Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 1 Метод координат на площині

У розділі дізнаєтеся:

■ що таке прямокутна декартова система координат і як у ній визначають координати точки;

■ як знайти довжину відрізка за координатами його кінців та координати середини відрізка;

■ як визначити синус, косинус і тангенс для будь-якого кута від 0° до 180°;

■ про основні тотожності, що пов’язують синус, косинус і тангенс кута;

■ що таке рівняння фігури;

■ яке рівняння задає коло;

■ які є види рівняння прямої;

■ як застосувати вивчений матеріал на практиці

§ 1. ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ

1. ЯК ЗАДАЮТЬ ТОЧКИ НА КООРДИНАТНІЙ ПЛОЩИНІ

Із курсу алгебри ви знаєте, як увести прямокутну декартову систему координат XOY на площині (мал. 1). Площину з уведеною на ній системою координат називають координатною площиною.

Кожній точці на координатній площині можна поставити у відповідність єдину пару чисел, узятих у певному порядку, і, навпаки, кожній парі чисел відповідає єдина точка координатної площини. Таку впорядковану пару чисел називають координатами точки в даній системі координат. Нагадаємо, щоб визначити координати точки, потрібно: через дану точку провести дві прямі, паралельні осям координат; на координатних осях відмітити числа, які відповідають точкам перетину цих прямих з осями; з одержаних чисел утворити впорядковану пару. На малюнку 2 точка А має координати: А (3; 2).

Мал. 1

Мал. 2

Задача 1, Дано три точки: А (4; 0), В (1; -3) і С (-1; 3). Чи існує трикутник з вершинами в даних точках?

Розв’язання

Задамо прямокутну декартову систему координат і побудуємо в ній дані точки за їхніми координатами (мал. 3). Очевидно, що точки А, В і С не лежать на одній прямій. Тому трикутник АВС існує.

Мал. 3

Щоб довести існування фігури, достатньо її побудувати.

2. ЯК ЗНАХОДЯТЬ ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ НА КООРДИНАТНІЙ ПЛОЩИНІ

Під час розв’язування задачі з попереднього пункту у вас могло виникнути запитання: Чи можна по-іншому обґрунтувати існування трикутника із заданими координатами вершин? Так. Наприклад, скориставшись нерівністю трикутника. Але для цього потрібно знати, як знаходити відстань між двома точками за їхніми координатами.

ТЕОРЕМА

(про відстань між двома точками із заданими координатами).

Відстань між двома точками дорівнює кореню квадратному із суми квадратів різниць їх відповідних координат:

Д а н о: XOY — прямокутна декартова система координат A (х₁; у₁), В (х₂; у₂).

Д о в е с т и:

Д о в е д е н н я. Нехай точки А і В містяться в першій координатній чверті, причому х₁ < х₂ і y₁ < y₂ (мал. 4). З’єднаємо точки А і В відрізком та проведемо через них прямі, паралельні осям координат (мал. 5). Нехай C — точка перетину цих прямих. Утворився прямокутний трикутник АВС, у якому кут С — прямий, катет АС = х₂ - х₁, катет ВС = y₂ - y₁, довжина гіпотенузи АВ є шуканою відстанню між точками А і В. За теоремою Піфагора, АВ² = АС² + ВС² = (x₂ -x₁)²+ (у₂ -y₁)². Звідси

Інші випадки розміщення точок А і В розгляньте самостійно.

Мал. 4

Чи залежить формула довжини відрізка від розміщення його кінців у системі координат? Не залежить.

Задача 2. Відстань від початку координат О до точки А (4; у) дорівнює 5 одиниць. Які координати має точка А?

Розв’язання За умовою задачі, ОА = 5, О (0; 0), A (4; y). За теоремою про відстань між двома точками,

Оскільки довжина відрізка є числом додатним, то, за властивістю арифметичного квадратного кореня, ОА² = (4 - 0)² + (y - 0)². Складемо та розв’яжемо рівняння:

5² = (4 - 0)² + (y - 0)²,

25 = 16 + у²,

у² = 9,

у = ±3.

Обидва корені задовольняють умову задачі, тому точка А має ординату або 3, або -3. Це означає, що на координатній площині існує дві точки, які є шуканими: А₁ (4; 3) і А₂ (4; -3).

Мал. 5

Складаючи рівняння на основі формули відстані між точками А (х₁; у₁) і В (х₂; у₂), можна відразу скористатися рівністю:

АВ² = (х₂ - х₁)2 + (у₂ - у₁)².

Дізнайтеся більше

1. Прямокутна декартова система координат названа на честь видатного французького вченого Рене Декарта (1596-1650), відомого значними досягненнями в галузі філософії, математики, фізики, фізіології. Математичні дослідження Декарта тісно пов’язані з його роботами з фізики й філософії. У «Геометрії» (1637) Декарт уперше ввів поняття змінної та функції, їх теперішнє позначення — малими латинськими буквами х, у. Установлений ним зв’язок між відрізками й числами зумовив взаємне проникнення геометрії та алгебри, зародження нового розділу математичної науки — аналітичної геометрії. її методи використовують у багатьох галузях сучасних математичних досліджень.

Рене Декарт

Дізнайтеся більше

2. Прямокутну систему координат широко застосовують у науці, техніці, на практиці. Наприклад, з курсу фізики ви знаєте, що в такій системі координат зображають графік руху (мал. 6), графік залежності кількості теплоти, що виділяється під час згоряння свіжої деревини, від маси палива (мал. 7) та ін. Загальнішим є випадок, коли осі координат не перпендикулярні й шкали на них не рівнозначні, тобто одиничні відрізки мають різну довжину (мал. 8). Таку систему координат називають афінною (загальною косокутною).

Мал. 6

3. Історія свідчить, що Р. Декарт використовував косокутну систему координат з рівнозначними шкалами (мал. 9), причому лише її першу чверть. У такій системі координат також можна знаходити довжини відрізків. Але при цьому треба враховувати координатний кут (мал. 9). Відстань від точки A (х₁; y₁) до початку координат можна обчислити за формулою:

а відстань між точками A (х₁; y₁) і В (х₂; y₂) — за формулою:

Мал. 7

Мал. 8

Мал. 9

Пригадайте головне

1. Поясніть, як побудувати прямокутну декартову систему координат на площині.

2. Що називають координатною площиною?

3. Поясніть, як визначити координати точки.

4. Сформулюйте та доведіть теорему про відстань між двома точками із заданими координатами.

Розв'яжіть задачі

1'. Чи правильно, що в прямокутній декартовій системі координат ос координат:

1) паралельні;

2) перетинаються під гострим кутом;

3) перетинаються під прямим кутом?

2'. Чи правильно, що на координатній площині:

1) кожній точці відповідає кілька упорядкованих пар чисел;

2) кожній точці відповідає єдина упорядкована пара чисел;

3) кожна упорядкована пара чисел задає єдину точку;

4) кожна упорядкована пара чисел задає безліч точок?

3'. Чи правильно, що в точки А (х; у):

1) х — це ордината, значення якої знаходять за віссю ОХ;

2) х — це абсциса, значення якої знаходять за віссю OY;

3) х — це абсциса, значення якої знаходять за віссю ОХ;

4) у — це ордината, значення якої знаходять за віссю ОХ;

5) у — це абсциса, значення якої знаходять за віссю OY;

6) у — це ордината, значення якої знаходять за віссю OY?

4'. Дано точки A (х₁; y1) і В (х₂; y₂). Чи правильно, що:

5°. За даними на малюнках 10, 11 визначте координати позначених точок.

6°. За даними на малюнку 12 визначте координати позначених точок.

7°. Задайте прямокутну декартову систему координат на площині та побудуйте в ній точки: А (1; 1), В (1; -1), С (-1; -1), D (-1; 1).

8°. Задайте прямокутну декартову систему координат на площині та побудуйте в ній точки: К (-2; 2), L (2; -2), М (-2; -2), N (2; 2).

Мал. 10

Мал. 11

Мал. 12

9°. Які знаки мають координати точок у координатних чвертях? Перемалюйте в зошит таблицю 1 і заповніть її.

Таблиця 1

10°. Не виконуючи побудови, з’ясуйте, у якій координатній чверті лежить точка: А (-145; 200), В (358; -422), С (218; 3390), D (-139; -247), Е (-371; 2108).

11°. Не виконуючи побудови, з’ясуйте, у якій координатній чверті лежить точка: F (792; 6203), К (953; -712), L (-37401; -47732).

12°. Запишіть координати точки В, якщо з точкою А (-2; 1) вона має:

1) рівні абсциси, але протилежні ординати;

2) рівні ординати, але протилежні абсциси;

3) протилежні абсциси й протилежні ординати;

4) рівні абсциси й рівні ординати.

13°. Запишіть координати точки А, якщо з точкою В (3; 4) вона має:

1) рівні абсциси, але протилежні ординати;

2) рівні ординати, але протилежні абсциси;

3) протилежні абсциси й протилежні ординати;

4) рівні абсциси й рівні ординати.

14°. Через точку А (3; 2) проведіть пряму, паралельну осі:

1) абсцис;     2) ординат.

З’ясуйте, чи лежать на цій прямій точки В (-3; 2), С (2; 3) і D (3; -2).

15°. Точки А і В мають координати:

1) А (-5; -2), В (-1; -4);   2) А (2; 4), В (2; -4).

Чи перетинає відрізок АВ осі координат? Відповідь поясніть.

16°. Чи перетинає осі координат відрізок CD, кінці якого мають координати: С (3; 1) і D (-3; 1)? Відповідь поясніть.

17°. Знаючи координати точки, знайдіть відстань від цієї точки до вказаної осі координат. Перемалюйте в зошит і заповніть таблицю 2.

Таблиця 2

18°. Визначте відстань між точками:

1) А (0; 0) і В (3; 4); 

2) А (-5; -7) і В (3; 8);

3) А (5; -1) і В (-3; 8);

19°. Визначте відстань між точками А (-6; 3) і В (4; -2).

20°. Знайдіть довжину діаметра кола за координатами його кінців:

1) (3; 4) і (2; -1);     2) (-6; 3) і (0; -5).

Який радіус даного кола?

21 °. Знайдіть довжину радіуса кола за координатами його кінців: (5; 2) і (1; -1). Який діаметр даного кола?

22°. Знайдіть довжини сторін трикутника АВС, вершини якого мають координати:

1 )А (0; 0), В (2; 0) і С (-1; 3);

2) А (1; 2), В (8; 26) і С (19; 26).

23°. Знайдіть довжини сторін трикутника KLM, вершини якого мають координати: К (-2; -1), L (0; 1) і М (0; -3).

24°. Відстань від початку координат О до точки А дорівнює п. Знайдіть невідомі координати точки А, якщо:

1) А (12; у), n = 13;  3) А (х; -6), n = 10;

2) А (-7; у), n = 25;  4) А (х; 15), n = 17.

25°. Відстань від початку координат О до точки В дорівнює m. Знайдіть невідомі координати точки В, якщо:

1) В (6; у), m = 10;  2) В (х; -3), m = 5.

26. Дві вершини квадрата мають координати:

1) (0; 0) і (1; 2);   2) (-1; -1) і (2; 0).

Які координати можуть мати дві інші його вершини?

27. Доведіть, що трикутник АВС є рівнобедреним, якщо:

1) А (-3; 3), В (6; 6), С (3; -3);

2) А (2; -3), В (3; 0), С (-1; -2).

28. Доведіть, що трикутник МРТ є рівнобедреним, якщо М (-1; 1), Р (2; 3), Т (2; -1).

29. Доведіть, що трикутник АВС є прямокутним, якщо:

1) А (0; 0), В (1; 2), С (3; 1);

2) А (5; 1), В (7; 2), С (9; -2).

30. Доведіть, що трикутник РМТ є прямокутним, якщо Р (-2; -1), М(0; 1), Т(0; -3).

31. Відстань між точками А і В дорівнює d. Знайдіть х, якщо:

1) А (2; 3), В (х; 1), d = 2;

2) А (-1; х), В (3; 2х), d = 5.

32. Відстань між точками Р (5; х) і Т (2; 4) дорівнює 3. Чому дорівнює х?

33. На осях координат знайдіть точки, рівновіддалені від двох даних точок:

1) (-1; 1) і (3; 5);

2) (2; -1) і (-2; 1).

34. Визначте довжини сторін трикутника за координатами середин його сторін:

1) (5; 1), (9; 4), (9; -2);

2) (1; 1), (-1; -1), (1; -2).

35. Дві вершини прямокутного трикутника мають координати:

1) А (2; 5), В (3; 2);

2) А (1; 4), В (9; 6).

Чи може третя його вершина міститися в точці: С (8; 8), D (9; 4), О (4; -1), М (8; 7)?

36. Знайдіть площу квадрата, знаючи координати двох сусідніх його вершин:

1) (3; 2), (8; 7);

2) (4;-1), (1; 2).

37. Знайдіть площу квадрата, знаючи координати двох протилежних його вершин:

1) (3; 5), (1; -3);

2) (-2; 2), (10; -3).

38*. Який кут утворює відрізок АВ з додатною піввіссю абсцис, якщо:

1) А (0; 2), В (-2; 4);

2) А (-1; -3), В (4; 2)?

39*. Доведіть, що чотирикутник ABCD з вершинами в точках А (5; -1), В (-7; -6), С (-12; 6) і D (0; 11) є:

1) паралелограмом; 2) ромбом; 3) квадратом.

40*. Який вид чотирикутника ABCD, якщо:

1) А (-1; -2), В (-2; -4), С (-6; -2), D (-5; 0);

2) А (0; 8), В (-6; 0), С (2; -6), D (8; 2)?

Проявіть компетентність

41. Як на папері в клітинку побудувати відрізок якщо а — довжина сторони: 1) однієї клітинки; 2) двох клітинок?

42. Як на папері в клітинку побудувати прямокутний трикутник з вершинами у вузлах сітки й гіпотенузою, що лежить на горизонтальній лінії, якщо даний трикутник:

1) рівнобедрений; 2) не рівнобедрений?

43. Основу драбини завдовжки 6 м відсунуто від стіни на 1 м. На скільки знизиться верхній кінець драбини, якщо основу відсунути від стіни ще на 0,5 м? Розв’яжіть задачу, скориставшись системою координат.