Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 4 Паралельність прямих і площин у просторі

§30 Взаємне розміщення прямої та площини

Дано: площина а; пряма а, що не лежить у площині а; пряма b, що лежить у площині а; а || b (мал. 141).

Довести: а || а.

Доведення. Проведемо площину а через паралельні прямі а і b (мал. 142). Площини а і β перетинаються по прямій b. Припустимо, що пряма а не паралельна площині а, а перетинає площину а деякій точці М (мал. 143). Ця точка лежить у даній площині а і площині β, яка проходить через паралельні прямі а і b. Тоді точка М лежить на прямій b перетину площин а і β. Отже, прямі а і b перетинаються. А це суперечить умові теореми, бо за умовою а || b. Робимо висновок: наше припущення неправильне, а правильним є те, що пряма а не перетинає площину а, тобто а || а.

Мал. 141

Мал. 142

Мал. 143

Зверніть увагу:

спосіб доведення від супротивного полягає в тому, що:

1) робимо припущення, протилежне тому, що треба довести;

2) міркуваннями доходимо висновку, що суперечить або умові твердження, яке доводиться, або одній з аксіом, або доведеній раніше теоремі, або припущенню;

3) робимо висновок — наше припущення неправильне, тому правильним є те, що треба було довести.

Задача. У піраміді SABCD через ребра SA і SC проведено площину (мал. 144). Чи паралельна цій площині пряма MN, що проходить через середини ребер АВ і BС?

Розв’язання. Відрізок MN — середня лінія ∆ABC, який не лежить у площині SAC. Оскільки MN || АС, а АС лежить у площині SAC, то пряма MN паралельна площині SAC.

Мал. 144

Зверніть увагу:

щоб установити паралельність прямої та площини, покажіть, що:

✵ або в площині існує пряма, якій паралельна дана пряма,

✵ або відрізки даної прямої та прямої, що лежить у даній площині, є протилежними сторонами паралелограма (чи основами трапеції, чи основою та середньою лінією трикутника тощо), який не лежить у даній площині.

Взаємне розміщення прямої та площини подано в таблиці 17.

Таблиця 17

Дізнайтеся більше

1. Метод доведення від супротивного ґрунтується на законі виключеного третього: із двох суперечливих тверджень «T» і «не Т» одне обов’язково істинне, а друге — хибне; третього бути не може. Цей закон сформулював давньогрецький учений Арістотель (384 — 322 рр. до н. е.) у своїй праці «Метафізика».

2. У «Началах» Евкліда (III ст. до н. е.) метод доведення від супротивного застосовується для доведення багатьох теорем, зокрема тих, що встановлюють існування та єдиність певної геометричної фігури. Прикладом такої теореми є основна властивість паралельних прямих у просторі:

Через точку, яка не лежить на прямій, у просторі

У «Началах» теореми існування та єдиності відіграють ключову роль. Річ утім, що давньогрецькі математики не припускали існування фігури незалежно від побудови. За Евклідом, геометрична фігура існує лише з моменту її побудови. Тому доведення існування часто містять правила побудови відповідних фігур чи їх комбінацій. Для доведення єдиності застосовується метод від супротивного.

Пригадайте головне

1. Назвіть випадки взаємного розміщення прямої та площини.

2. Дайте означення паралельних прямої та площини. Як їх позначають?

3. Сформулюйте ознаку паралельності прямої та площини.

4. Поясніть, у чому полягає спосіб доведення від супротивного.

5. Як можна встановити паралельність прямої та площини?

Розв'яжіть задачі

574. Наведіть приклади взаємного розміщення прямої та площини на предметах у класній кімнаті.

575. ABCDA ₁B ₁С ₁D ₁ — куб (мал. 145). Яке взаємне розміщення:

1) прямої A ₁C ₁ і площини ABC;

2) прямої ВС ₁ і площини D ₁A ₁B ₁;

3) прямої AD ₁ і площини ВСС ₁?

576. На малюнках 146, 147 назвіть:

1) прямі, що лежать у площині ABC;

2) прямі, що перетинають площину ABC;

3) прямі, паралельні площині ABC.

Зробіть відповідні записи.

577. Чому пряма не може перетинати площину більш ніж в одній точці? Відповідь обґрунтуйте.

578. Пряма а паралельна площині а. Чи існують у даній площині прямі, непаралельні прямій а? Проведіть одну з них.

579. Чи правильно, що пряма, паралельна площині, є паралельною будь-якій прямій, що лежить у даній площині?

580. Чи може пряма а перетинати площину а, якщо паралельні їй прямі лежать у цій площині?

581. Чи правильно: якщо одна з двох паралельних прямих паралельна деякій площині, то й друга пряма паралельна цій площині?

582. У прямокутному паралелепіпеді ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ проведіть пряму КР, яка лежить у площині:

1) грані BCC ₁B ₁ проходить через середину ребра ВВ ₁ і паралельна площині А ₁В ₁С ₁;

2) грані ABCD, проходить через середину ребра CD і паралельна площині АA ₁D ₁;

3) грані ABB ₁A ₁, проходить через середину ребра А ₁B ₁ і паралельна площині АА ₁D ₁.

Мал. 145

Мал. 146

Мал. 147

583. Основа піраміди SABCD — паралелограм. У бічній грані піраміди проведено пряму EF, де точки Е і F — середини бічних ребер. Яка довжина відрізка EF, якщо сторони основи піраміди дорівнюють: 1) 4 см і 6 см; 2) 3 см і 7 см; 3) 2 см і 5 см?

584. Трикутник ABC не лежить в одній площині з іншим трикутником, але має з ним спільну сторону: 1) АВ; 2) ВС; 3) АС. Доведіть, що одна із середніх ліній трикутника ABC паралельна площині іншого трикутника.

585. Площина а паралельна стороні АВ трикутника ABC і перетинає сторони АС і ВС в точках К і N, BN = NC. Доведіть, що KN || АВ, і знайдіть довжину сторони АВ, якщо: 1) KN = 9 см, АС = 24 см, КС = 12 см; 2) KN = 8 см, АС = 18 см, КС = 9 см; 3) KN = 11 см, АС = 16 см, КС = 8 см.

586. Дві прямі паралельні одній площині. Чи паралельні вони між собою?

587. Паралельні прямі а і b не лежать у площині а. Якщо а || а, то і b || а. Доведіть.

588. Пряма а паралельна площині а. Чи правильно, що будь-яка пряма, яка проходить через деяку точку площини а паралельно прямій а, лежить у площині а?

589. У кубі ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ проведено площину через ребра АА ₁ і СС ₁. Чи паралельна вона прямій, що проходить через середини ребер: 1)АB i BС; 2) А ₁D ₁ i CD? Відповідь обґрунтуйте.

590. Основа піраміди з вершиною B — правильний шестикутник ABCDEF. Чи можна в грані SAB провести відрізок, паралельний площині: 1) АBС; 2) SBC; 3) SDE; 4) SАF?

591. Чи може площина, яка проходить через середини двох сторін трикутника, перетинати третю його сторону?

592. Дано: 1) квадрат; 2) правильний шестикутник. Площину а проведено паралельно одній зі сторін даного многокутника. Дослідіть, як може розміщатися площина а відносно інших сторін даного многокутника.

593. Чи можна побудувати площину, яка проходить через дану пряму паралельно:

1) другій даній прямій; 2) двом іншим даним прямим?

594. Площина а перетинає дві сторони трикутника й ділить їх у відношенні m : n. Як розміщена дана площина відносно третьої сторони трикутника, якщо: 1) m = 1, n = 2; 2) m = 2, n = 3?

Скільки випадків треба розглянути?

595. Дано довільну піраміду. Доведіть, що прямі, які проходять через середини двох бічних ребер піраміди, паралельні її основі.

Проявіть компетентність

596. Яке взаємне розміщення моста через річку (прямої а), напрямку її течії (прямої b) і площини водної поверхні (площини а )?

597. Розмічаючи верхній край панелі на стіні, його вирівнюють відносно плінтуса. Чи паралельні край панелі й площина підлоги? Відповідь поясніть.