Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

22. Основні співвідношення І між тригонометричними функціями Р одного й того самого аргументу

У цьому пункті встановимо тотожності, які пов’язують значення тригонометричних функцій одного й того самого аргументу.

Координати будь-якої точки Р (х; у) одиничного кола задовольняють рівняння х² + у² = 1. Оскільки х = cos а, у = sin а, де а — кут повороту, у результаті якого з точки Р₀(1; 0) було отримано точку Р, то

sin² а + cos² а = 1     (1)

Звернемо увагу на те, що точку Р вибрано довільно, тому тотожність (1) справедлива для будь-якого а. Її називають основною тригонометричною тотожністю.

Використовуючи основну тригонометричну тотожність, знайдемо залежності між тангенсом і косинусом, а також між котангенсом і синусом.

Припустивши, що cos а ≠ 0, поділимо обидві частини рівності (1) на cos² а. Отримаємо:

Звідси

Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких cos а ≠ 0, тобто при а ≠ + k, k ∈ ℤ.

Припустивши, що sin а ≠ 0, поділимо обидві частини рівності (1) на sin² а. Отримаємо:

Звідси

Це тотожність є правильною для всіх а, при яких sin а ≠ 0, тобто при а ≠ k, k ∈ ℤ.

Зв’язок між тангенсом і котангенсом можна встановити за допомогою рівностей

Звідси tg а ∙ ctg а = 1

Це тотожність є правильною для всіх а, при яких sin а ≠ 0 і cos а ≠ 0, тобто при а ≠ k і а ≠ + k, k ∈ ℤ. Зазначимо, що ці два обмеження для а можна об’єднати в одне: а ≠ , k ∈ ℤ.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть cos a, tg a, ctg а, якщо sin а = - і < а < .

Розв’язання. Маємо:

Оскільки < а < , то cosa < 0; отже,

ПРИКЛАД 2 Спростіть вираз якщо < а < 2.

Розв’язання.

Оскільки < а < 2, то sin а < 0, cos а > 0, тому sin а - cos а < 0.

Отже, | sin а - cos а | = cos а - sin а.

Відповідь: cos а- sin а.

?

1. Яку рівність називають основною тригонометричною тотожністю?

2. Яка тотожність пов'язуєтангенс і косинус одного й того самого аргументу? Для яких значень аргументу ця тотожність є правильною?

3. Яка тотожність пов'язує котангенс і синус одного й того самого аргументу? Для яких значень аргументу ця тотожність є правильною?

4. Яка тотожність пов'язує тангенс і котангенс одного й того самого аргументу? Для яких значень аргументу ця тотожність є правильною?

ВПРАВИ

22.1. Спростіть вираз:

22.2. Спростіть вираз:

1) (1 + ctg β)² + (1 - ctg β)²; 2) sin² a cos² а (tg²a + ctg²a + 2);

22.3. Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо:

22.4. Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо:

22.5. Доведіть тотожність:

22.6. Доведіть тотожність:

22.7. Доведіть тотожність:

1) sin⁴ а + cos⁴ а - sin⁶ а - cos⁶ а = sin² а cos² а;

2) sin⁶ а + cos⁶ а + 3 sin² а cos² а = 1.

22.8. Доведіть тотожність 2 (sin⁶ а + cos⁶ а) - 3 (sin⁴ а + cos⁴ а) = -1.

22.9. Знайдіть значення виразу:

22.10. Знайдіть значення виразу:

22.11. Спростіть вираз:

22.12. Спростіть вираз:

22.13. Дано: sin а + cos а = b. Знайдіть значення виразу:

1) sin a cos а; 2) sin³ а + cos³ а; 3) sin⁶ а + cos⁶ а.

22.14. Дано: tg а + ctg а = b. Знайдіть значення виразу:

1) tg²a + ctg²a; 2) tg³a + ctg³a; 3) (cosa + sin a)².

22.15. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:

22.16. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:

22.17. Побудуйте графік функції:

22.18. Побудуйте графік функції

22.19. Знайдіть найбільше значення функції f (х) = sin¹⁴ х + cos¹⁴ х.

22.20. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f (х) = sin¹⁰ х + cos¹³ х.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

22.21. Знайдіть нулі функції:

22.22. Обчисліть значення виразу: