Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

37. Правила обчислення похідних

Знайдемо, користуючись означенням, похідну функції f(х) = х² + х у точці х₀ ∈ ℝ.

3) якщо ∆х 0, то значення виразу 2х₀ + ∆х + 1 прямують до числа 2х₀ + 1. Отже, при будь-якому х₀ ∈ ℝ

Оскільки х₀ — довільна точка області визначення функції f(х) = x² + х, то для будь-якого х ∈ ℝ. виконується рівність f' (х) = 2х + 1, тобто

(х² + х)' = 2х + 1.

З попереднього пункту вам відомо, що (х²) = 2х і (х)' = 1. Таким чином, отримуємо:

(х² +х)' = (х²) + (х)'.

Отже, похідну функції f(х) = х² + х можна було знайти як суму похідних функцій у = x² і у = x.

Справедливою є така теорема¹.

Теорема 37.1 (похідна суми). У тих точках, у яких є диференційовними функції y = f(x) і y = g(x), також є диференційовною функція у = f(x) + g(x), причому для всіх таких точок виконується рівність

(f(x) + g(x))' = r(x) + g'(x).

Коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.

¹ Умовами теорем 37.1-37.4 передбачено таке: якщо функції f i g є диференційовними в точці х₀, то відповідно функції у = f(x) + g(x), y = f(x) g(x), та у = f(g(x)) визначені на деякому проміжку, що містить точку х₀.

Використовують і такий спрощений запис:

(f + g)' = f' + g'

Доведення. Нехай х₀ — довільна точка, у якій функції f i g є диференційовними. Знайдемо приріст функції у = f (х) + g(х) у точці х₀. Маємо:

∆y = f(x₀ + ∆х) + g(x₀ + ∆х) - f(х₀) - g(x₀) =

= (f(х₀ + ∆х) - f(х₀)) + (g(x₀ + ∆х) - g(х₀)) - ∆f + ∆g.

Запишемо:

Оскільки функції f і g є диференційовними у точці х₀, то існують границі

Звідси отримуємо:

Отже, функція у = f(x) + g(x) є диференційовною в точці х₀, причому її похідна в цій точці дорівнює f' (х₀) + g' (х₀).

Теорему 37.1 можна узагальнити для будь-якої скінченної кількості доданків:

(f₁ + f₂ + … + f_n)' = f₁' + f₂'+… + f_n'.

Дві теореми, наведені нижче, також спрощують знаходження похідної.

Теорема 37.2 (похідна добутку). У тих точках, у яких є диференційовними функції у = f(x) і у = g (х), також є диференційовною функція у = f(х) g (х), причому для всіх таких точок виконується рівність

(f (х) g (х)У = f' (x) g (x) + g' (x) f (x).

Використовують і такий спрощений запис:

(fg)' = f'g + g'f

Доведення. Нехай х₀ — довільна точка, у якій функції f i g є диференційовними. Знайдемо приріст функції у = f(х) g (х) у точці х₀. Ураховуючи рівності f(х₀ + ∆х) =f(х₀) + ∆f, g (х₀ + ∆х) = g (х₀) + -∆g, маємо:

∆у = f (х₀ + ∆х) g (х₀ + ∆х) - f (х₀) g (х₀) =

= (f(x₀) + ∆f)(g (х₀) + ∆g) - f(х₀) g (х₀) =

= f(x₀) g (х₀) + ∆f ∙ g (х₀) + ∆g ∙ f (x₀) + ∆f ∙ ∆g - f (x₀) g(x₀) =

= ∆f ∙ g (x₀) + ∆g ∙ f (x₀) + ∆f ∙ ∆g.

Запишемо:

Оскільки функції f і g є диференційовними в точці х₀, то існують границі

Тепер можна записати:

Таким чином, функція y = f(x) g(x) є диференційовною в точці х₀, причому її похідна в цій точці дорівнює

f'(x₀) g(x₀) + g'(x₀) f(x₀).

Наслідок 1. У тих точках, у яких є диференційовною функція у = f(x), також є диференційовною функція у = kf(x), де k — деяке число, причому для всіх таких точок виконується рівність

(kf(x))' = kf'(x).

Коротко говорять: постійний множник можна виносити за знак похідної.

Використовують і такий спрощений запис:

(kf)' = kf'

Доведення. Оскільки функція у = k диференційовна в будь-якій точці, то, застосовуючи теорему про похідну добутку, можна записати:

(kf (х))' = (k)' f (х) + kf' (х) = 0 ∙ f (х) + kf' (х) = kf' (х).

Наслідок 2. У тих точках, у яких є диференційовними функції y = f(x) і y = g(x), також є диференційовною функція у = f(x) - g(x), причому для всіх таких точок виконується рівність

(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x).

Доведення. Маємо:

(f (х) - g (х))' = (f (х) + (-1) ∙ g (х))' = (f (х))' + ((-1) g (х))' =

= f'(x) + (-1) - g'(x) = f'(x) - g'(x).

Теорема 37.3 (похідна частки). У тих точках, у яких функції у = f(x) і у = g (х) є диференційовними та значення функції g не дорівнює нулю, функція також є диференційовною, причому для всіх таких точок виконується рівність

Використовують і такий спрощений запис:

ПРИКЛАД 1 Знайдіть похідну функції:

Розв’язання. 1) Користуючись теоремою про похідну суми та наслідками з теореми про похідну добутку, отримуємо:

2) Маємо: у' = (х³cos х) = (х³) ∙ cos х + (cos х)' ∙ х³ =

= 3х²cos х - sin х ∙ х³ = 3х² cos х - х³sin х.

3) За теоремою про похідну добутку отримуємо:

Використовуючи теорему про похідну частки, легко довести, що

Справді,

Формулу доведіть самостійно.

Розглянемо функції f(t) = 2t - 1 і g (х) = х² + х + 1. Значення однієї функції можуть слугувати значеннями аргументу другої функції. Наприклад, f(g (х)) = 2g (х) - 1 = 2 (х² + х + 1) - 1 = 2х² + + 2х + 1. Отже, можна говорити, що формула у = 2х² + 2х + 1 задає функцію y = f(g (х)).

Якщо для будь-якого х є М усі значення функції t = g (х) є значеннями аргументу функції у = f(t), то говорять, що задано складену функцію у = f(g (х)) з областю визначення М.

Розглянемо ще кілька прикладів.

Якщо f(u) = sin и, dig (x) = 1 - 3х, то складена функція у = f(g (x)) задається формулою у = sin (1 - 3х). Функцію у = cos² х можна розглядати як складену функцію у = f (g (х)), де f(х) = х², g (х) = cos х.

Знаходити похідну складеної функції можна за допомогою такої теореми.

Теорема 37.4 (похідна складеної функції) Якщо функція t = g (х) диференційовна в точці х₀, а функція у = f(t) диференційовна в точці t₀, де t₀ = g (х₀), то складена функція h (х) = f(g(х)) є диференційовною в точці х₀, причому

h'(x₀) = r(t₀) - g'(x₀)

ПРИКЛАД 2 Знайдіть значення похідної функції в точці х₀:

Розв’язання. 1) Дана функція у = (3х - 7)⁶ є складеною функцією у = f(g (х)), де f(t) = t⁶, g(x) = 3х - 7. Оскільки f'(t) = 6t⁵, a g' (x) = 3, то за теоремою про похідну складеної функції можна записати:

у'(х) = f'(t) g'(x) = 6t⁵ ∙ 3 при t = 3х - 7,

тобто

у' (х) = 6 (Зх-7)⁵ - 3 = 18 (3х-7)⁵; у' (2) = 18 ∙ (3 ∙ 2 - 7)⁵ =-18.

Розв’язання цієї задачі можна оформити й так:

у' = ((3х - 7)⁶)'= 6 (3х - 7)⁵ ∙ (3х - 7)' = 6 (3х - 7)⁵ ∙ 3 = 18 (3х - 7)⁵;

y' (2) = -18.

Відповідь: 1) -18; 2) 0; 3) 0; 4) 180.

Сформулюйте теореми, які виражають правила обчислення похідних.

ВПРАВИ

37.1. Знайдіть похідну функції:

37.2. Знайдіть похідну функції:

37.3. Знайдіть похідну функції:

37.4. Знайдіть похідну функції:

37.5. Знайдіть похідну функції:

37.6. Знайдіть похідну функції:

37.7. Чому дорівнює значення похідної функції f у точці х₀, якщо:

37.8. Обчисліть значення похідної функції f у точці х₀:

37.9. Задайте за допомогою формул складені функції y = f(g(x)) і y = якщо:

37.10. Задайте за допомогою формул складені функції y = f(g(x)) і y = якщо:

37.11. Чи можуть дві різні функції мати рівні похідні? Відповідь проілюструйте прикладами.

37.12. Знайдіть похідну функції:

37.13. Знайдіть похідну функції:

37.14. Знайдіть похідну функції:

37.15. Знайдіть похідну функції:

37.16. Знайдіть похідну функції:

37.17. Обчисліть:

37. 18. Для знаходження похідної функції у = sin 2х учень застосовує такий алгоритм:

1) робить заміну 2х = t і отримує функцію у = sin t;

2) далі пише: у' = (sin t)' = cos t;

3) потім підставляє значення 2х = t і робить висновок, що (sin 2х)' = cos 2х.

У чому полягає помилка цього учня?

37.19. Тіло рухається по координатній прямій за законом (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть швидкість руху тіла в момент часу t₀ = 5 с.

37.20. Матеріальна точка рухається по координатній прямій за законом s (t) = (t + 2)² (t + 5) (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть її швидкість руху в момент часу t0 3= с.

37.21. Матеріальна точка масою 4 кг рухається по координатній прямій за законом s(t) = t² + 4 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть імпульс р (t) = mv (t) матеріальної точки в момент часу t₀ = 2 с.

37.22. Тіло масою 2 кг рухається по координатній прямій за законом s(t) = 3t² - 4t + 2 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Знайдіть кінетичну енергію тіла в момент часу t₀ = 4 с.

37.23. Тіло рухається по координатній прямій за законом s(t) = 2t² - 8t + 15 (переміщення вимірюють у метрах, час — у секундах). Визначте координату тіла в момент часу, коли його кінетична енергія дорівнює нулю.

37.24. Знайдіть у точках х1 = -1 і х₂ = 2 похідну функції:

1) f(х) = х² - 4 І х І + 3;

2) f(х) = | х² - 4х + 3 |.

37.25. Знайдіть у точках х1 = -2 і х₂ = 2 похідну функції:

1) f(х) = х² - 6 | х | + 5;

2) f(х) = | х² - 6х + 5 |.

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

37.26. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку А (1; -4) і паралельна прямій у = 3х.

37.27. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку X (-2; 1) та утворює з додатним напрямом осі абсцис кут:

1) а = 45°; 2) а = 60°; 3) a = 30°.