Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§ 23. Правильні многогранники

862.

Якщо у піраміді всі ребра рівні, то з них можна скласти правильний октаедр.

АB = а; AM = а;

Відповідь:

863.

а) так; б) так.

864.

а) ні; б) так; в) ні.

865.

Якщо з однієї вершини куба провести три діагоналі бічних граней і їх кінці з’єднати відрізками, то утворена піраміда буде тетраедром.

866.

Сума плоских кутів при вершині правильних многогранників:

1) гексаедр 3 × 90° = 270°;

2) тетраедр 3 × 60° = 180°;

3) октаедр 4 × 60^° = 240°;

4) ікосаедр 5 × 60° = 300°;

5) додекаедр 3 × 108° = 324°.

868.

Із центра куба його ребро видно під кутом

Із центра правильного октаедра його ребро видно під кутом 90°.

869.

Нехай дано правильний октаедр. FO = AO = OC = OM = 1 дм.

DAOM — прямокутний. AM² = AO² + OM²= 1 + 1 = 2;

Відповідь:

870.

Ребро октаедра AM = AB = 4 см.

Переріз ABCD — площина симетрії цього октаедра. ABCD — квадрат.

S_ABCD = 4² = 16 (см²). Переріз MDFB — площина симетрії цього октаедра.

MDFB — ромб. BD — діагональ квадрата ABCD.

871.

Нехай ребро ікосаедра дорівнює а. Площа поверхні ікосаедра:

872.

Площа поверхні правильного октаедра дорівнює S.

873.

Якщо ребро правильного ікосаедра збільшити у 3 рази, то площа поверхні ікосаедра збільшиться. а — ребро; — площа;

За — нове ребро;

Площа збільшиться у 9 разів.

874.

а) нехай дано тетраедр. MO ┴ ABC, OK ┴ AB, MK ┴ AB.

PMKO = а — лінійний кут двогранного кута при ребрі основи.

MB = a; AB = a. DMKB — прямокутний.

б)

MO ┴ ABCD; OP ┴ АВ; MP ┴ AB; M₁P ┴ AB; DMPM₁— лінійний кут

двогранного кута при ребрі АВ. AB = a; MB = а;

878.

Вершини куба будуть вершинами правильного тетраедра.

879.

Нехай дано куб з ребром а.

Центри його граней є вершинами многогранника — октаедра.

b — ребро октаедра.

880.

Ребро правильного тетраедра дорівнює а.

Многогранник, вершинами якого є центри граней даного тетраедра,

буде тетраедр з ребром b.

— висота грані тетраедра.

881.

Ребро правильного октаедра дорівнює а.

Центри граней даного октаедра є вершинами куба.

d² = а² + a²; d²= 2а²: b — ребро куба.

882.

Нехай дано правильний додекаедр з ребром m.

Грані додекаедра — правильні п’ятикутники.

де AE = m;

PAOK = 36°;

Відповідь:

883.

AF, FE, FD, FC, FB — ребра грані ікосаедра.

DBEC — рівносторонній. FK ┴ BC. OK ┴ BC;

OK — радіус кола, вписаного в п’ятикутник ABCDE.

Кут при ребрі ікосаедра дорівнює

884.

У правильному октаедрі протилежні ребра паралельні, тому що переріз октаедра є квадрат, протилежні грані лежать у паралельних площинах.

887.

Перерізом тетраедрів AB₁CD₁і C₁BA₁D є правильний октаедр MNPKLD.

Він має 6 вершин, які знаходяться у точках перетину діагоналей грані куба, перерізом тетраедра є квадрат MPKD.

888.

Правильного многогранника, гранями якого є правильні n-кутники (при n і 6),

не існує.

У всіх многогранних кутах сума плоских кутів при вершині менша 360°.

Плоский кут правильного n-кутника, якщо n = 6, 120°, 120°. 6 = 720°.

890.

У будь-якому многогранному куті сума плоских кутів при вершині менша ніж 360°. В тетраедрі у кожній вершині сходиться три ребра.

Плоский кут 3 × 60° = 180°. У октаедра 4 × 60° = 240°; у куба 3 × 90° = 270°; у додекаедра 108° × 3 = 324°; у ікосаедра 60° × 5 = 300°. Правильні многокутники з числом сторін більше або дорівнює шести не можуть бути гранями правильних многогранників, тому їх існує тільки п’ять.

893.

Нехай перерізом правильного ікосаедра є правильний десятикутник, тоді він проходить через середини його ребер. b — ребро десятикутника.

PBOC = 360° : 10 = 36°;