Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

23. Формули додавання

Формулами додавання називають формули, які виражають cos (а ± β), sin (а ± β) і tg(a ± (3) через тригонометричні функції кутів а і β.

Доведемо, що

cos (а - β) = cos a cos β + sin a sin .

Нехай точки P₁ і Р₂ отримано в результаті повороту точки Р₀(1; 0) на кути а і β відповідно.

Розглянемо випадок, коли 0 ≤ a - β ≤ . Тоді кут між векторами дорівнює а - β (рис. 23.1). Координати точок Р₁ і Р₂ дорівнюють відповідно (cos a; sin a) і (cos β; sin β). Отже, вектор має координати (cos a; sin a), а вектор — (cos β; sin β).

Виразимо скалярний добуток векторів через їхні координати:

Водночас за означенням скалярного добутку векторів можна записати:

Рис. 23.1

Звідси отримуємо формулу, яку називають косинусом різниці:

cos (а - β) = cos а cos β + sin а sin β     (1)

Покажемо, що доведення не зміниться при будь-якому виборі кутів а і β, зокрема, коли (а - β) ∉ [0; ].

Кути поворотів а і β для точок Р₁ і Р₂ відповідно можна подати такому вигляді:

a = a₁ + 2 k, k ∈ ℤ, ∈ [0; 2];

β = β₁ + 2 n, n ∈ ℤ, β₁ є [0; 2].

Тоді кут між векторами

набуває одного із чотирьох значень: a₁ - β₁ (рис. 23.2); β₁ - a₁ (рис. 23.3); 2 - (a₁ - β₁) (рис. 23.4); 2 - (β₁ - a₁) (рис. 23.5).

Рис. 23.2

Рис. 23.3

Рис. 23.4

Рис. 23.5

У кожному із чотирьох випадків косинус кута між векторами дорівнює cos (а - β). Далі залишається тільки повтори ти наведені вище міркування для випадку, коли (а - β) є [0; ]. Доведемо формулу косинуса суми:

cos (а + β) = cos а cos β - sin а sin β

Маємо: cos (а + β) = cos (а - (-β)) = cos а cos (-β) + sin а sin (-β) = = cos а cos β - sin а sin β.

Доведемо формули синуса суми й синуса різниці:

sin (а + β) = sin а cos β + cos а sin β

sin (а - β) = sin а cos β - cos а sin β

За допомогою формули (1) доведемо, що

Справді,

Тепер доведемо, що

Маємо:

Тоді

Формули тангенса суми й тангенса різниці мають вигляд:

(2)

(3)

Доведемо формулу (2). Маємо:

Припустивши, що cos a cos β ≠ 0, отриманий дріб можна переписати так:

Формулу тангенса різниці (3) доведіть самостійно.

Тотожність (2) справедлива для всіх а і β, при яких cos (а + β) ≠ 0, cos а ≠ 0, cos β ≠ 0.

Тотожність (3) справедлива для всіх а і β, при яких cos (а - β) ≠ 0, cos а ≠ 0, cos β ≠ 0.

ПРИКЛАД 1 Знайдіть cos 15°.

Розв’язання. Маємо:

ПРИКЛАД 2 Знайдіть найбільше і найменше значення виразу

Розв’язання. Подамо даний вираз у вигляді синуса суми. Для цього помножимо та поділимо даний вираз на 2:

Ураховуючи, що отримуємо:

Отже, найбільше значення даного виразу дорівнює 2 (вираз набуває його при sin (30° + а) = 1), найменше значення дорівнює -2 (вираз набуває його при sin (30° + а) = -1).

Які формули називають формулами додавання? Запишіть їх.

ВПРАВИ

23.1. Спростіть вираз:

23.2. Спростіть вираз:

23.3. Спростіть вираз:

23.4. Спростіть вираз:

23.5.° Доведіть тотожність:

23.6. Доведіть тотожність:

23.7 Дано: sin а = , 90°< а <180°. Знайдіть sin (а + 45°).

23.8. Дано: cos а = -0,6, 180° < а < 270°. Знайдіть cos (60° - а).

23.9. Знайдіть cos (а + β), якщо

23.10. Знайдіть sin (а - β), якщо

23.11. Дано: Знайдіть tg (а + β).

23.12. Відомо, що tg а = . Знайдіть tg (45° + a).

23.13. Доведіть тотожність:

23.14. Доведіть тотожність

23.15. Спростіть вираз:

23.16. Спростіть вираз:

1) cos 2а + sin 2а tga; 2) cos 4а - sin 4а ctg 2а.

23.17. Користуючись формулами додавання, знайдіть:

1) sin 15°; 2) sin 105°; 3) ctg 105°.

23.18. Користуючись формулами додавання, знайдіть:

1) cos 75°;  2) sin 75°.

23.19. Спростіть вираз:

23.20. Спростіть вираз:

23.21. Доведіть тотожність:

23.22. Доведіть тотожність:

1) cos (a + β) cos (a - β) = cos² a - sin²β;

2) tg (a + β) - (tg a + tg β) - tg (a + β) tg a tg β = 0.

23.23. Знайдіть найбільше значення виразу:

23.24. Знайдіть найбільше значення виразу:

23.25. Дано: Знайдіть sin a.

23.26. Дано: Знайдіть sin a.

23.27. Дано: cos(5° + а) = 0,6, 0°< а < 55°. Знайдіть tg(35° + a).

23.28. Дано: sin(40° + a) = b, 0° < a < 45°. Знайдіть cos (70° + a).

23.29. Дано: Знайдіть a - β.

23.30. Дано: 0° < a < 90°, 0° < β < 90°. Знайдіть a + β.

23.31. Дано: 0° < a < 90°, 0° < β < 90°. Знайдіть a + β.

23.32. Побудуйте графік функції:

3.33. Побудуйте графік функції:

23.34. Доведіть, що коли а, β, γ — кути непрямокутного трикутника, то tg a + tg β + tg γ = tg a tg β tg γ.

23.35. Доведіть, що коли a, β, γ — кути трикутника, то

23.36. Доведіть нерівність sin (a + β) < cos a + cos β, де

23.37. Доведіть нерівність cos (a - β) < cos a + sin β, де

23.38. Доведіть нерівність де a, β, γ — кути трикутника.

23.39. Доведіть нерівність де а, β, γ — кути трикутника.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

23.40. Спростіть вираз

23.41. Номери квартир під’їзду будинку є послідовними числами від 41 до 80. Яка ймовірність того, що номер навмання вибраної квартири є числом:

1) парним; 3) цифри якого однакові?

2) кратним 5;