Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. П. Єршової - 2017 рік

Розділ І. Чотирикутники

§ 4. Види паралелограмів

Пояснення

Діагональ прямокутника ділить його на два прямокутні трикутники, катети яких є сторонами прямокутника, а гіпотенуза — діагоналлю прямокутника.

Відстані від точки перетину діагоналей до сторін прямокутника удвічі менші від відповідних їм сторін прямокутника.

У ромбі менша діагональ лежить проти гострого кута, більша — проти тупого. Менша діагональ ділить ромб на два гострокутні трикутники, більша — на два тупокутні.

У ромбі більша діагональ завжди більша за сторону ромба.

Якщо гострий кут ромба дорівнює 60°, то сторона ромба дорівнює його меншій діагоналі.

Якщо один кут паралелограма прямий, то паралелограм є прямокутником.

97. а) Прямокутник, квадрат, б) Ромб, квадрат.

98. а) АО; б) ВО; в) СО.

99 . а) 8 см; б) 5 см.

в) Прямокутник, квадрат.

г) Ромб, квадрат.

100. ΔАВО = ΔВСО = ΔСDО = ΔADO — прямокутні, рівнобедрені.

101. Діагональ прямокутника не може дорівнювати його стороні, тому що гіпотенуза завжди довша за його катети.

Діагональ ромба може дорівнювати його стороні, але тільки менша з діагоналей.

102. Прямокутник може бути ромбом, якщо всі його сторони рівні, тобто якщо він є квадратом.

103. a) ∠A = ∠B = 90°, але ABCD — не є прямокутником.

б) АС ⊥ BD, але ABCD — не ромб.

в) АС = BD, але ABCD — не прямокутник.

г) АС ⊥ BD, АС = BD, але ABCD — не квадрат.

104. АС ⊥ BD, АО = ОС, BO = OD.

a) AB = BC = CD = AD, ABCD — ромб.

б) ∠А = 80°, тому ∠С = ∠А = 80°, ∠В = ∠D = 180° - 80° = 100°.

в) ∠ADB = ∠CDB = ∠ABD = ∠CBD, ∠BAC = ∠DAC = ∠ВСА = ∠DCA.

105. ΔABD — даний, ∠А = 90°.

а) АВ = CD, ВС = AD, ABCD — прямокутник.

б) АС = BD.

в) С₁ є ВС. D₁ є AD, АВС₁D₁ — квадрат.

AB = BC₁ = C₁D₁ = AD₁.

106. P_ABCD = 2 ∙ (AB + BC) = 2 ∙ (P_ΔABC — AC) = 2 ∙ (36 - 15) = 42 (CM).

Відповідь: 42 CM.

107. Нехай одна сторона прямокутника дорівнює х см, тоді інша — 2х см. Маємо рівняння: 2(х + 2х) = 36; 3х = 18; х = 6.

1) 6 ∙ 2 = 12 (см).

Відповідь: 6 см, 12 см.

108. Нехай ABCD — даний прямокутник.

Розглянемо ΔАОВ. За властивістю діагоналей прямокутника: AO = ВО, тому ∠ABO = ∠BAO = 65°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠BOA = 180° - (∠ABO + ∠BAO) = 180° - (65° + 65°) = 180° - 130° = 50° — шуканий, тому що кутом між прямими вважається менший з утворених кутів.

Відповідь: 50°.

109. Нехай ABCD — даний прямокутник, Сі точка перетину його діагоналей, ∠AOB = 80°.

ΔАОВ — рівнобедрений (AO = OB) => ∠BAO = ∠ABO = (180° - ∠AOB): 2 = (180° - 80°) : 2 = 100° : 2 = 50°.

∠CAD = 90° - ∠OAB = 90° - 50° = 40°.

Відповідь: 50° і 40°.

110. Нехай ABCD — даний прямокутник, О — точка перетину його діагоналей. ∠COD = 60°, CD = 8 см.

Розглянемо ΔCOD (CO = OD за властивістю діагоналей прямокутника). Якщо ∠COD - 60°, то ΔCOD — рівносторонній, тому CO = OD = CD = 8 см. Отже, BD = 2 ∙ OD = 2 ∙ 8 = 16 см.

Відповідь: 16 см.

111. а) Якщо один з кутів ромба більший за інший, то йдеться про сусідні кути. Нехай один з них дорівнює х, тоді інший х + 120°. Маємо: х + х + 120° = 180°; 2х = 60°; х = 30°.

1) 30° + 120° = 150°.

Відповідь: 30°, 150°.

б) Нехай ABCD — даний ромб, АВ = АС.

ΔАВС — рівносторонній (АВ = ВС як сторони ромба, АВ = АС за умовою), тому ∠ABC = 180° : 3 = 60°, ∠DAB = 180° - ∠ABC = 120°.

Відповідь: 60°, 120°.

112. а) Якщо сума двох кутів ромба 220°, то йдеться про протилежні кути ромба. Оскільки протилежні кути ромба рівні, то маємо: 220° : 2 = 110°, а сусідній дорівнює 180° - 10° = 70°.

Відповідь: 70°, 110°.

б) Оскільки діагональ ромба є, його бісектрисою, то один з кутів, ромба дорівнює 25° ∙ 2 = 50°, а сусідній 180° - 50° = 130°.

Відповідь: 50°, 130°.

113. Нехай ABCD — даний квадрат, О — точка перетину його діагоналей.

ОМ — відстань від т. О до сторони квадрата (довжина перпендикуляра, який опущено з О на AD).

AD = P_ABCD : 4 = 40 м : 4 = 10 м.

ΔOMD — рівнобедрений (∠MDO = 45°, ∠OMD = 90° => ∠MOD = 45° => ОМ = MD). ОМ — висота рівнобедреного ΔAOD => ОМ — медіана => AM = MD = 10 : 2 = 5 м.

Відповідь: 5 м.

114. Відстань між протилежними сторонами квадрата — це довжина спільного перпендикуляра до цих сторін, а це і є довжина сторони цього квадрата. Отже, Р = 4 ∙ 5 = 20 см.

Відповідь: 20 см.

115. Якщо один з кутів паралелограма 90°, то і протилежний до нього теж 90°, а сусідній дорівнюй 180° - 90° = 90°. Отже, всі кути паралелограма по 90° => він є прямокутником.

116. Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то і всі його сторони рівні (за властивістю паралелограма його протилежні сторони рівні), а це означає, що він є ромбом.

117. Нехай ABCD — даний прямокутник, О — точка перетину його діагоналей. ОМ ⊥ AD, ОМ = 3 см, ON ⊥ CD, ON = 4 см.

ΔDMO = ΔВНО за гіпотенузою і гострим кутом => ОМ = ОН. МН = 2 ∙ 3 = 6 см, але МН ⊥ ВС, тому МН = АВ.

Аналогічно, AD = 2 ∙ ON = 2 ∙ 4 = 8 см.

Р_ABCD = 2(АВ + AD) = 2 ∙ (6 + 8) = 28 (см).

Відповідь: 28 см.

118. Нехай ABCD — даний прямокутник, AM — його бісектриса. М ∈ ВС, ВМ = МС.

∠ВАМ = ∠MAD (AM — бісектриса).

∠MAD = ∠АМВ (внутрішні різносторонні при паралельних AD і ВС) => ∠АМВ = ∠ВАМ => ΔАВМ — рівнобедрений =>

Р_ABCD = 2(АВ + ВС) = 2 ∙ (6 + 12) = 36 см.

Відповідь: 36 см.

119. Нехай з т. А кола проведені дві хорди AD і АВ, AD ⊥ АВ.

Проведемо ОМ ⊥ ВС, ON ⊥ АВ, за умовою ОМ = 3 см, ON = 5 см. BMON — прямокутник => ВМ = NO = 5 см, BN = MO = 3 см.

MO — висота рівнобедреного ΔBOC (BO = OC = R), тому вона є медіаною => М — середина ВС і ВС = 2 ∙ ВМ = 2 ∙ 5 = 10 см.

Аналогічно ON — висота ΔАОВ (AO = ОВ = R) => ON медіана AN = NB => АВ = 2 ∙ AN = 2 ∙ 3 = 6 см.

Відповідь: 10 см, 6 см.

120. а) Нехай ABCD — ромб, О — точка перетину його діагоналей. Позначимо ∠ВАС — х, тоді ∠ABD = 4х. Оскільки діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, то ΔАОВ — прямокутний. Отже, ∠ОАВ + ∠АBО = 90°.

Маємо: х + 4х = 90°; 5х = 90°; х = 18° — ∠ОАВ, 18° ∙ 4 = 72° — ∠АBО. Діагоналі ромба є його бісектрисами, тому ∠DAB = 2 ∙ ∠ОАВ = 2 ∙ 18° = 36°, ∠АВС = 2 ∙ ∠АBО = 2 ∙ 72° = 144°.

Відповідь: 36°, 144°.

б) Нехай ABCD — даний ромб, а ВН — його висота.

Позначимо ВН за а, тоді АВ = 2а. Розглянемо прямокутний ДАНВ. Оскільки в ньому катет в два рази менший за гіпотенузу, то кут, який лежить проти цього катета, дорівнює 30°.

Маємо ∠A = 30°, ∠D = 180° - 30° = 150°.

Відповідь: 30°, 150°.

121. а) Нехай ABCD — даний ромб, ВН — його висота.

За умовою ВН = АН. Оскільки ΔАНВ — прямокутний, то ∠HAB = ∠ABH = (180° - 90°) : 2 = 90° : 2 = 45°, ∠ABC = 180° - ∠HAB = 180° - 45° = 135°.

Відповідь: 45°, 135°.

б) Нехай ABCD — даний ромб, ВН — його висота.

За умовою AH = HD. За означенням ромба AВ = AD, тому АН = 1/2АВ, а це означає, що ∠ABH = 30°, тому ∠HAB = 90° - 30° = 60°. Маємо: ∠ABC = 180° - 60° = 120°.

Відповідь: 60°, 120°.

122. Нехай ABCD — даний паралелограм, ∠ABC = 120°, BD = 6 см. Оскільки ∠ABC = 120°, то ∠BAD = 180° - 120° = 60°. Маємо ΔBAD — рівнобедрений (АВ = AD) з кутом 60°, тому він рівносторонній, а це означає, що АВ = 6 см. Р_ABCD = 4 ∙ АВ = 4 ∙ 6 = 24 см.

Відповідь: 24 см.

123. Нехай ABCD — даний квадрат.

Оскільки діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом і точкою перетину діляться навпіл, то точка перетину діагоналей більшого квадрата співпадає з вершиною меншого. Отже, MD = 18 : 2 = 9 см — сторона меншого квадрата. P_MCND = 4 ∙ 9 = 36 см.

Відповідь: 36 см.

124. Нехай ABC — даний рівнобедрений прямокутний трикутник (∠B = 90°, АВ = ВС), a MNKL — квадрат зі стороною 2 см, вписаний в цей трикутник. Оскільки ΔАВС — рівнобедрений, то ∠A = ∠C = (180° - 90°) : 2 = 45°. Розглянемо ΔAMN: ∠A = 45°, ∠AMN = 90° => ∠ANM = 180° - (90° + 45°) = 45°, отже, ΔAMN теж рівнобедрений і AM = MN = 2 см. Аналогічно LC = LK = 2 см. Маємо АС = AM + ML + LC = 2 + 2 + 2 = 6 см.

Відповідь: 6 см.

125. Нехай ABC — даний рівнобедрений прямокутний трикутник (∠A = 90°, АВ = АС = 4 см). AEFD — квадрат, вписаний в цей трикутник. Оскільки ΔАВС — рівнобедрений і прямокутний, то ∠C = ∠B = (180° - 90°) : 2 = 45°.

Розглянемо ΔFCD: ∠C = 45°, ∠FDC = 90° => ∠DFC = 180° - (90° + 45°) = 45°. Отже, ΔFDC — рівнобедрений (DC = DF).

P_AEFD = 2(AD + FD) = 2(АD + DC) = 2 ∙ 4 = 8 см

Відповідь: 8 см.

126. Нехай ABCD — даний паралелограм, у якого АС ⊥ BD.

Позначимо О — точку перетину діагоналей і розглянемо ΔАОВ і ΔСОВ.

1. АО = ОС (за властивістю діагоналей паралелограма).

2. ВО — спільна.

3. ∠AOB = ∠COB = 90° (за умовою).

Отже, ΔАОВ = ΔСОВ і АВ = ВС. А якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то і всі його сторони рівні, тому ABCD — ромб.

127. Нехай ABCD — даний паралелограм, а АС — його бісектриса.

∠BAC = ∠DAC (АС — бісектриса), ∠DAC = ∠BCA (внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС і січній АС). Тому ∠BAC = ∠BCA, а це означає, що ΔABC — рівнобедрений (АВ = ВС).Оскільки в паралелограмі сусідні сторони рівні, то він є ромбом.

128. Нехай АС і BD — діаметри одного кола.

Розглянемо ΔВОС і ΔDOA:

1. BO = DO = R.

2. CO = AO = R.

3. ∠BOC = ∠DOA (вертикальні).

=> ΔВОС = ΔDOA за двома сторонами і кутом між ними => ВС = AD.

Аналогічно з рівності ΔВОА і ΔDOC випливає АВ = CD. Отже, ABCD — паралелограм. Але BD = АС = 2R. Якщо діагоналі паралелограма рівні, то він є прямокутником.

129. Нехай ABCD — даний прямокутник, O — середина його діагоналі АС, ОМ ⊥ АС, ВМ : МС = 1 : 2.

Проведемо відрізок AM і розглянемо ΔАОМ i ΔСОМ:

1. ∠AOM = ∠COM = 90°.

2. АО = ОС (О — середина АС).

3. МО — спільна.

=> ΔАОМ = ΔСОМ за двом катетами => МС = AM.

Розглянемо ΔАВМ: (∠B = 90°, AM : ВМ = 2 : 1) => ∠BAM = 30° і ∠AMB = 90° - 30° = 60°. Але ∠BMA є зовнішнім при вершині М рівнобедреного ΔАМС. Отже, ∠MCA = ∠MAC = 60° : 2 = 30°. A ∠ACD= 90° - ∠MCA = 90° - 30° = 60°.

Відповідь: 30°, 60°.

130. Нехай ABCD — даний прямокутник, О — точка перетину його діагоналей. ON ⊥ АС, N ∈ ВС. За умовою ∠COD = ∠ONC. Позначимо ∠COD через а, тоді з рівнобедреного ΔCOD (CO = OD) маємо

Розглянемо прямокутний ΔNOC: ∠ONC = α, ∠NOC = 90° => ∠NCO = 90° - α. Отже,

Відповідь: 60°.

131. 1. Нехай ABCD — даний ромб, a ВН₁, ВН₂ і DH₃ — його висоти.

Розглянемо ΔАН₁В, ΔСН₂В і ΔCH₃D.

1. ∠AH₁B = ∠CH₂B = ∠CH₃D = 90°.

2. ∠A = ∠C як протилежні кути ромба.

3. АВ = ВС = DC як сторони ромба.

=> ΔAH₁B = ΔCH₂B = ΔСН₃D => ВН₁ = ВН₂ = DH₃.

2. Обернене твердження: Якщо в чотирикутнику всі висоти рівні, то він є ромбом.

Нехай ABCD — даний чотирикутник, DH1, DH2, ВН3, ВН₄ — його висоти і DH₁ = DH₂ = BH₃ = ВН4.

Розглянемо ΔВН₄С і ΔDH₂C:

1. DH₂ = ВН₄ за умовою.

2. ∠DH₂C = ∠BH₄C = 90°.

3. ∠C — спільний

=> ΔВН₄С = ΔDH₂C за катетом і протилежним гострим кутом => ВС = DC => ABCD — рівнобедрений і ∠DBC = ∠BCD.

Аналогічно ΔВH₃А = ΔDH₁A => АВ = AD і ∠ABD = ∠ADB. Маємо чотирикутник з рівними сторонами і рівними протилежними кутами, отже, ABCD — ромб.

132. Нехай ABCD — даний ромб. О — точка перетину його діагоналей. OK ⊥ ВС, ON ⊥ АВ, ОМ ⊥ AD, OP ⊥ DC.

Розглянемо ΔОКС і ΔОМА:

1. ∠OKC = ∠OMA = 90°.

2. ОС = ОА (за властивістю діагоналей ромба).

3. ∠KCO = ∠MAO (діагоналі є бісектрисами).

=> ΔОКС = ΔОМА => ОК = ОМ.

Аналогічно з того, що ΔONA = ΔОРС => ON = OP. Отже, діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, тому MNKP — паралелограм, але МК = NP (як висоти ромба). Отже, MNKP — паралелограм з рівними діагоналями, тому MNKP — прямокутник.

133. Нехай ABCD — даний чотирикутник, а АС і BD — бісектриси його кутів. О — точка перетину діагоналей.

Розглянемо ΔАВС і ΔАDС:

1. АС — спільна.

2. ∠BAC = ∠DAC (АС — бісектриса).

3. ∠BCA = ∠DCA (СА — бісектриса).

=> ΔАВС = ΔАDС => АВ = AD і ВС = CD.

Аналогічно з того що ΔBAD = ΔBCD випливає, що АВ = ВС, AD = CD. Отже, АВ = ВС = CD = AD => ABCD — ромб.

134. Нехай ABCD — даний паралелограм, AM, СК, DN, BP — його бісектриси.

∠BCP = ∠CPD (внутрішні різносторонні), a ∠BCP = ∠NAD (як половини протилежних кутів паралелограма).

Отже, ∠CPD = ∠NAD, а вони є відповідними при прямих NA і СР => NA || CP => NM || КР.

Аналогічно доводимо, що МР || NK, тому MNKP — паралелограм. ∠A + ∠B = 180° (внутрішні односторонні) => ∠BMA = 90° => ∠NMP = 90° (вертикальні). Маємо: MNKP — паралелограм, у якого є прямий кут => MNKP — прямокутник.

135. Нехай ABCD — даний прямокутник, АЕ, BE, СК, DK — бісектриси його кутів.

З ΔВЕА маємо ∠BEA = 180° - (45° + 45°) = 90°. ∠FEP = ∠BEA = 90° (вертикальні). Аналогічно ∠EFK = ∠FKP = ∠KPE = ∠FEP = 90°. Отже, EFKP — прямокутник.

ΔBEX = ΔCKY за двома катетами => ЕХ = KY. ΔXFY — рівнобедрений (∠FXY = ∠FYX = 45°) => XF = YF => EF = KF. Маємо EFKP — прямокутник, у якого сусідні сторони рівні, отже, EFKP — квадрат.

136. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС), DE || АС, D ∈ АВ, Е ∈ ВС.

а) Оскільки DE || АС, то ∠BED = ∠BCA — відповідні, отже, ΔDBE — рівнобедрений і DB = BE.

Розглянемо ΔАЕВ і ΔCDB:

1. BE = BD доведено вище.

2. АВ = ВС за умовою.

3. ∠B — спільний.

=> ΔАЕВ = ΔCDB за двома сторонами і кутом між ними => АЕ = CD.

б) Якщо ∠B = 80°, то ∠BAC = ∠BCA = (180° - 80°) : 2 = 100° : 2 = 50°, ∠DEC = 180° - ∠ACE = 180° - 50° = 130° (внутрішні односторонні).

Відповідь: 50°, 130°, 130°, 50°.

137. Див. рис.: ВС || AD, АВ = CD, але ABCD не є паралелограмом.

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 1

1. Нехай ABCD — даний паралелограм. ВН — висота, що проведена з вершини тупого кута.

За умовою: ∠HBC - ∠ABH = 20°. Маємо: ∠HBC = ∠BHD = 90° => ∠ABH = 90° - 20° = 70°.

∠BAH = 90° - ∠ABH = 90° - 70° = 20°.

∠ABC = ∠ABH + ∠HBC = 70° + 90° = 160°.

Відповідь: 160°; 20°.

2. Оскільки за умовою сума довжин двох сторін паралелограма не дорівнює половині його периметра, то йдеться про протилежні сторони, а у паралелограма вони рівні. Маємо: а = 48 : 2 = 24 (см); b = Р : 2 - а = 88 : 2 - 24 = 20 (см).

Відповідь: 24 см і 20 см.

3. Розглянемо ΔАМВ і ΔDNC:

1. AM = DN — за умовою.

2. MB = NC — за умовою.

3. ∠AMB = ∠DNC — як суміжні з рівними кутами.

=> ΔАМВ = ΔDNC за двома сторонами і кутом між ними => АВ = DC і ∠MAB = ∠NDC як відповідні елементи рівних трикутників => АВ || CD. Оскільки в чотирикутнику ABCD протилежні сторони паралельні і рівні, то ABCD — паралелограм.

4. Нехай ABCD — даний паралелограм, AN — його бісектриса. За умовою: ∠ANB : ∠ANC = 1 : 3. Позначимо ∠BAN через α, тоді ∠NAD = α (AN — бісектриса). ∠BNA = ∠NAD = α (внутрішні різносторонні); a ∠ANC = 3α. Маємо: ∠BNA + ∠ANC = 180°; α + 3α = 180°; 4α = 180°; α = 45°.

Отже, ∠BAD = 2α = 2 ∙ 45° = 90°. Оскільки ABCD паралелограм, у якого є прямий кут, то ABCD — прямокутник.

5. Нехай ABCD — даний ромб. О — точка перетину його діагоналей.

За умовою ∠ОАВ = ∠ОВА. Розглянемо ΔАОВ: ∠AОВ = 90° за властивістю діагоналей ромба, тому ∠ОАВ = ∠ОВА = 90° : 2 = 45°, а в ромбі діагоналі є бісектрисами його кутів, тому ∠А = ∠В = 2 ∙ 45° = 90°, і ABCD — квадрат.

6. Нехай ABCD — даний прямокутник. О — точка перетину його діагоналей. OK ⊥ АС (ОК — серединний перпендикуляр до діагоналі АС).

ВК = АВ за умовою.

Розглянемо ΔАВК: АВ = ВК => ∠ВАК = ∠ВКА = 90° : 2 = 45°. ΔАКС — рівнобедрений, оскільки КО — висота і медіана одночасно => АК = КС і ∠КАС = ∠КСА = 45° : 2 = 22,5° (за теоремою про зовнішній кут трикутника). А кут між діагоналями (∠COD) завжди у 2 рази більший за менший з кутів ΔАВС. Отже, ∠COD = 2 ∙ 22,5° = 45°.

Відповідь: 45°.