Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 4 Правильні многокутники. Довжина кола. Площу круга

§ 17. ДОВЖИНА КОЛА. ДОВЖИНА ДУГИ КОЛА

1. ДОВЖИНА КОЛА

У 6-му класі за допомогою вимірювання ви відшукали формулу для обчислення довжини кола С = 2 R, де R — радіус кола, ~ 3,14.

Як вивести цю формулу більш строго?

Подивіться на малюнки 221-223. Зрозуміло, що при необмеженому збільшенні кількості сторін n вписаного в коло правильного n-кутника його периметр P_n необмежено наближається до довжини кола C. Якщо n дуже велике, то довжина кола дуже мало відрізняється від периметра P_n.

Мал. 221

Мал. 222

Мал. 223

Виведемо формулу для обчислення довжини кола. Візьмемо два довільні кола (мал. 224). Нехай C і C’ — їхні довжини, а R і R' — радіуси кіл. У кожне із цих кіл впишемо правильні n-кутники з однаковим числом сторін. Позначимо їхні сторони через a_n і a_n', а через P_n і Р'_n — їхні периметри. Виразимо периметри цих n-кутників через радіуси R і R' кіл.

Поділивши ці рівності почленно, одержимо:

Якщо число сторін n необмежено збільшувати, то периметри P_n і Р'_n прямуватимуть до довжин кіл C і C’, а відношення периметрів — до відношення довжин кіл

Ми довели таку властивість довжини кола: відношення довжини кола до його діаметра одне й те саме для кожного кола.

Це відношення позначають грецькою буквою (читають «пі»):

Число — ірраціональне. Його наближене значення: = 3,14.

Мал. 224

Оскільки то довжину кола обчислюють за формулою:

Радіус R або діаметр D кола, довжина якого C, знаходьте з формули C = 2 R:

2. ДОВЖИНА ДУГИ КОЛА

Знайдемо довжину l дуги кола, яка відповідає центральному куту n° (мал. 225). Розгорнутому куту відповідає довжина півкола R. Отже, куту в 1° відповідає дуга довжиною

Тоді довжину l дуги, що відповідає куту n°, виражає формула:

Задача. Довжина дуги кола дорівнює 4 см, а її градусна міра — 120°. Знайдіть радіус кола.

Розв’язання

З формули знаходимо:

Пам’ятайте, що за формулою також знаходимо:

1) радіус R кола за довжиною його дуги l та її градусною мірою n°:

2) градусну міру n° дуги за її довжиною l та радіусом R кола:

Дізнайтеся більше

1. Позначення буквою n відношення довжини кола до його діаметра в 1706 р. увів англійський математик У. Джонс. Воно походить від грецького слова пріфріа — периферія, що означає «коло». Леонард Ейлер (1707-1783), застосовуючи методи вищої математики, знайшов для n наближення з 153 правильними знаками.

Знайти наближення n намагалися ще в глибоку давнину. Вавилоняни (близько 2000 р. до н. е.) відкрили, що радіус шість разів уміщується в колі, звідси було зроблено припущення, що довжина кола дорівнює 6R.

У III ст. до н. е. видатний давньогрецький учений Архімед виявив, що значення дуже близьке до значення звичайного дробу , тобто 3.

Це число відрізняється від точного значення n менш ніж на 0,002.

2. У 7 класі ви дізналися, що кути вимірюють не лише в градусах, а й у радіанах. Що таке радіанна міра кута?

Радіанною мірою кута називається відношення довжини відповідної дуги до радіуса кола.

З формули для довжини дуги кола випливає, що тобто радіанну міру кута одержуємо з градусної множенням на

Зокрема, радіанна міра кута 180° дорівнює , радіанна міра прямого кута дорівнює . Одиницею радіанної міри кутів є радіан. Кут один радіан — це кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу (мал. 226). Градус на міра кута в один радіан дорівнює

Оскільки дріб є радіанною мірою дуги, то формулу довжини дуги можна записати ще й так: l = aR, де a — радіанна міра дуги.

Отже, довжина дуги кола дорівнює добутку її радіанної міри на радіус.

Мал. 226

Пригадайте головне

1. Поясніть, чому відношення довжини кола до його діаметра одне й те саме для кожного кола.

2. Запишіть і поясніть формулу для знаходження довжини кола; довжини дуги кола.

3. Яке наближене значення числа ?

Розв'яжіть задачі

773'. Чи є правильною рівність:

774'. Чи правильно записано формулу для знаходження довжини С кола радіуса R:

775'. Чи правильно записано формулу для знаходження довжини l дуги кола радіуса R, що відповідає куту n°:

776°. Накресліть коло. Виміряйте його радіус і знайдіть довжину кола.

777°. Знайдіть довжину кола, радіус якого дорівнює:

1)5см;   2) 10 см; 3)12см.

778°. Обчисліть довжину кола, якщо його діаметр дорівнює:

1)4см;   2) 6 см; 3)8см.

779°. Знайдіть радіус кола, довжина якого дорівнює:

1) 4 см;   2) 14 см; 3) 2 см.

780°. R — радіус кола, D — його діаметр, C — довжина кола. Накресліть у зошиті таблицю 26 і заповніть її.

Таблиця 26

781°. Побудуйте коло, довжина якого дорівнює:

1)6 см;   2)18 см;  3)20 см.

782°. Як зміниться довжина кола, якщо його радіус:

1) збільшити на 5 см;

2) зменшити на 3 см;

3) збільшити у 2 рази?

783°. Сторона правильного трикутника дорівнює 6 см. Знайдіть довжину кола:

1) вписаного в цей трикутник;

2) описаного навколо нього.

784°. Сторона квадрата дорівнює 8 см. Обчисліть довжину кола:

1) вписаного в цей квадрат;

2) описаного навколо нього.

785°. Знайдіть довжину кола, описаного навколо прямокутника, якщо його сторони дорівнюють:

1) 5 см і 12 см;  2) 7 см і 24 см; 3) 12 см і 16 см.

786°. Знайдіть довжину кола, вписаного в ромб, якщо його сторона і кут дорівнюють:

1) 6 см і 30°;

2) 4 см і 45°;

3) 8 см і 60°.

787°. Сторона правильного шестикутника дорівнює 10 см. Обчисліть довжину кола:

1) вписаного в цей шестикутник;

2) описаного навколо нього.

788°. Знайдіть довжину дуги кола радіуса 6 см, яка відповідає центральному куту:

1) 30°;

2) 60°;

3) 120°.

789°. Дузі кола довжиною l відповідає центральний кут n°. Знайдіть радіус кола, якщо:

1) l = 3 см, n° = 15°;

2) l = 12 см, n° = 20°;

3) l = 6 см, n° = 18°.

790°. Довжина дуги кола радіуса R дорівнює І. Знайдіть градусну міру центрального кута, якому відповідає ця дуга, якщо:

1) І = 4 см, R = 9 см;

2) І = 6 см, R = 10 см;

3) І = 8 см, R = 18 см.

791. R — радіус кола, І — довжина дуги, яка відповідає центральному куту n°. Накресліть у зошиті таблицю 27 і заповніть її.

Таблиця 27

792. Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону на відрізки завдовжки b і с, рахуючи від вершини гострого кута. Знайдіть довжину кола, вписаного в ромб, якщо:

1) b = 6 см, с = 4 см;

2) b = 5 см, с = 8 см.

793. Знайдіть довжину кола, вписаного в ромб, якщо його діагоналі дорівнюють:

1) 18 см і 24 см;

2) 12 см і 16 см.

794. У рівнобічну трапецію з основами а і b та бічною стороною с вписано коло. Знайдіть довжину кола, якщо:

1) а = 2 см, b = 18 см, с = 10 см;

2) а = 32 см, b = 18 см, с = 25 см.

795. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють а і b, а діагональ — d. Знайдіть довжину кола, описаного навколо трапеції, якщо:

1) а = 6 см, b = 18 см, d = 20 см;

2) а = 16 см, b = 8 см, d = 13 см.

796. Обчисліть сторону правильного трикутника, якщо:

1) довжина кола, вписаного в цей трикутник, дорівнює 8 см;

2) довжина кола, описаного навколо нього, дорівнює 14 см.

797. Знайдіть сторону правильного шестикутника, якщо:

1) довжина кола, вписаного в цей шестикутник, дорівнює 6 см;

2) довжина кола, описаного навколо нього, дорівнює 2 см.

798. Як побудувати коло, довжина якого дорівнює:

1) сумі довжин двох даних кіл;

2) різниці довжин двох даних кіл?

799. Знайдіть довжину кола, якщо вона більша за діаметр:

1) на 10 см;

2) на m.

800. Довжини двох кіл, що мають спільний центр, дорівнюють С і С₁ Знайдіть ширину кільця AB (мал. 227), якщо:

1) С = 10 см, С₁ = 4 см;

2) С = 16 см, С₁ = 6 см.

Мал. 227

801. Порівняйте периметри фігур, зображених на малюнках 228 і 229.

Мал. 228

Мал. 229

802. За даною довжиною дуги l знайдіть хорду, яка сполучає її кінці, якщо дуга містить:

1) 60°;

2) 90°;

3) 120°.

803. Знайдіть довжину дуги, якщо хорда, що її стягує, дорівнює а, а дуга містить:

1) 60°;

2) 90°;

3) 120°.

804. За даними на малюнках 230-232 знайдіть периметри зафарбованих фігур.

Мал. 230

805*. Три кола попарно дотикаються зовні. Знайдіть довжину кола, яке проходить через точки дотику, якщо радіуси трьох кіл дорівнюють:

1) 9 см, 16 см, 20 см;

2) 1 см, 2 см, 3 см.

806*. У колі по один бік від центра проведено дві паралельні хорди завдовжки а і b. Відстань між хордами дорівнює с. Знайдіть довжину кола, якщо:

1) а = 40 см, b = 48 см, с = 8 см;

2) а = 120 см, b = 32 см, с = 38 см.

Мал. 231

807*. Діаметр 2R кола поділено на n рівних частин і на кожній із цих частин, як на діаметрі, побудовано коло. Чому дорівнює сума довжин цих кіл?

808*. Дуга в 60° довша за хорду, яка її стягує, на 14 см. Знайдіть довжину хорди.

809*. Дуга радіуса 4 см, що відповідає центральному куту в 120°, дорівнює довжині деякого кола. Знайдіть радіус цього кола.

810*. В одному з двох кіл, що перетинаються, дуга, яку стягує їхня спільна хорда, дорівнює 45°, а в другому — 60°. Яке коло має більшу довжину?

811*. Спільна хорда двох кіл стягує дуги в 60° і 120°. Знайдіть відношення довжин цих кіл.

Мал. 232

Проявіть компетентність

812. Скільки стовпчиків потрібно для паркана навколо майданчика, що має форму круга, якщо відстань між стовпчиками (за дугою кола) має становити близько півтора метра, а діаметр майданчика — 60 м?

813. Щоб знайти товщину дерева (діаметр), можна виміряти його обхват (довжину кола). Обчисліть товщину дерева, обхват якого дорівнює:

1) 2 м;  2) 2,5 м.

814. На котушці є 80 витків дроту. Знайдіть довжину дроту, якщо діаметр котушки дорівнює 0,5 м.

815. Вантаж піднімають за допомогою блока, який зображено на малюнку 233. На яку висоту підніметься вантаж за 9 обертів блока, якщо його діаметр дорівнює 20 см?

816. Як знайти відстань до води в колодязі, якщо можна виміряти діаметр вала, на який намотується ланцюг для відра?

817. Знайдіть довжину земного екватора, якщо радіус земної кулі дорівнює 6381км.

Мал. 233