Геометрія 10 клас профільний рівень : збірник задач і контрольних робіт до підручника А.Γ. Мерзляк - 2018

ВПРАВИ

Варіант 3

Перпендикулярність прямої та площини

72. Пряма СМ перпендикулярна до площини прямокутника ABCD (рис.98). Знайдіть відрізок СМ, якщо АВ = 3 см, AD = 4 см, AM = 13 см.

Рис. 98

73. Пряма АО перпендикулярна до площини кола із центром О. Точка В лежить на колі. Знайдіть відрізок ОА, якщо радіус кола дорівнює 6 см, ΑΒΟ = 45°.

74. Через вершину В рівнобедреного трикутника ABC (АВ = ВС) провели пряму MB, перпендикулярну до його площини (рис. 99). Точку М сполучили зі серединою F сторони АС. Знайдіть відрізок MF, якщо MB = 8 см, BMC = 60°, ACB = 30°.

Рис. 99

75. Сторона квадрата ABCD дорівнює 6 см. Через точку О перетину діагоналей квадрата проведено пряму SO, перпендикулярну до його площини. Знайдіть відрізок SO, якщо SAO = 60°.

76. Через вершину С прямокутника ABCD проведено пряму МС, перпендикулярну до прямих ВС і АС. Доведіть, що МС CD.

77. На рисунку 100 зображено квадрат ABCD, МС ВС. Укажіть пряму і площину, які є перпендикулярними.

Рис. 100

78. На рисунку 101 зображено куб ABCDA₁B1C₁D₁ Доведіть, що чотирикутник АA₁С₁С — прямокутник.

Рис. 101

79. Точка М лежить поза площиною прямокутника ABCD, МА = MB = МС = MD , О — точка перетину діагоналей прямокутника. Доведіть, що пряма МО перпендикулярна до площини ABC.

80. Пряма KА перпендикулярна до площини прямокутника ABCD. Відомо, щоcm, AD = 15 см, ABK = 30°. Знайдіть відрізок KС.

81. Через точки А і В, що не належать площині α, проведено прямі, які перпендикулярні до цієї площини та перетинають її в точках А₁ і В₁ відповідно. Доведіть, що коли відрізки АА₁ і ВВ₁ рівні, то чотирикутник АА₁В₁В є прямокутником.

82. Через вершину В квадрата ABCD проведено пряму ВМ, перпендикулярну до площини ABC. Через центр О квадрата проведено пряму N0, паралельну прямій ВМ. Знайдіть відстань від точки N до вершин квадрата, якщо NO = 3 см.

83. У трикутнику ABC відомо, що АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см, точка D — середина сторони АС, точка Е — середина сторони АВ, точка F — середина сторони ВС. Пряма PDперпендикулярна до площини ABC, Знайдіть кут між прямими EF і PC.