Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ

38. Рівняння дотичної

Нехай функція f є диференційовною в точці х₀. Тоді до графіка функції f у точці з абсцисою х₀ можна провести невертикальну дотичну (рис. 38.1).

Із курсу геометрії 9 класу ви знаєте, що рівняння невертикальної прямої має вигляд у = kx + b, де k — кутовий коефіцієнт цієї прямої.

Зважаючи на геометричний зміст похідної, отримуємо: k = f'(x₀).

Тоді рівняння дотичної можна записати так:

y = f'(x₀) ∙ x + b. (1)

Ця пряма проходить через точку М (х₀; f (х₀)). Отже, координати цієї точки задовольняють рівняння (1).

Маємо:

f (х₀) = f' (х₀) ∙ х₀ + b.

Рис. 38.1

Звідси b = f (х₀) - f' (х₀) ∙ х₀. Підставимо знайдене значення b у рівняння (1):

y = f' (х₀) ∙ х + f (х₀) - f' (х₀) ∙ х₀.

Перетворивши праву частину отриманої рівності, можна зробити висновок: якщо функція f є диференційовною в точці х₀, то рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х₀, має вигляд

У = f' (x₀)(x - x₀) + f (х₀)

ПРИКЛАД 1 Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = 2 - 4х - 3х² у точці з абсцисою х₀ = -2.

Розв’язання. Маємо: f(х₀) = f(-2) = 2 - 4 ∙ (-2)^-3 ∙ (-2)² =-2; f' (х) = -4 - 6х;

f' (х₀) = f' (-2) = -4 - 6 ∙ (-2) = 8. Підставивши знайдені числові значення в рівняння дотичної, отримуємо: у = 8 (х + 2) - 2, тобто у = 8х + 14.

Відповідь: у = 8х + 14.

ПРИКЛАД 2 Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції якщо ця дотична паралельна прямій у = -2х + 4.

Розв’язання. Маємо:

Якщо дотична паралельна прямій у = -2х + 4, то її кутовий коефіцієнт k дорівнює -2.

Оскільки f'(x₀) = k, де х₀ — абсциса точки дотику шуканої прямої до графіка функції f, то f'(х₀) = -2, тобто

Звідси

Отже, на графіку функції існують дві точки, у яких дотичні до нього паралельні даній прямій.

При х₀ = 6 маємо: f(х₀) = 5. Тоді рівняння дотичної має вигляд у = -2 (х - 6) + 5; у = -2х +17.

При х₀ = 2 отримуємо: f(х₀) = -3. Тоді рівняння дотичної має вигляд у = -2 (х - 2) - 3; у = -2х + 1.

Відповідь: у = -2х + 17; у = -2х + 1.

ПРИКЛАД 3 Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = -х² - 5х - 6, яка проходить через точку М (-1; -1).

Розв’язання. Зауважимо, що f(-1) + -1. Із цього випливає, що точка М (-1; -1) не належить графіку функції f.

Нехай А (х₀; f(х₀)) — точка дотику шуканої прямої до графіка функції f. Оскільки f(х₀) = -х₀² - 5х₀ - 6 і f' (х₀) = -2х₀ - 5, то рівняння дотичної має вигляд

Ураховуючи, що координати точки М (-1; -1) задовольняють отримане рівняння, маємо:

Звідси, розкривши дужки та розв’язавши квадратне рівняння, отримаємо х₀ = 0 або х₀ = -2. Таким чином, через точку М проходять дві дотичні до графіка функції f: у = -5х - 6 і у = -х - 2.

Відповідь: у = -5х - 6; у = -х - 2.

?

Запишіть загальний вигляд рівняння дотичної до графіка функції в даній точці.

ВПРАВИ

38.1. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою х₀, якщо:

38.2. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою х₀, якщо:

38.3. Запишіть рівняння дотичної до графіка даної функції в точці його перетину з віссю ординат:

38.4. Запишіть рівняння дотичної до графіка даної функції в точці його перетину з віссю ординат:

38.5. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці його перетину з віссю абсцис:

38.6. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці його перетину з віссю абсцис:

38.7. Знайдіть координати точки параболи у = 2х² - х + 1, у якій дотична до неї паралельна прямій у = 7х - 8.

38.8. У яких точках дотичні до графіка функції у = паралельні прямій у = -х?

38.9. Знайдіть таку точку графіка функції f, що проведена в цій точці дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут а, якщо:

38.10. Знайдіть таку точку графіка функції f, що проведена в цій точці дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут а, якщо:

38.11. Доведіть, що будь-яка дотична до графіка функції f утворює тупий кут з додатним напрямом осі абсцис:

38.12. Доведіть, що будь-яка дотична до графіка функції f утворює гострий кут з додатним напрямом осі абсцис:

38.13. Знайдіть рівняння горизонтальних дотичних до графіка функції:

38.14. Знайдіть рівняння горизонтальних дотичних до графіка функції

38.15.Складіть рівняння дотичної до графіка функції:

1) f(х) = х - , якщо ця дотична паралельна прямій у = 3х;

2) f(х) = 2х³ + Зх² - 10х - 1, якщо ця дотична паралельна прямій у = 2х + 1.

38.16. Складіть рівняння дотичної до графіка функції:

1) f(х) = 3х² + 5х + 3, якщо ця дотична паралельна прямій у = -7х + 3:

2) f(х)= , якщо ця дотична паралельна прямій у = х.

38.17. Установіть, чи є пряма у = 12х - 10 дотичною до графіка функції f(х) = 4х³. У разі ствердної відповіді вкажіть абсцису точки дотику.

38.18. Установіть, чи є пряма у = х дотичною до графіка функції у = sin х. У разі ствердної відповіді вкажіть абсцису точки дотику.

38.19. Обчисліть площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції f(х) = х² - 4 у точці з абсцисою х₀ = -2.

38.20. Обчисліть площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції f(х) = х³ + х² - 6х + 1 у точці з абсцисою х₀ = 1.

38.21. На графіку функції знайдіть точку, у якій дотична до нього перпендикулярна до прямої у - 2х + 1 = 0.

38.22. Чи існують дотичні до графіка функції f(х) = х³ + 2х - 1, які перпендикулярні до прямої у = -x?

38.23. При яких значеннях b і с парабола у = х² + bх + с дотикається до прямої у = 4х + 1 у точці з абсцисою х₀ = 1?

38.24. При яких значеннях а і b пряма у = 7х - 2 дотикається до параболи у = ах² + bх + 1 у точці А (1; 5)?

38.25. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = 2х² + 2, якщо ця дотична проходить через точку М (0; 1).

38.26. У якій точці графіка функції треба провести дотичну, щоб ця дотична проходила через початок координат?

38.27. Дві перпендикулярні дотичні до графіка функції f(х) = 3 - x² перетинаються в точці А, яка належить осі ординат. Знайдіть координати точки А.

38.28. Дві перпендикулярні дотичні до графіка функції перетинаються в точці А, яка належить осі ординат. Знайдіть координати точки А.

38.29. При яких значеннях а пряма у = ах + 1 є дотичною до графіка функції

38.30. При яких значеннях а пряма у = 2х + а є дотичною до графіка функції

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ

38.31. Розв’яжіть нерівність:

38.32. Побудуйте графік функції:

Укажіть проміжки зростання і проміжки спадання функції.