Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Логарифмічна функція
Розв’язування логарифмічних рівнянь

Логарифмічними рівняннями називають такі рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Найпростішим логарифмічним рівнянням є , де , . Корінь цього рівняння дорівнює .

Рівняння , де , , рівносильне системі:

Зверніть увагу: у цій системі можна випустити одну з нерівностей.

Із цього випливає, що для розв’язання рівняння , де , треба: розв’язати рівняння ; зі знайдених коренів відібрати ті, які задовольняють нерівність або (зазвичай обирають простішу з нерівностей).

Приклади

1)  .

ОДЗ: .

    (Зверніть увагу: спочатку записують ОДЗ, а тільки потім починають перетворювати рівняння.)

,

,

,

,

,

, не задовольняє ОДЗ.

Відповідь: 2.

2)  ; ОДЗ: .

,

,

. .

,  ,

. .

Відповідь: 5; .

3)  ; ОДЗ: .

,

,

,

,

,

. .

,  ,

. .

Відповідь: 0,01; 10.

4)  ,

ОДЗ:

.

,

,

,

— не задовольняє ОДЗ.

— не задовольняє ОДЗ.

Відповідь: коренів немає.

5)  ; ОДЗ: .

,

,

,

,

,

,

. .

,  ,

. .

Відповідь: ; 3.

6)  ; ОДЗ:

,

,

(далі див. приклад 2).

Дуже часто в систему рівнянь об’єднують показникові й логарифмічні рівняння.

Приклад

ОДЗ: ; .

Розглянемо перше рівняння системи:

Нехай ,

,

; не задовольняє умову .

, ,

.

Отже,

(перевірка умови ).

Відповідь: .