² - х - х² = 2, х = -2, тоді у = -2 - 1 = -3.

Отже, система має два розв’язки: (2; 3), (-2; -3).

Відповідь. а) (6; 5), (-6; -5), (-6; 5), (6; -5); б) (2; 3), (-2; -3).

2. Чи має розв’язки система рівнянь:

Розв’язання. Побудуємо в одній системі координат графіки обох рівнянь. Це параболи, які перетинаються у двох точках (мал. 109). Отже, система рівнянь має два розв’язки.

Відповідь. Система рівнянь має два розв’язки.

Мал. 109

Виконайте усно

515. Чи є розв’язком рівняння х² - 3x = у пара чисел:

а) (0; 0);

б) (3; 0);

в) (0; 3);

г) (-3; 0);

ґ) (0; - 3);

д) (3; 3)?

516. Чому не має розв’язків рівняння:

а) х² + у² + 4 = 0;

б) х² + у² = 2xy - 3?

517. Чи є пара чисел (0; 2); (1; 1); (-1; 1); (-2; 0); (3; 3) розв’язком системи рівнянь:

518. 1) Чому не має розв’язків система рівнянь:

2) Відкрита задача. Складіть систему рівнянь другого степеня, яка не має розв’язків.

519. Яке рівняння відповідає графіку (мал. 110): а) синього кольору; б) червоного кольору; в) синього і червоного кольорів разом?

Мал. 110

Рівень А

520. Побудуйте графік рівняння:

Чи можна побудовані графіки вважати графіками функцій? Розв’яжіть графічно систему рівнянь (521—524).

521.

522.

523.

524.

Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки (525—527).

525.

526.

527.

Розв’яжіть систему рівнянь способом алгебраїчного додавання (528—529).

528.

529.

Розв’яжіть системи рівнянь (530—532).

530. Задачі Діофанта.

Діофант Александрійський

Складіть системи, аналогічні задачам 530-532, та розв’яжіть їх.

531. Задачі Іоанна Палермського.

532. Задачі Леонардо Фібоначчі.

Рівень Б

533. Побудуйте графік рівняння:

Чи можна побудовані графіки вважати графіками функцій? Розв’яжіть графічно систему рівнянь зокрема і відкриту (в) (534—536).

534.

535.

536.

Розв’яжіть систему рівнянь (537—540).

537.

538.

539.

540.

« Любов до науки спонукала мене скласти коротку книгу про обчислення алгебри й алмукабали, бо це необхідно людям при поділі спадщин, складанні заповітів, поділі майна і в судових справах, у торгівлі й усіляких угодах, а також, коли міряють землю, прокладають канали… .

Аль-Хорезмі

Розв’яжіть системи рівнянь з праць відомих авторів (541—542).

541. З «Книги абака» (1202 р.) Леонардо Фібоначчі:

542. З «Алгебри» аль-Хорезмі (IX ст.):

Розв’яжіть систему рівнянь (543—545).

543.

Аль-Хорезмі

544.

545.

Розв’яжіть систему рівнянь способом заміни змінних (546—548).

546*.

547*.

" Використання замін змінних для зведення складних об’єктів до простіших є надзвичайно плідною математичною ідеєю".

А. М. Самойленко

548*.

549. Знайдіть числа a і b, якщо:

а) 3a + 4b = 8ab - 8;

б) a²- 0,5b = a - b = 1;

в) a² + ab - 5 = b² + ab = 10;

г) a² + b² - 6b = 2a + b = 0;

ґ) a² + b - 2a = a + b = -1;

д) 3(a - 2)(b + 1) = a - b = 3.

550. Знайдіть відстань між точками перетину:

а) прямої і кола, рівняння яких x - y = 7 i x² + y² = 169;

б) кіл, рівняння яких x² + y² = 25 і (x - 4)² + (y - 4)² = 1. Побудуйте відповідні графіки і перевірте безпосереднім вимірюванням або візуально, чи правильно виконане завдання? Складіть і розв’яжіть аналогічну задачу про гіперболу.

Вправи для повторення

551. Установіть відповідність між парами функцій f(x) і g(x) (1-4) та відстанню між точками (А-Д), у яких перетинаються графіки цих функцій.

552. 1) Швидкість світла дорівнює 3 ∙ 10⁵км/c. Яку відстань світло проходить за: а) 5 с; б) 1 год; в) 1 рік?

2) Швидкість звуку в повітрі наближено дорівнює 343 м/с. Яку відстань звук проходить за: а) 5 с; б) 15 с; в) 0,5 хв?

3) Ви побачили спалах блискавки, а через 10 с почули гуркіт грому. Як знайти відстань до блискавки? Чи на безпечній відстані від блискавки ви перебуваєте за цих умов?

Зверніть увагу! Блискавка дуже швидко рухається і здатна уражати людей, що перебувають від неї на відстані 15 км.

553. Знайдіть суму і різницю дробів:

554. Скоротіть дріб:

Скарбничка досягнень

ü Розумію, що таке система двох рівнянь другого степеня з двома змінними і що є її розв’язком. Можу навести приклад.

Система має розв’язки (1; 1) і (-1; -1).

ü Знаю основні способи розв’язування системи рівнянь другого степеня з двома змінними:

Підстановка

Алгебраїчне додавання

Графічний

ü Знаю, скільки розв’язків може мати система двох рівнянь другого степеня з двома змінними.

Умію знаходити розв’язки систем двох рівнянь другого степеня з двома змінними.

Використовуємо набуті компетентності

Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо:

— Що таке прикладна задача.

— Що таке математична модель.

— Основні етапи розв’язування задач складанням рівнянь:

1) вибрати невідоме і позначити його буквою;

2) за допомогою цієї букви виразити всі інші невідомі й залежності;

3) скласти рівняння;

4) розв’язати рівняння;

5) перевірити, як одержаний розв’язок рівняння відповідає умові задачі.