Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 22. Піраміди і зрізані піраміди

796.

Нехай дано правильну чотирикутну піраміду, висота якої MO = 147 м,

а площа основи — S_ABCD = 5,3 га = 53 000 м².

∠MCO — кут нахилу бічного ребра.

OK ┴ ВС, MK ┴ BC, ∠MKO — лінійний кут двогранного кута при ребрі основи піраміди. S_ABCD = 53 000 м²;

ΔMOK — прямокутний. ∠MOK = 90°;

∠ MKO = arctg 1,2783.

∠ MCO = arctg 0,9038.

797.

Нехай дано правильну чотирикутну піраміду MABCD.

Нехай AB = а, тоді S_ABCD = а²;

Δ MOC — прямокутний рівнобедрений.

∠OMC = ∠OCM = 45°, ∠AMC = 90°, що й треба було довести.

Отже, AM і MC — протилежні бічні ребра піраміди перпендикулярні.

798.

Нехай основа піраміди прямокутник із сторонами 12 см і 16 см.

Кожне бічне ребро дорівнює 26 см. AM = DM = CM = BM = 26 см.

Розглянемо ΔABC — прямокутний.

AC² = AB² + BC² = 144 + 256 = 400; AC = 20 см;

Δ MOC — прямокутний. OM² = MC² - OC²;

OM² = 26² - 10² = 676 - 100 = 576;

799.

Нехай дано тетраедр ОАВС. Знайдемо довжини ребер.

ΔABC— рівносторонній.

де OP — висота бічної грані.

800.

а) Нехай дано чотирикутну піраміду, в основі якої лежить

квадрат зі стороною MO = 4 см.

де МK — висота бічної грані.

ΔMOK.

MK²= MO² + OK² = 16 + 48 = 64. МK = 8 (см).

б)

Нехай в основі піраміди лежить прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см,

висота піраміди MO = 4 см.

ΔMOF — прямокутний. MF² = MO² + OF²;

MF² = 16 + 9 = 25; MF = 5 см.

Δ MOP — прямокутний.

MP² = MO² + OP² = 16 + 16 = 32;

в)

Нехай в основі піраміди лежить ромб з діагоналями 12 см і 16 см.

AC = 12 см, BP = 16 см.

ABCD — ромб. ΔBOC — прямокутний.

BC²= OB² + OC² = 64 + 36 = 100;

BC = 10 см. OK ┴ BC, MK ┴ BC.

OK — радіус кола, вписаного в основу.

P = 4а. ΔMOK — прямокутний. MK² = MO² + OK²;

MK² = 16 + 23,04 = 39,04.

г)

Нехай основа піраміди ^:— паралелограм ABCD,

площа якого 24 см² зі сторонами 3 см і 4 см.

Знайдемо висоти паралелограма.

S = а × h або S = b × h₂.

ΔΜΟΚ — прямокутний. MK² = MO² + OK²= 16 + 16 = 32;

ΔMOP — прямокутний. MP² = MO² + OP² = 16 + 9 = 25;

801.

а)

Нехай дано правильний тетраедр МАВС, в якому сторона основи

AB = BC = AC = a, AM = MB = MC = а.

б) Нехай апофема правильного тетраедра MK = l.

ΔMKC — прямокутний.

в) Нехай висота правильного тетраедра MO = h.

Нехай AB = BC = AC = а;

ΔMOK—прямокутний. MO² + OK² = MK².

802.

а)

Нехай дана правильна чотирикутна піраміда, основа якої квадрат ABCD,

AB = BC =DC = AD = a. OM ┴ (ABCD), OK ┴ BC, тоді за теоремою про три перпендикуляри MK ┴ BC, ∠MKO — лінійний кут двогранного кута при ребрі основи. ∠MKO = α. S_{поверхні} = S_б. + S_ocнови, S_ocнови = S_ABCD = AB² = а².

де P_oсн. = 4АВ = 4а; MK — апофема.

Δ MOK — прямокутний.

б) Нехай висота піраміди MO = А, бічне ребро MC утворює з площиною основи ∠MCO = 45°. S_{поверхні} = S_бічн. + S_основи

ΔMOC — прямокутний. OC = h × ctg ∠MCO = h × ctg 45° = h × 1 = А.

де R = ОС,

S_осн. = a₄² = 2A².

ΔMKC — прямокутний.

в)

Нехай дано правильну чотирикутну піраміду, бічне ребро якої MC = b і утворює з площиною основи кут β. ∠MCO — β (кут між прямою і її проекцією на площину). ΔMOC — прямокутний. OC = b × cos β, OC — радіус кола, описаного навколо основи піраміди.

OK ┴ ВС, OM ┴ (ABCD), тоді за теоремою про три перпендикуляри MK ┴ ВС. MK — апофема піраміди.

S_ocн = BC²b cos²β;

ΔMKC — прямокутний.

г)

Нехай дано піраміду (правильна чотирикутна), відстань від основи висоти до бічної грані дорівнює d, OP = d, OK ┴ ВС, MK ┴ ВС, ∠MKO = α.

∠MKO — лінійний кут при ребрі основи піраміди.

ΔOPK — прямокутний.

ΔMOK — прямокутний.

ґ)

Нехай дано чотирикутну піраміду MABCD, в основі якої квадрат ABCD.

OP ┴ МС, OP = l, OP — відстань від основи висоти до бічного ребра.

Бічне ребро MC утворює кут ∠MCO = β з площиною основи.

ΔMOC — прямокутний.

ΔOPC — прямокутний. OP ┴ МС.

MK ┴ ВС.

ΔMOC — прямокутний. OM = OS × tg β.

ΔΜΟΚ — прямокутний.

S_{поверхні} = S_бічн. + S_осн.

804.

Нехай дано піраміду MABCD, в основі якої ромб ABCD, гострий кут якого

∠DAB = 45°, OK — радіус вписаного кола, OK = 3 см, OK ┴ ВС, MO ┴ (ABCD),

MO — висота піраміди. MO = 4 см. де MK —- висота бічної грані.

ΔMOK — прямокутний. MK²= MO² + OK² = = 16 + 9 = 25;

OK = r: h = 2r;

h — висота основи, DP = h — висота ромба ABCD; h = 2 × 3 = 6 см.

ΔADP — прямокутний.

Відповідь:

805.

Нехай дано правильну шестикутну піраміду MABCDEF зі стороною основи

AB = а, бічне ребро FM нахилене до площини основи під кутом α = 45^°.

∠MFO = α, кут між прямою і площиною, OK ┴ FA, тоді за теоремою про три перпендикуляри MK ┴ FA, MK — апофема піраміди.

P_ocн. = 6AF = 6 × 7 = 42 (см).

ΔOFM — прямокутний. OF — радіус описаного кола навколо шестикутника.

OF = R = а₆ = 7 см;

OM = OF × tg α = 7 tg 45^° = 7 × 1 = 7 (см).

OK = r —- радіус кола, вписаного в основу піраміди.

ΔMOK — прямокутний. ∠FOM = 90°.

806.

Нехай в основі піраміди лежить прямокутний трикутник ΔABC (∠ACB = 90°) з катетом AC — а, ∠CAB = α. Всі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом β. ∠MBO = ∠MCO = ∠MAO = β. AO = OB = OC = R — радіус кола, описаного навколо основи піраміди. O — середина гіпотенузи.

MO ┴ АВ, MO — висота піраміди.

ΔАВС.

ΔAMO — прямокутний.

Відповідь:

807.

Нехай дано піраміду MABC, в основі якої лежить рівнобедрений трикутник (ΔАВС). AB =AC = a. ∠BAC = α. Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом β. ∠MAO = ∠MBO = ∠MCO = β. ОK — відстань від основи висоти піраміди до її бічного ребра.

ΔАВС. BC = 2R × sin α = 2 × OB × sin α,

OB — радіус кола, описаного навколо ΔАВС.

ΔАВС.

ΔOKB — прямокутний. OK ┴ MB.

Відповідь:

808.

Нехай дано піраміду MABCD, у якої всі двогранні кути при ребрах основи піраміди рівні. ∠MFO = ∠MPO = ∠MNO = ∠MKO.

ΔMOF = ΔMOP = ΔMOK = ΔMON — прямокутні (за катетом і гострим кутом).

З їх рівності маємо: OF = OP = ON = ОK.

OF ┴ ВС, OP ┴ DC, OK ┴ AD, ON ┴ AB.

Точка O рівновіддалена від сторін основи піраміди.

Точка O — центр кола, вписаного в основу піраміди. Отже, якщо всі двогранні кути при ребрах основи піраміди рівні, то основа її висоти — центр кола, вписаного в основу піраміди.

809.

Нехай дано піраміду, в основі якої лежить прямокутний ΔABC з катетами

AC = 12 см, BC = 16 см, ∠ACB = 90°. MO ┴ пл. ΔАВС. MO — висота піраміди.

OK ┴ ВС, MK ┴ ВС, OP ┴ АВ, MP ┴ АВ, OF ┴ AC, MF ┴ AC.

∠MPO = ∠MKO = ∠MFO — лінійні кути двогранних кутів при ребрах основи піраміди. ∠MFO = ∠MPO = ∠MKO = 60°.

O — центр кола, вписаного в основу піраміди, OF = OP = OK = г — радіус кола, вписаного в основу піраміди.

а = 12 см, b = 16 см,

с² = а² + b² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400; с = 20 см.

ΔMOF — прямокутний.

Відповідь:

810.

Нехай дано піраміду MABC, в основі якої лежить ΔABC зі сторонами AB = 11 см, BC = 24 см, AC = 31 см. MO ┴ пл. ΔАВС. MO — висота піраміди. MO = 2 см.

MO ┴ пл. ΔАВС, OK ┴ ВС, MK ┴ ВС. ∠MKO — лінійний кут двогранного кута при ребрі ВС.

Усі двогранні кути при ребрах основи рівні, отже, O — центр кола, вписаного в основу піраміди,

OK — радіус цього кола. OK = г; де

S_ΔABC — площа основи піраміди, P — периметр основи піраміди.

P = 31 + 24 + 11 = 66 (см).

Знайдемо ∠MKO. ∠MKO = 60°.

Відповідь: 60°.

811.

Нехай дано піраміду MABCD, основа якої квадрат ABCD,

AB = BC = CD = AD = a. MB ┴ пл. ABCD. MB = h, MB — висота піраміди.

ΔMBA — прямокутний, ∠MBA = 90°.

MB ┴ (ABCD), AB ┴ AD, за теоремою про три перпендикуляри AM ┴ AD,

ΔMAD — прямокутний, ∠MAD = 90°,

ΔMAB — прямокутний. AB² = MB² + AB² = h²+ а²;

812.

Нехай дано MABCD — .піраміда, в основі якої лежить ромб ABCD, сторона ромба AB = BC = DC = AD = a. ∠BAD = 60°, MA ┴ пл. ABCD. MA = а. MA — висота піраміди.

ΔMAD — прямокутний.

Проведемо AF ┴ DC, тоді за теоремою про три перпендикуляри MF ┴ DC.

ΔAFD — прямокутний.

ΔMAF — прямокутний.

Відповідь:

813.

Нехай дано піраміду, в основі якої лежить правильний ΔABC.

Грань МАВ ┴ площині ABC. Грань МАС ┴ площині (ABC). AK ┴ ВС, MK ┴ ВС, ∠MKA = 30°. ∠MKA — кут нахилу грані MBC до площини (ΔАВС).

ΔMAB — прямокутний. MA ┴ (ABC), MA ┴ АВ.

Нехай AB = AC = BC = а, тоді

ΔMAK — прямокутний.

Відповідь:

814.

Нехай дано піраміду SABC, в основі якої лежить прямокутний ААВС,

у якого ∠C = 90°, ∠A = α, AB = с. Грань SAB і грань SAC перпендикулярні до площини основи ΔАВС.

AC ┴ ВС, тоді за теоремою про три перпендикуляри SC ┴ BC, отже, ∠SCA = β, ∠SCA — лінійний кут двогранного кута, який утворює грань SCB з площиною основи.

ΔАВС — прямокутний. BC = ctg α;

ΔSAC — прямокутний.

Відповідь:

815.

Нехай дано трикутну піраміду МАВС, у якої ∠BMA = ∠CMA = α, ∠BMC = β, а, а, β — плоскі кути при вершині піраміди. MA — бічне ребро — спільна сторона рівних кутів. MA ┴ площині ΔABC, MA ┴ AC, MA ┴ АВ. AM = а.

ΔМАВ = ΔMAC (за катетом і гострим кутом).

AB = a tg α.

AF ┴ BC, MF ┴ ВС, MF — висота ΔМВС.

ΔAMВ.

ΔMBC — рівнобедрений. MC = MB; BF = FC.

ΔMBF.

Відповідь:

816.

Нехай дано піраміду, в основі якої лежить правильний ΔАВС. AB = BC = AC = а.

Грань МАС перпендикулярна до площини основи. MO ┴ (ABC), MO ┴ AC, MO — висота піраміди. OK ┴ AB, MK = AB, ∠MKO = α, ∠MKO — кут нахилу бічної грані AMB до площини основи. OP ┴ BC, MP ┴ ВС. ∠MPO = α, ∠MPO — кут нахилу грані MBC до площини основи. ∠MKO = ∠MPO = α.

ΔAOK — прямокутний.

ΔMOK — прямокутний.

Відповідь:

817.

Нехай дано трикутну піраміду, в основі якої лежить правильний ΔАВС.

AB = BC = AC. Бічна грань AMC перпендикулярна до площини основи.

MO ┴ ABC, MO ┴ AC. MO ┴ ABC, ОK ┴ АВ, MP ┴ BC, OK ┴ AB, MK ┴ AB,

∠MPO = ∠MKO = 60°. ∠MPO і ∠MKO — лінійні кути нахилу граней

MBC і МАВ до площини основи.

MB — найбільше бічне ребро, тому що його проекція OB більша,

ніж проекції AM і MC. Нехай AB = BC = AC = а.

ΔAOK — прямокутний. ∠KAO = 60°,

ΔMOK — прямокутний. ∠MOK = 90°,

ΔAOB — прямокутний. ∠AOB = 90°,

ΔMOB — прямокутний.

Відповідь:

818.

Нехай дано піраміду, в основі якої прямокутний трикутник з кутом а. ∠CAB = α. BC = а. Грань MCB проходить через катет BC = а і перпендикулярна до площини основи. Грань MCA нахилена до площини основи під кутом ∠MCB = φ. BC ┴ АС, МО ┴ ABC, тоді MC ┴ АС. Грань МАВ нахилена до площини основи під кутом ∠MPO = φ. MO ┴ ABC, OP ┴ AB, тоді MP ┴ АВ. MO — висота піраміди. ΔMOC = ΔMOP — прямокутні. OM — спільна сторона — ∠MPO = ∠MCO = φ.

З їх рівності маємо: OC = ОР.

ΔCOP — ΔPOA — прямокутні (за двома катетами).

З ΔCAO: ΔMOP — прямокутний.

Відповідь:

819.

Нехай дано правильну трикутну піраміду. Вершина А знаходиться на відстані AP = d від протилежної грані BMC. У площині (AMK) MK — апофема піраміди.

Проведемо AP ┴ МK. OK ┴ BC, MK ┴ BC, отже, ∠MKO — лінійний кут двогранного кута при ребрі основи піраміди.

ΔAPK — прямокутний.

ΔMOK — прямокутний.

820.

Нехай дано правильну чотирикутну піраміду MABCD, в основі якої

лежить квадрат ABCD. Бічна грань утворює з площиною кут ∠MPO = α.

OP ┴ AD, MP ┴ AD. MP = l, MP — апофема піраміди, Через діагональ BD основи піраміди проведемо переріз DKB паралельно ребру AM.

В площині (AMC) проведемо OK ‖ AM.

Переріз піраміди ΔDKB — рівнобедрений, DK = BK (за умовою піраміда правильна).

ΔMPO — прямокутний. MO = MP × sin α = l sin α.

OP = MP × cos α; OP = I cos α. AB = 2OP = 21 cos α;

ΔAMO — прямокутний. AM²= OM² + AO²;

AM² = l² sin²α + 2l cos²α = l²(sin² α + 2 cos²α).

ΔAMC. OK — середня лінія ΔАМС. OK ‖ AM, AO = ОС, тоді за теоремою Фалеса

MK = KC.

Відповідь:

821.

Нехай дано піраміду МАВС, висота MO = 12 см, площа основи S_ΔBCD = 288 см², S_ΔB1C1D1 = 50 см². Піраміда MA₁B₁C₁подібна до піраміди МАВС.

Проведемо переріз площиною (A₁B₁C₁) паралельно площині (ABC).

MO₁ = x;

x = 5, MO₁ = 5, OO₁ = OM - O₁M = 12 - 5 = 7 (см).

Відповідь: 7 см.

822.

Нехай дано піраміду MABC. Паралельно основі піраміди проведемо переріз A₁B₁C₁. AA₁ : A₁M = 3 : 2. S_ΔABC більша S_ΔA1B1C1 на 63 см².

Нехай S_ΔA1B1C1 = х, тоді S_ΔABC = x + 63.

4х + 252 = 25х; 21x = 252; x = 12; S _ΔABC = 12 + 63 = 75 (см²).

Відповідь: 75 см².

823.

Нехай дано зрізану правильну чотирикутну піраміду, висота якої OO₁ = 12 см, AB = BC = CD = AD = 38 см, A₁B₁ = B₁C₁= D₁C₁ =A₁D₁ = 20 см.

a) C₁C — бічне ребро; C₁F ┴ AC, C₁F — висота піраміди.

ΔC₁CF — прямокутний.

C₁C² = C₁F² + FC² = 144 +162 = 306;

б) AA₁C₁C — переріз, який проходить через діагоналі основ.

AA₁C₁C — трапеція.

в)

OK = r —радіус кола, вписаного кола в нижню основу.

NK = OK - O₁K₁= 19 - - 10 = 9 (см).

AK₁NK — прямокутний.

K₁K² = B₁N² + NK²; K₁K² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225;

K₁K = 15 (см).

S_{поверхні} = 1444 + 400 + 1740 = 3584 (см²).

824.

а)

Нехай дано зрізану правильну чотирикутну піраміду. Сторони основ дорівнюють: AB = BC = DC = = AD = 12 см; A₁B₁ = B₁C₁ = B₁C₁ = A₁B₁- 8 см,

C₁C нахилена до площини основи під кутом ∠C₁CO = 60°.

K₁K — апофема.

C₁F ┴ ОС;

ΔC₁FC — прямокутний.

OK = r.

K₁B ┴ OK; PK = OK - O₁K₁ = 6 - 4 = 2 (см).

ΔK₁KP — прямокутний.

Відповідь:

б) Нехай дано зрізану правильну трикутну піраміду, сторони основ якої дорівнюють: AB = BC = AC = 12 см; A₁B₁ = B₁C₁ = A₁C₁ = 8 см.

OC і O₁C₁ — радіуси кіл, описаних навколо основ.

C₁C — бічне ребро. K₁K — апофема.

ΔKK₁F - прямокутний.

в)

Нехай дано зрізану шестикутну піраміду. a₆ = R; OD = R = AB = 12 см,

O₁D₁— A₁B₁ = 8 см; KD = OD - O₁D₁ = 12 - 8 = 4 (см).

ΔD₁KD — прямокутний.

NN₁— апофема.

ΔNN₁P — прямокутний.

825.

Нехай дано правильну чотирикутну зрізану піраміду, діагональ якої дорівнює 10 см; A₁C = 10 см; ∠A₁CA = 30° (кут між прямою A₁C і площиною ABCD).

∠A₁AO — 60°.

ΔA₁CA —- прямокутний. ∠A = 60°; ∠C = 30°;

∠A₁ = 90°;

A₁F ┴ AC; A₁F = AA₁

K₁N ┴ OK;

AK NK — прямокутний. KK² = K₁N² + NK²;

826.

Нехай дано зрізану піраміду, основою якої е квадрат ABCD. Дві бічні грані A₁B₁BA і B₁BCC₁ перпендикулярні до площини основи, а дві інші утворюють з нею кут 45°. Сторона нижньої основи AB = BC = DC = AD = 2а. Сторона верхньої основи A₁B₁ = B₁C₁ = C₁D₁=A₁D₁ = а.

AB = 2а; A₁B₁= a; A₁F ┴ АВ; ΔA₁FA — прямокутний.

A₁F = FA =2а - а = а.

C₁P ┴ DC; PC ┴ DC, тоді C₁C ┴ DC.

ΔC₁PC — прямокутний.

827.

Нехай дано правильну чотирикутну піраміду MABCD, висота якої

а висота бічної грані, проведена до бічного ребра, дорівнює

Нехай OC = х, тоді

ΔMOC — прямокутний. MC²= MO² + OC²- 2 + x²;

MF ┴ BC,

ΔMOF.

Зх² + 6 = 4х² + x⁴; х⁴ + x²- 6 = 0. Нехай х² = t, t > 0. t² + t - 6 = 0; t₁ = -3; t₂ = 2.

x² = 2; MC²= 2 + 2 = 4; MC = 2.

Відповідь: MC = 2.

828.

Нехай дано піраміду, основою якої є квадрат. OK ┴ AD, MK ┴ AD.

∠MKO — лінійний кут двогранного кута при ребрі основи.

∠1 : ∠2 : ∠3 : ∠4 = 1 : 2 : 4 : 2.

Відповідь: 30°, 60°, 120°, 60°.

829.

Нехай дано правильну чотирикутну піраміду, у якої висота MO = h, а двогранний кут при бічному ребрі α. OK ┴ ВС, MK ┴ ВС. ∠MKO = α.

ΔMOK — прямокутний. OK = OM × ctg α = h ctg α; AB = 2OK = 2h ctg α.

S_основи = AB² = 4h² ctg²α.

Відповідь: 4h² ctg²α.

830.

Нехай дано трикутну правильну піраміду. Відстань від основи висоти OM до середини E бічного ребра MC дорівнює стороні основи. OE = AB.

BK ┴ AM, KC ┴ AM, ∠ BKC = φ, кут між суміжними бічними гранями.

ΔMOC — прямокутний. ME = OE = EC = a; MC = 2а.

ΔAMF — прямокутний.

AM × BK = AB × MF;

ΔВКС. За теоремою косинусів маємо: BC² = BK² + KC² - 2ВК × KC × cos ∠K;

Відповідь:

831.

Нехай дано піраміду МАВС, основа якої — правильний трикутник ABC. Основа висоти MO проходить через один із центрів O зовнівписаного кола. Висота MO дорівнює радіусу кола, тобто MO = OF = OE = OP = R. OF ┴ AB; MF ┴ AB.

∠MFO — лінійний кут двогранного кута при ребрі основи. OE ┴ AC; ME ┴ AC.

∠MEO — лінійний кут при ребрі основи. OP ┴ BC; MP ┴ PO.

∠MPO — суміжний кут двогранного кута при ребрі основи.

∠MPO = 135°; ∠MFO = ∠MEO =45°.

ΔMOF — прямокутний. MO = OE = R.

Відповідь: 45°; 45°; 135°.

832.

Нехай дана правильна чотирикутна піраміда, бічне ребро якої 10 см, площа повної поверхні 64 см ². MC = MB = MA = MD = 10 см.

Нехай AB = BC = DC = AD = х, тоді

ΔMKC — прямокутний. OM ┴ (ABCD), OK ┴ BC. За теоремою про три перпендикуляри MK ┴ BC. За теоремою Піфагора: MK² = MC²- KC²;

За умовою площа повної поверхні 64 см².

Складемо рівняння:

х²(400 - x²) = 4096 - 128х² + х⁴; 400х² - х⁴ = 4096 - 128х² + x⁴;

-2х⁴ + 528х² - 4096 = 0; x⁴ - 264х² + 2048 = 0.

Нехай x² = t, t > 0. t²- 264t + 2048 = 0;

D₁ = k²- ас = 17 424 - 2048 = 15 376;

t₂ = 132 - 124 = 8; x² = 256 або x² = 8;

Відповідь: 16 см або

833.

Нехай MABCD — правильна чотирикутна піраміда, двогранні кути при основі піраміди дорівнюють 60°. ∠MKO = 60°. A₁B₁C₁D₁ — переріз, який проведений паралельно основі піраміди і ділить висоту у відношенні MO₁·. OO₁ = 1 : 3.

Нехай AB = х, тоді

З ΔМОK:

Площа основи: S_ABCD = х².

Площа повної поверхні 192 см².

x² + 2x² = 192; 3x² = 192; x² = 96;

Піраміда MA₁B ₁C₁D₁- MABCD,

у = 96 : 6; у = 6.

Нехай S_A1B1C1D1 = y — площа перерізу.

Відповідь: 6 см².

834.

Нехай дано піраміду MABCDEF, в основі якої лежить правильний шестикутник

зі стороною l, а одне з бічних ребер перпендикулярне до площини основи,

MA ┴ (ABCDEF). MA = l.

ΔMAB — прямокутний.

ΔMAB — прямокутний. MB² = MA² + AB² = 2l²;

ΔMAD — прямокутний. MD² = MA² + AD² = I² + 4l² = 5l²; AD = 2R = 2l; а₆ = R;

ΔABC — рівнобедрений. AB = BC;

ΔMAC — прямокутний. MC² = MA² + AC²; MC² = l² + 3l² = 4l²; MC = 2l.

де

835.

Нехай дано піраміду MABCD, в основі якої лежить квадрат,

AB = BC = CD = AD = а. Грань МАВ ┴ ABCD, MO ┴ AB, BK ┴ AB, ∠MOK = 90°,

∠ MOK — лінійний кут двогранного кута при ребрі AB.

MO ┴ ABCD, AO ┴ AD, MA ┴ AD, ∠MAO = α, ∠MAO — лінійний кут двогранного кута при ребрі AD. OB ┴ BC, MB ┴ BC, ∠MBO = β, ∠MBO — лінійний кут двогранного кута. Нехай AO = х, тоді OB = a - x.

ΔAMO: MO = x tg α. ΔМОВ. MO = (а - х) tg β;

x tg α + (а - x) tg β; x tg α = а tg β - x tg β;

x tg α + x tg β = a tg β; x(tg х + tg β) = a tg β;

MO = x tg α;

Відповідь:

836.

Нехай дано піраміду, в основі якої лежить трапеція ABCD, у якої

AB = CD = 2 см, BC = 4 см. AD = 6 см. Грань SAB ┴ (ABCD),

грань SCD ┴ (ABCD), SO ┴ (ABCD), SO — висота піраміди.

OK ┴ AD, тоді за теоремою про три перпендикуляри SK ┴ AD.

∠SKO = 30°, ∠SKO — лінійний кут двогранного кута при ребрі AD.

SO ┴ (ABCD), (OFBC), SF ┴ BC. ∠SFO — суміжний з лінійним кут двогранного кута при ребрі BC. ∠KFS — лінійний кут двогранного кута при ребрі BC.

CP ┴ AD, CP — висота трапеції ABCD. PD = (6 - 4) : 2 = 1.

ΔCPD — прямокутний. CP² = CD² - PD² = 4 - 1 = 3;

ΔSOK — прямокутний. SO — висота піраміди.

ΔOBC - AOAD. BC ‖ AD.

4у + 8 = 6у; 2у = 8; у = 4. OC = = 4; OD - OC + CD = 4 + 2 = 6 (см).

ΔOKD. OK² = OD²- KD²; OK² = 36 - 9 = 27;

ΔSOF — прямокутний.

837.

Див. рис.

838.

а)

Нехай дано правильну піраміду, у якої ∠MCO = β — кут нахилу бічного ребра до площини основи. MO ┴ ABCD; OK ┴ DC; MK ┴ DC.

∠MKO = α — кут нахилу бічної грані до площини основи.

γ = ∠AMB - плоский кут при вершині піраміди. DF ┴ ВАМ; BF ┴ AM.

∠DFB = φ — двогранний кут при бічному ребрі.

Нехай AD = а;

ΔMOC — прямокутний.

б)

Нехай дано трикутну піраміду, ∠AMB = у — плоский кут при вершині піраміди.

∠OCM = β — кут нахилу бічного ребра до площини основи.

OK ┴ BC, MK ┴ BC. ∠MKO = α — кут нахилу бічної грані до площини основи.

BP ┴ AM, CP ┴ AM; φ = ∠BPC — кут при бічному ребрі.

AB = a; OE = r;

OC = R;

ΔOMC; a = arctg(2 tg β).

ΔОМК.

в)

Нехай дано правильну шестикутну піраміду MABCDEF.

AB = BC = CD = ED = EF = AF = a. ∠MDO = β — кут нахилу бічного ребра MD до площини основи. OK ┴ CD, MK ┴ CD. ∠MKO — лінійний кут двогранного кута при ребрі CD. γ = ∠CMD —- плоский кут при вершині піраміди.

BP ┴ AM; FP ┴ AM.

∠ BPF = φ — двогранний кут при бічному ребрі.

AB = а₆ = R; OD =AB = a; OK = r,

ΔMOD. MO = OD tg β = a tg β.

ΔΜΟΚ.

ΔМСК.

839.

Нехай дано правильну чотирикутну піраміду SABCD, всі ребра якої дорівнюють a. AB - = BC = CD = AD = a. AS = BS = CS = DS = а. M ϵ BC; N ϵ DC; P ϵ SAB.

P_AMN— правильна трикутна піраміда.

ΔANM — правильний. P проектується в центр кола, описаного навколо правильного ΔANM— точку O₁. O₁M = O₁N = O₁A — радіуси описаного кола.

PA = PM = PN, точка P рівновіддалена від вершин основи ΔANM.

ΔABS = ΔBSC = ΔCDS — рівносторонні трикутники.

840.

Нехай дано правильну шестикутну піраміду SABCDEF, сторона основи якої

AB = BC = CD = DE = EF = AF = a,

SK — апофема. FP ┴ SM; AP ┴ SM; SM — лінія перетину граней SAB і SEF,

∠FPA = α — кут між гранями SAB і SEF.

Р_осн. = 6а.

Знайдемо SK. Нехай SK = х.

AFPA — рівнобедрений, PA = PF, PK ┴ AF;

ΔSKF — прямокутний. SK = х, SF = у,

ΔPSK— прямокутний. SP² + PK² = SK²;

ΔSPF — прямокутний. SP²+ PF² =SF²;

842.

Нехай дано правильну трикутну зрізану піраміду, сторона нижньої основи m, двогранний кут при ребрі основи ∠K₁KO = 60°, OK ┴ AB, K₁K ┴ AB.

Площа повної поверхні дорівнює Q: Нехай сторона верхньої основи х.

A₁B₁ = B₁C₁ = A₁C₁ = х.

Проведемо K₁F ┴ КО; KO — радіус кола, вписаного в основу ΔABC.

ΔK₁KF —прямокутний.

Площа повної поверхні:

де P₁ = 3 m, P₂= 3x; l = K₁K.

Відповідь:

843.

Нехай дано правильну трикутну піраміду.

Площа бічної поверхні дорівнює

Площа повної поверхні дорівнює

Площа основи — площа

а² — 36, отже, сторона нижньої основи 6 см.

Висоту піраміди поділено на три частини. SO₂ = O₂O₁ = O₁O, через точки поділу проведено перерізи, паралельні основі.

Паралельні перерізи відтинають подібні піраміди.

a₁ = 4 (см);

а₂ = 2 (см).

де l = SK.

Відповідь:

844.

Нехай дано зрізану піраміду ABCA₃B₃C₃. Площини перерізів, паралельних основам, ділять висоту зрізаної піраміди OO₃на три рівні частини.

OO₁= O₁O₂ = O₂O₃.

845.

Нехай дано правильну трикутну зрізану піраміду, сторона AB = BC = AC = 3а;

A₁B₁ = B₁C₁ = A₁C₁ = 2а. MD ┴ АB, OD ┴ АВ, ∠MDO = α, кут між бічною гранню та площиною основи. Переріз зрізаної піраміди площиною, яка проходить через центр нижньої основи і середню лінію бічної грані.

KPLD — переріз. KP ‖ AC; KP — середня лінія трапеції АА₁С₁С.

DL ‖ AC, DL ‖ PK.

де h₁ — висота трапеції KDLP.

846.

Нехай дано трикутну піраміду, в якій висота SO проходить через точку O — точку перетину висот основи ΔАВС.

AS, SC, SB — бічні ребра піраміди. AB, ВС, AC — ребра основи. AS і BC — мимобіжні ребра піраміди. AS² + BC² = SC² + AB² = SA² + BC².

847.

Нехай дано трикутну піраміду SABC, тригранний кут при вершині S прямий.

∠ASB = ∠CSB = ∠ASC = 90°.

Нехай AB = BC = AC = а.

що й треба було довести.

848.

Нехай піраміда MABC і піраміда M₁ABC мають спільну основу — ААВС,

Сума ребер внутрішньої піраміди може бути більшою за суму ребер зовнішньої піраміди.

849.

Нехай дано трикутну піраміду, у якої всі грані мають рівні площі.

отже, всі грані — рівні трикутники.