Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 3 Розв'язування трикутників

§ 12. ТЕОРЕМА КОСИНУСІВ

Ознайомимося ще з одним співвідношенням між сторонами й кутами довільного трикутника.

ТЕОРЕМА

Теорема косинусів     

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:

a²= b²+ c² - 2bc cos a.

Д а н о: ∆ABC, AB = c, AC = b, BC = a.

Д о в е с т и: a² = b² + c² - 2bc ∙ cos A.

Д о в е д е н н я. Кут A трикутника ABC може бути гострим, тупим або прямим. Розглянемо ці випадки.

1. Кут A — гострий. Проведемо висоту CD до сторони AB (мал. 146) або до її продовження (мал. 147). Нехай a_c і b_c — проекції сторін BC і AC на пряму AB, h_c — висота CD. Із прямокутного трикутника BCD:

(1)

Знайдемо

Із прямокутного трикутника ACD:

Мал. 146

Мал. 147

Оскільки a_c = c - b_c (мал. 146) або a_c = b_c - c (мал. 147), то в кожному із цих випадків a2 = (c - b_c)² = c² - 2cb_c + b²_с.

Підставивши вирази для у рівність (1), маємо: a² = b² - b_с + c² - 2cb_c + b_с² = b² + c² - 2cb_c. Із прямокутного трикутника ACD: b_c = b cos A. Отже, a² = b² + c² - 2bc ∙ cosA.

2. Кут A — тупий (мал. 148). Так само, як і в першому випадку, проводимо висоту CD і з прямокутного трикутника BCD знаходимо:

Потім знаходимо (із прямокутного трикутника ACD), Підставивши вирази для у рівність (1), одержимо:

Із прямокутного трикутника ACD: b_c = b cos (180° - ∠A) = -b cos A. Тоді a² = b² + c² - 2bc ∙ cos A.

3. Кут A — прямий. У цьому випадку cos A = cos 90° = 0. За теоремою Піфагора, маємо: a² = b² + c². Тоді a² = b² + c² - 2bc ∙ 0 = b² + c² - 2bc ∙ cos A.

Мал. 148

Задача 1. У трикутнику дано сторони: a = 5, b = 8 і ∠C = 60° між ними. Знайдіть сторону c.

Розв’язання За теоремою косинусів:

c² = a² + b² - 2ab ∙ cos C = 25 + 64 - 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ 0,5 = 49, c = = 7.

Задача 2. Дано сторони трикутника: а = 5,b = 6, с = 7. Знайдіть ∠A.

Розв’язання. З рівності а² = b² + с²- 2bс ∙ cos А знаходимо:

Звідси ∠A ≈ 44°.

Так само можна обчислити ∠B і ∠C.

За теоремою косинусів можна знайти:

1) сторону трикутника за двома його сторонами та кутом між ними (задача 1);

2) кути трикутника за трьома його сторонами (задача 2).

Чи можна визначити вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний), знаючи лише його сторони? Поміркуємо.

Якщо ∠A — гострий, то cos A > 0 і a² = b² + c² - 2bc ∙ cos A < b² + c².

Якщо ∠A — прямий, то cos A = cos 90° = 0 і a² = b² + c² - 2bc ∙ cos A = b² + c².

Якщо ∠A — тупий, то cos A < 0 і a² = b² + c² - 2bc ∙ cos A > b² + c².

∠A — гострий, якщо a² < b² + c²; ∠A — прямий, якщо a² = b² + c²;

∠A — тупий, якщо a² > b² + c².

Наприклад, сторони трикутника дорівнюють 2 см, 3 см і 4 см. Прямий або тупий кут може лежати проти більшої сторони. Тому визначимо вид кута, що лежить проти сторони 4 см. 4² > 2² + 3². Отже, цей кут тупий, а трикутник — тупокутний.

Дізнайтеся більше

1. Поміркуємо над рівністю a² = b² + c² - 2bc ∙ cos A. b cos A дорівнює за модулем проекції b_c сторони AC на сторону AB (мал. 146) або її продовження (мал. 147). Знак b cos Aзалежить від кутаA: якщо кутA гострий, то беремо «+», якщо тупий, то «-». Звідси маємо наслідок: квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін «±» подвоєний добуток однієї з них на проекцію другої. Знак «+» беремо тоді, коли протилежний кут тупий, а знак «-», коли гострий.

2. Теорему косинусів називають іноді узагальненою теоремою Піфагора. Така назва пояснюється тим, що теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів. Справді, якщо в трикутнику ∠A — прямий, то cos A = cos 90° = 0 і з рівності a² = b² + c² - 2bc ∙ cos A одержимо: a² = b² + c².

3. Теорему косинусів можна довести, застосовуючи скалярне множення векторів.

Нехай на сторонах трикутника АВС, у якого ∠BAC = а й сторони мають довжини a, b і c, задано вектори (мал. 149).

Виразимо, наприклад, вектор через вектори i .

Дістанемо:

Тоді

Знайдемо скалярний квадрат вектора :

В одержаній рівності розкриємо скалярний добуток векторів i за означенням: та скористаємось тим, що скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини. Тоді одержимо:

Мал. 149

Пригадайте головне

1. Сформулюйте теорему косинусів.

2. Сформулюйте дві задачі, які можна розв’язати за теоремою косинусів.

3. Як визначити вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний) за даними його сторонами?

Розв'яжіть задачі

549'. Який із записів правильний:

1) a²= b²+ c²- 2ac ∙ cos B;

2) b² = a² + c² - 2bc ∙ cos B;

3) c² = a² + b² - 2ab ∙ cos C?

550'. Чи правильно, що трикутник АВС є прямокутним, якщо:

1) a²< b²+ c²;  2) a² = b² + c²; 3) a² > b² + c²?

551'. Чи правильно, що трикутник АВС є гострокутним, якщо:

1) a²< b²+ c²;  2) a² = b² + c²; 3) a² > b² + c²?

Мал. 150

552'. Чи правильно, що трикутник АВС є тупокутним, якщо:

1) a² < b² + c²;  2) a² = b² + c²; 3) a² > b² + c²?

553°. Скориставшись теоремою косинусів, запишіть, чому дорівнює квадрат сторони х трикутника (мал. 150).

554°. За даними на малюнку 151 обчисліть сторону а трикутника.

555°. a, b, c — сторони трикутника ABC. За теоремою косинусів запишіть квадрат сторони:

1) b, якщо ∠B = 45°; 2) c, якщо ∠C = 60°; 3) a, якщо ∠A = 30°.

Мал. 151

556°. Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо:

1) b = 3 см, с = 4 CM, ∠A = 60°; 2) а = 4 CM, b = 2 CM, ∠C = 45°.

557°. Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо а = 8 см, с = 10 см, ∠B = 30 .

558°. Знайдіть cos B з рівності b² = a² + c² - 2ac ∙ cos B.

559°. За даними на малюнку 152 обчисліть cos а.

Мал. 152

560°. За даними на малюнку 153 обчисліть кут а трикутника.

561°. Обчисліть косинуси кутів трикутника ABC, якщо його сторони дорівнюють:

1) a = 8 см, b = 9 см, c = 10 см;

2) a = 3 см, b = 7 см, c = 8 см;

3) a = 4 см, b = 6 см, c = 7 см.

562°. Знайдіть кути трикутника ABC, якщо його сторони дорівнюють:

1) а = 4 см, 5 = 6 см, с = 3 см; 2) а = 3 см, 5 = 2 см, с = 4 см.

563°. Знайдіть кути трикутника, якщо його сторони дорівнюють 5 см, 6 см, 7 см.

564°. За яких значень кута а квадрат сторони трикутника, що лежить проти цього кута:

1) менший від суми квадратів двох інших сторін;

2) дорівнює цій сумі;

3) більший за неї?

Мал. 153

565°. Не обчислюючи кутів, установіть вид трикутника (відносно кутів), якщо його сторони дорівнюють:

1) 11 см, 17 см, 21 см;

2) 8 см, 10 см, 12 см;

3) 0,3 см, 0,5 см, 0,4 см.

566. Обчисліть невідому сторону трикутника ABC, якщо:

567. Обчисліть невідому сторону трикутника ABC, якщо 5 = 8 см, с= 12 см, ∠A= 115°.

568. Доведіть, що в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

569. На сторонах кута A позначено дві точки M і N. Знайдіть відстань MN, якщо:

570. У паралелограмі ABCD АВ = 6 см, AD = 10 см. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо кут А дорівнює:

1)60°; 2)48°; 3)125°.

571. Сторони паралелограма дорівнюють а і b, а один з кутів — а. Знайдіть діагоналі паралелограма.

572. Катети прямокутного трикутника ABC дорівнюють: AC = 4 см, BC = 3 см. На катеті BC побудовано рівносторонній трикутник BCD. Знайдіть довжину відрізка AD (розгляньте два випадки).

573. Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо:

1) a = 5 см, b = 7 см, sin C = 0,8; 2) b = 4 см, c = 10 см, sin A = 0,6. Скільки розв’язків має задача?

574. Скориставшись формулою а² = b² + c² - 2bc ∙ cos а, дослідіть, як змінюється сторона а зі зростанням кута а від 0° до 180° (при сталих значеннях b і с).

575. a, b, c — сторони трикутника ABC. Доведіть:

1) якщо а² < b² + с², то ∠A — гострий;

2) якщо а² > b² + c², то ∠A — тупий.

576. Знайдіть найбільший кут трикутника ABC, якщо:

1) а = 5 см, b = 3 см, c = 4 см;

2) а = 3 см, b = 4 см, c = 6 см;

3) а = 40 см, b = 13 см, c = 37 см.

577. Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

578. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо вони відносяться, як 3 : 5, а сторони дорівнюють 13 см і 16 см.

579. Знайдіть сторони паралелограма, якщо вони відносяться, як 1 : 2, а діагоналі дорівнюють 9 см і 13 см.

580. Одна зі сторін паралелограма на 1 см довша за іншу, а його діагоналі дорівнюють 7 см і 11 см. Знайдіть сторони паралелограма.

581. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 11 см. Одна з її бічних сторін дорівнює 8 см й утворює з основою кут 60°. Знайдіть діагоналі трапеції.

582*. Доведіть, що медіану трикутника можна обчислити за формулою

583*. Дві сторони трикутника дорівнюють 8 см і 15 см, а кут між ними — 120°. Знайдіть медіану, проведену до третьої сторони трикутника.

584*. Сторона трикутника дорівнює 26 см, а медіани, проведені до двох інших сторін, дорівнюють 15 см і 30 см. Знайдіть третю медіану трикутника.

585*. Бісектриса кута паралелограма ділить його сторону на відрізки завдовжки 5 см. Знайдіть діагональ паралелограма, якщо друга його діагональ дорівнює 9 см.

586*. До даного кола радіуса R дотикаються два рівні менші кола радіуса r: одне — зсередини, друге — зовні. Дуга між точками дотику містить 60°. Знайдіть відстань між центрами менших кіл.

587*. У колі з центром O хорда AB паралельна діаметру CD (мал. 154). На діаметрі або його продовженні позначено довільну точку M. Доведіть, що сума AM² + BM² не залежить від положення хорди при заданому положенні точки M.

Мал. 154

588*. Для сторін трикутника виконується рівність Доведіть, що один із кутів трикутника дорівнює 60°.

Проявіть компетентність

589. Футбольний м’яч перебуває в точці А футбольного поля на відстані 4,5 м і 9,4 м від основ B і C стійок воріт (мал. 155). Футболіст направляє м’яч у ворота. Знайдіть кут а влучення м’яча у ворота, якщо ширина воріт становить 7 м.

590*. На будівництві залізниці на ділянці AB потрібно прокласти тунель MN (мал. 156). За даними на малюнку поясніть, як знайти довжину й напрямок тунелю. Обчисліть довжину тунелю.

591. Із пунктів А і В на березі моря, відстань між якими становить 3 км, спостерігають за пароплавом, що рухається прямолінійно й рівномірно. У певний час пароплав було видно з пункту А під кутом 102° до напрямку АВ, а з пункту В — під кутом 51° до напрямку ВА. Через 10 хв кути змінилися й стали дорівнювати відповідно 84° і 74°. Знайдіть швидкість пароплава.