Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. П. Єршової - 2017 рік

Розділ І. Чотирикутники

§ 3. Ознаки паралелограма

69. DЕ || KF, EF || DK.

Якщо діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то ABCD — паралелограм.

70. Оскільки протилежні сторони чотирикутника паралельні та рівні, то KLMN — паралелограм, тому ∠К = ∠М, ∠L = ∠N як протилежні кути паралелограма.

71. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то PRSQ — паралелограм, тому ∠R + ∠S = 180° за властивістю сусідніх кутів паралелограма.

72. ABCD — чотирикутник, АВ || CD.

1) АВ = CD => ABCD — паралелограм.

2) ВС || AD => ABCD — паралелограм.

73. Якщо ∠А = 30°, ∠С = 50°, то ABCD не може бути паралелограмом, тому що в паралелограмі протилежні кути рівні (властивість).

74. а) Для того щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно і достатньо, щоб його діагоналі точкою перетину ділилися навпіл;

б) для того щоб два кути були суміжними, необхідно, щоб їхня сума дорівнювала 180°;

в) для того щоб прямі АВ і CD були паралельними, достатньо, щоб чотирикутник ABCD був паралелограмом.

75. a) AJBCD — паралелограм, тому що ВС || AD, ВС = AD.

б) М, С і D лежать на одній прямій.

76. а) Оскільки діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то ABCD — паралелограм.

б) М, С і D лежать на одній прямій.

77. Оскільки 4 см = 40 мм, 1,2 дм = 2 ∙ 6 см, то АО = ОС, BO = OD. Тому діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл і ABCD — паралелограм.

78. а) Розглянемо ΔАВС і ΔCDA.

1. АС — спільна.

2. ∠BAC = ∠DCA за умовою.

3. ∠BCA = ∠DAC за умовою.

=> ΔАВС = ΔCDA і АВ = CD, ВС = AD. Оскільки протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то ABCD — паралелограм.

б) Розглянемо ΔBCD і ΔDAB.

1. ВС = AD за умовою.

2. BD — спільна.

3. ∠CBD = ∠ADB за умовою.

=> ΔBCD = ΔDAB за двома сторонами і кутом між ними => АВ = CD. Оскільки протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то ABCD — паралелограм.

79. а) 3 рівності ΔАОВ і ΔCOD випливає: АО = ОС, BO = OD.

Оскільки діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то чотирикутник — паралелограм.

б) ∠CAD = ∠ACВ (внутрішні різносторонні) => AD || ВС.

∠ABD = ∠CDB (внутрішні різносторонні) => АВ || CD.

Оскільки сторони чотирикутника попарно паралельні, то він є паралелограмом.

80. Оскільки АВ || CD і АВ = CD, то ABCD — паралелограм. Отже, Р_ABCD = 2 ∙ (AD + АВ) = 2 ∙ (4 + 9) = 26 см.

Відповідь: 26 см.

81. Оскільки протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то ABCD — паралелограм.

Нехай ∠B — х, тоді ∠A — 3х, з властивості сусідніх кутів паралелограма маємо х + 3х - 180°; 4x = 180°; х = 45°. ∠D = ∠B = 45°, ∠C = ∠A = 3 ∙ 45° = 135°.

Відповідь: 135°, 45°, 135°, 45°.

82. У чотирикутнику AB₁CD₁ : АО = ОС за властивістю діагоналей паралелограма ABCD.

В₁O₁ = D₁O (як половини рівних відрізів ВО і DO). Отже, діагоналі чотирикутника AB₁CD₁ точкою перетину діляться навпіл, тому AB₁CD₁ — паралелограм.

83. Нехай ABCD — даний паралелограм, М і N — відповідно середини ВС і AD.

ВМ || AN (ABCD — паралелограм), ВМ = AN

Отже, протилежні сторони чотирикутника паралельні і рівні => ABMN — паралелограм. Аналогічно доводимо, що NMCD — паралелограм.

84. На горизонтальній лінійці відкладаємо відрізок певної довжини, потім піднімаємо її вгору і зсуваємо, наприклад, праворуч і знову відкладаємо такий самий відрізок. З’єднавши послідовно всі чотири вершини, отримаємо паралелограм.

85. Оскільки АВ = CD, AD = ВС, то ABCD — паралелограм => АВ || CD, а АВ розташована вертикально.

86. a) ∠DBC = ∠BDA, а вони є внутрішніми різносторонніми при прямих ВС і AD і січній BD, отже, ВС || AD.

Розглянемо ΔВОС і ΔDOA:

1. ОС = АО за умовою.

2. ∠BOC = ∠DOA (вертикальні).

3. ∠BCA = ∠DAC (внутрішні різносторонні при паралельних прямих BC i AD).

=> ΔВОС = ΔDOA за стороною і двома прилеглими кутами => ВС = AD. Маємо: ВС || AD, ВС = AD, отже, ABCD — паралелограм.

б) Проведемо діагональ АС. Нехай О — точка перетину АС і BD.

Маємо АО = ОС, ЕО = OF (AECF — паралелограм). Отже, BO = OD (BO = BE + ЕО, OD = DF + OF, a BE = DF, ЕО = OF).

Оскільки діагоналі точкою перетину діляться навпіл, то ABCD — паралелограм.

87. a) ∠BCA = ∠DAC (внутрішні різносторонні при прямих ВС і AD і січній АС) => ВС || AD. ∠BAC = ∠DCA (оскільки в трикутниках два кути рівні, то і треті кути рівні між собою). АС — спільна => ΔABC = ΔCDA за стороною і двома прилеглими кутами => ВС = AD. Маємо ВС || AD, ВС = AD => ABCD — паралелограм.

б) ВС || AD за умовою. ВС = EC - ЕВ, AD = AF - DF. Оскільки EC = AF як протилежні сторони паралелограма, ЕВ = DF за умовою, то ВС = AD. Маємо ВС || AD. ВС = AD, отже, ABCD — паралелограм.

88. Нехай ABCD — даний паралелограм, BE і DF — бісектриси ∠B і ∠D відповідно. Е і F ∈ АС.

Розглянемо ΔАВЕ і ΔCDF:

1. АВ = CD (як протилежні сторони паралелограма).

2. ∠ABE = ∠CDF (половини рівних кутів).

3. ∠BAE = ∠DCF (внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС і січній АС).

=> ΔАВЕ = ΔCDF за стороною і двома прилеглими кутами => BE = DF.

Розглянемо ΔBFC і ΔDEA:

1. ВС =AD (протилежні сторони паралелограма).

2. АЕ = FC (з рівності ААВЕ і ДCDF).

3. ∠EAD = ∠FCB (внутрішні різносторонні).

=> ΔBFC = ΔDEA за двома сторонами і кутом між ними => BF = DE.

Маємо: BE = FD і BF = DE => BEDF — паралелограм.

89. Нехай ABCD — даний паралелограм, О — точка перетину його діагоналей. М, N, P, K — середини відрізків АО, BO, СО і DO відповідно.

Розглянемо ΔMOK і ΔPON.

1. NO = OK (як половини рівних відрізків).

2. MO = РО (як половини рівних відрізків).

3. ∠MOK = ∠PON (вертикальні).

=> ΔMOK = ΔPON за двома сторонами і кутом між ними => МК = NP.

Аналогічно з рівності ΔNOM і ΔКОР випливає: MN = РК. Маємо МК = NP і MN = РК, тому MNPK — паралелограм.

90. а) Розглянемо паралелограм KLMN. LM = LX + ХМ, KN = NY + KY. Оскільки LM = KN (за означенням паралелограма), ХМ = KY (за умовою), то LX = YN. LX || YN (лежать на протилежних сторонах паралелограма). Тому LXNY — паралелограм => LY = XN і АВ || CD. Аналогічно можна довести, що ВС || AD => ABCD — паралелограм.

б) Розглянемо паралелограм KLMN. LP = QN (за умовою). LP || QN (лежать на протилежних сторонах паралелограма) => QLPN — паралелограм.

∠LMN = ∠LMZ + ∠ZMN, ∠LKN = ∠NKF + ∠LKF.

Оскільки ∠LMN = ∠LKN (протилежні кути паралелограма), ∠LMZ = ∠NKF (за умовою). Отже, ∠ZMN = ∠LKF, a ∠ZKF = ∠NFK (внутрішні різносторонні) => ∠ZMN = ∠KFN => ZM || KF. Маємо: АВ || CD, ВС || AD => ABCD — паралелограм.

91. а) Розглянемо паралелограм AECF. ЕС || AF за властивістю протилежних сторін паралелограма => NC || АК, a NC = АК за умовою, отже, ANCK теж є паралелограмом => AN || СК => АВ || CD.

Розглянемо чотирикутник АМСР: AM || СР, АМ = АЕ - ME, CP = CF - PF, оскільки АЕ = CF за властивістю протилежних сторін паралелограма, a ME = PF за умовою, то AM = СР. А це означає, що АМСР — паралелограм => МС = АР => ВС || AD. Отже, маємо АВ || CD і ВС || AD, тому ABCD — паралелограм за означенням.

б) Розглянемо паралелограм KLMN. LM || KN за властивістю протилежних сторін паралелограма => YM || KF. ∠LYK = ∠YKN (внутрішні різносторонні, a ∠LYK = ∠MFN за умовою, тому ∠YKN = ∠MFN, а вони є відповідними при прямих YK і MF і січній KF => KYMF — паралелограм => KY || FM => ВС || AD.

∠ZLM = ∠KLM - ∠KLZ: ∠KNX = ∠KNM - ∠XNM.

∠KLM = ∠KNM (протилежні кути паралелограма). ∠KLZ = ∠XNM (за умовою). Отже, ∠ZLM = ∠KNX. Але ∠ZLM = ∠LZK (внутрішні різносторонні) => ∠LZK = ∠KNX, а вони є відповідними при прямих LZ і XN і січній KN => LZ || XN => АВ || CD.

Маємо: ВС || AD, АВ || СD отже, ABCD — паралелограм за означенням.

92. Розглянемо чотирикутник ABCD. За властивістю кутів чотирикутника ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°, а за умовою ∠A = ∠C, ∠B = ∠D, маємо: ∠A + ∠B = ∠C + ∠D = 360° : 2 = 180°, але ∠A і ∠B є внутрішніми односторонніми при прямих AD i BC і січній АВ, тому AD || ВС. Аналогічно доводимо, що АВ || CD, тому за означенням ABCD — паралелограм.

93. Нехай ∠A — даний кут, а О — точка всередині цього кута.

1. Проведемо промінь АО і відкладемо на ньому ОС = ОА.

2. Через т. С проведемо прямі СВ і CD, паралельні сторонам ∠А, BD — шуканий відрізок.

ABCD — паралелограм, оскільки СВ || AD, а АВ || CD. Тому BO = OD за властивістю діагоналей паралелограма.

94. Через, дану т. М проведемо прямі, паралельні сторонам даного кута. Е і F — точки перетину цих прямих зі сторонами кута. Тому MFAE — паралелограм за означенням. Побудуємо відрізок EFі знайдемо його середину О. За властивістю діагоналей паралелограма промінь МО буде спрямований на точку А.

95. Нехай ABC — даний трикутник, AH₁ ⊥ ВС, ВН₂⊥ АС, О — точка перетину АН₁ і ВН₂, AO = ВО.

Розглянемо ΔАОВ: він рівнобедрений (АО = ВО) => ∠OAB = ∠OBA.

З ΔCH₂B ∠CBH₂ = 90° - ∠C. Із ΔСH₁А: ∠CAH₁ = 90 °- ∠C => ∠CBH₂ = ∠CAH₁. Маємо: ∠CAB = ∠CAH₁ + ∠OAB, ∠CBA = ∠CBH₂ + ∠OBA => ∠CAB = ∠CBA => ΔАСВ — рівнобедрений і AC = BC.

96. Нехай ΔАВС і ΔDCB — дані прямокутні трикутники, АС || BD.

Розглянемо паралельні прямі АС і BD і січну АВ.

∠CAB і ∠ABD — внутрішні односторонні => ∠CAB + ∠ABD = 180°.

Позначимо ∠CAB — α, тоді ∠ABD = 180° - α, але ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD, 180° - α = 90° + ∠CBD, ∠CBD = 90° - α.

Із ΔDCB: ∠CDB = 90° - ∠CBD = 90° - (90° - α) = α. Отже, ΔАВС = ΔDCB за катетом і протилежним гострим кутом.