АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 56

Тема. Логарифмічна функція, її графік і властивості

Мета уроку. Ознайомити учнів з логарифмічною функцією, її властивостями і графіком.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Три учні відтворюють розв'язування вправ № 13, 15, 20.

2. Розв'язування вправ, аналогічних домашнім.

а) Обчисліть: ; .

Розв'язання

=====·=.

====·= 5.

б) Обчисліть .

Розв'язання

==== 52 · 3-2 = 25 ·  =  = .

II. Аналіз самостійної роботи, проведеної на попередньо­му уроці

III. Засвоєння властивостей логарифмічної функції та її графіка

Функція виду у =  loga x, де а — задане число, а > 0, а ≠ 1 нази­вається логарифмічною функцією.

Логарифмічна функція має такі властивості:

1)  Область визначення функції — множина всіх додатних чисел. Ця властивість випливає із означення логарифма, оскільки вираз loga х має смисл тільки при х > 0.

2)  Область значень логарифмічної функції — множина R усіх дійсних чисел. Ця властивість випливає з того, що для будь-якого дійсного числа b є таке додатне число х, що loga x = b, тобто рівняння loga x = b має єдиний корінь. Такий корінь існує і дорівнює х = аb, оскільки loga аb = b.

3)  Логарифмічна функція на всій області визначення зростає (при а > 1) або спадає (при 0 < а < 1). Нехай а > 1. Доведемо, що якщо x2 > х1 > 0, то 

loga х2 > loga x1. Користуючись основною логарифмічною то­тожністю, умовою x2 > х1, можна записати . З останньої нерівності за властивістю степеня з основою а > 1 маємо, що loga х2 > loga x1.

Нехай 0 < а < 1. Доведемо, що якщо x2 > х1 > 0, то loga х2 < loga x1. Записавши умову x2 > х1 у вигляді  одержуємо loga х2 < loga x1, оскільки 0 < а < 1.

4)  Якщо а > 1, то функція у = loga x приймає додатні значення при х > 1, від'ємні — при 0 < х < 1. Якщо 0 < а < 1, то функція у = loga x приймає додатні значен­ня при 0 < х < 1, від'ємні — при х > 1.

Ця властивість випливає з того, що функція у = loga x при­ймає значення, рівне нулю, при х = 1 і є зростаючою на про­міжку х > 0, якщо а > 1, і спадною, якщо 0 < а < 1. Спира­ючись на доведені властивості, неважко побудувати графік функції у = loga x (рис. 163).

Рис. 163

Графіки показникової функції і логарифмічної функції, які мають однакові основи, симетричні відносно прямої у = х (рис. 164), бо функції у = 0х і у = loga x є взаємнооберненими.

IV. Осмислення властивостей логарифмічної функції

1. Усне виконання вправ № 37—39, 40.

2. Письмове виконання вправ № 46, 50.

Рис. 164

V. Систематизація вивченого матеріалу

Повторення властивостей логарифмічної функції і заповнення таблиці 23.

Таблиця 23

VI. Підведення підсумків уроку

VII. Домашнє завдання

Розділ V § 2. Запитання і завдання для повторення до розділу V № 15—25. Вправи № 44, 49.