Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Логарифмічна функція
Логарифмічні нерівності

Розв’язуючи логарифмічні нерівності, спираються на такі твердження.

1. Якщо , то нерівність рівносильна подвійній нерівності .

Це твердження можна записати у вигляді:

або

2. Якщо , то нерівність рівносильна подвійній нерівності .

Це твердження можна записати у вигляді:

або

Зверніть увагу: при розв’язуванні логарифмічної нерівності немає сенсу окремо виписувати ОДЗ, оскільки все одно буде необхідно розв’язувати систему нерівностей, яка включає й ОДЗ.

Приклади

1)  .

Логарифмічна функція з основою спадна, отже, дана нерівність рівносильна системі

Відповідь: (або у вигляді .

2)  .

Нехай .

,  , .

Відповідь: або

3)  .

Розглянемо два випадки.

  .

  .

Об’єднуючи ці проміжки, одержимо відповідь.

Відповідь: .

4)  .

; основою логарифма може бути тільки додатне число, яке не дорівнює 1. Виходячи з цього, отримуємо, що дана нерівність рівносильна системі:

Якщо , то ; .

Якщо , то ; .

Відповідь: .