Підручник Математика 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) - М. І. Бурда - Оріон 2018 рік

Частина IІ ГЕОМЕТРІЯ

Розділ 4 Паралельність прямих і площин у просторі

§31 Взаємне розміщення двох площин

Подивіться на малюнок 148. Ви бачите журнальний столик, до бічного стояка якого (площина а) кріпиться поличка (площина β) і стільниця (площина у). Цей приклад ілюструє можливі випадки взаємного розміщення двох площин:

✵ дві площини перетинаються (площини а і β);

✵ дві площини паралельні (площини β і y).

Розглянемо властивості площин у кожному з випадків.

Мал. 148

1. ПЛОЩИНИ, ЩО ПЕРЕТИНАЮТЬСЯ

Ви знаєте, за аксіомою 4 стереометрії, якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. Наприклад, на малюнках 148 і 149 площини а і β перетинаються по прямій а. Кожна точка прямої а належить обом площинам.

Мал. 149

Подивіться на малюнок 149. Ви бачите, що два схили даху будинку (площини а і β) з’єднуються гребенем даху (пряма а). Край одного зі схилів (пряма b, що лежить у площині β) паралельний другому схилу (площині а), а отже, гребінь даху (пряма а) паралельний краю даху (прямій b). Вимощення однієї зі стін будинку (пряма с) паралельне обом схилам даху (площинам а і β), а отже, воно паралельне і гребеню даху (прямій а). Цей приклад ілюструє властивості площин, що перетинаються.

Властивості площин, що перетинаються

1. Якщо одна з двох площин, що перетинаються, проходить через пряму, паралельну другій площині, то пряма їх перетину паралельна даній прямій (мал. 150).

Мал. 150

Якщо а лежить в а, а || β, b — перетин а і β, то b || а.

2. Якщо пряма паралельна кожній з двох площин, що перетинаються, то вона паралельна прямій їх перетину (мал. 151).

Мал. 151

Якщо а || а і а || β, b — перетин а і β, то а || b.

Зверніть увагу:

наведені властивості площин, що перетинаються, можна вважати ознаками паралельності двох прямих у просторі.

Задача 1. Доведіть, що в прямокутному паралелепіпеді протилежні бічні ребра паралельні.

Розв’язання. Нехай АВСDА ₁В ₁С ₁D ₁ — даний прямокутний паралелепіпед (мал. 152). Доведемо, що АА ₁ || СС ₁ і ВВ ₁|| DD ₁.

У прямокутному паралелепіпеді всі грані є прямокутниками. Тому його бічні ребра, що лежать в одній грані, паралельні одне одному. Звідси АА ₁|| ВВ ₁ і AA ₁ || DD ₁. Оскільки ребро ВВ ₁ лежить у грані ВВ ₁С ₁С, то ребро АА ₁ паралельне цій грані. Оскільки ребро DD ₁ лежить у грані DD ₁C ₁C, то ребро АА ₁ паралельне цій грані. Дістали, що ребро АА ₁ паралельне двом площинам, які перетинаються по прямій СС ₁. Отже, АА ₁ || СС ₁. Аналогічними міркуваннями доводимо, що ВВ ₁|| DD ₁.

Мал. 152

2. ПАРАЛЕЛЬНІ ПЛОЩИНИ

Дві площини, які не перетинаються, називаються паралельними.

Записуємо (мал. 153): а || β і говоримо: «площина а паралельна площині β».

Як установити, що дві площини паралельні?

Відповідь дає така теорема, яку приймемо без доведення.

Теорема (ознака паралельності площин)

Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Задача 2. Через середини бічних ребер піраміди SABC проведено площину KLM (мал. 154). Доведіть, що ця площина паралельна площині основи піраміди.

Розв’язання. Відрізки KL і LM — середні лінії трикутників SAB і SBC. Звідси KL || АВ і LM || ВС. За ознакою паралельності площин, площина KLM паралельна площині ABC.

Мал. 153

Мал. 154

Сформулюємо основну властивість паралельних площин (мал. 155).

Основна властивість паралельних площин

Через точку, яка не лежить у площині, можна провести площину, паралельну даній площині, й тільки одну.

Мал. 155

Якщо

т. А не лежить в а, то β можна провести через

т. А так, що β || а,

β — єдина.

Взаємне розміщення двох площин наведено в таблиці 18.

Таблиця 18

Дізнайтеся більше

Математики в міркуваннях часто застосовують аналогію. У перекладі з грецької мови «аналогія» означає подібність, схожість предметів або явищ за певними властивостями, ознаками, відношеннями, причому ці предмети загалом різні. Багато питань стереометрії вивчають за аналогією з питаннями планіметрії.

Аналогом точки на площині є пряма у просторі, а прямої на площині — площина у просторі.

У таблиці 19 наведено деякі властивості взаємного розміщення точок і прямих на площині та властивості прямих і площин у просторі, що їх сформульовано за аналогією.

Таблиця 19

За аналогією іноді можна одержати хибне твердження. Наприклад, якщо в третьому з наведених тверджень для простору замість вимоги «не перетинає площину» вказати вимогу «не лежить у площині», то одержимо хибне твердження. Справді, пряма, що не лежить у площині, може перетинати цю площину, а через таку пряму провести площину, паралельну даній площині, неможливо. Тому твердження, одержане за аналогією, потребує доведення.

Пригадайте головне

1. Яке взаємне розміщення двох площин?

2. Які властивості мають площини, що перетинаються?

3. Назвіть властивості площин, що перетинаються.

4. Дайте означення паралельних площин. Як їх позначають?

5. Сформулюйте ознаку паралельності площин.

6. Як формулюється основна властивість паралельних площин?

Розв'яжіть задані

598. Наведіть приклади взаємного розміщення двох площин на предметах довкілля.

599. ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ — куб (мал. 156). По якій прямій перетинаються площини:

1) АВВ ₁ і АВС; 2) A ₁D ₁D i ABB ₁; 3) BCC ₁ i CDD ₁?

Яким прямим паралельна лінія їх перетину?

600. Які площини паралельні на малюнках 157- 159? Назвіть пару прямих, що перетинаються й лежать в одній з даних площин, та відповідну пару прямих у другій площині. (ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ — прямокутний паралелепіпед.)

601. Наведіть приклади з довкілля, що ілюструють ознаку паралельності площин.

602. Проведіть площини а і β, що перетинаються. У площині а проведіть пряму а. Яке взаємне розміщення прямої а і площини β? Скільки випадків треба розглянути?

Мал. 156

Мал. 157

Мал. 158

Мал. 159

603. Чи можуть перетинатися дві площини, які паралельні тій самій прямій?

604. ABCD — паралелограм. Площина а перетинає площину паралелограма по прямій:

1) АВ; 2) ВС; З)CD.

Яким сторонам паралелограма паралельна пряма перетину двох даних площин? Відповідь поясніть.

605. Накресліть піраміду з вершиною S, в основі якої лежить:

1) трикутник ABC;

2) прямокутник ABCD;

3) шестикутник ABCDEF.

У площині бічної грані SAB проведіть пряму, паралельну площині основи піраміди. Назвіть паралельні прямі на малюнку.

606. У кубі ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ проведіть площину, паралельну грані:

1) АВСD; 2)АА ₁В ₁В;   3) CDD ₁C ₁.

607. Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁. Доведіть паралельність площин:

1)АВС і А ₁В ₁С ₁;   2)АВВ ₁ і ВСС ₁;   3) В ₁С ₁ і D ₁DA.

608. Чи є правильним твердження:

1) якщо пряма, що лежить в одній з даних площин, паралельна прямій, яка лежить у другій площині, то дані площини паралельні;

2) якщо дві прямі, що лежать в одній площині, паралельні двом прямим, які лежать у другій площині, то дані площини паралельні?

609. Чи можуть бути паралельними дві площини, які проходять через непаралельні прямі?

610. Дві сторони паралелограма паралельні даній площині а. Чи можна стверджувати, що площина паралелограма паралельна площині а?

611. Скільки площин, паралельних даній площині, можна провести через:

1) точку, що не лежить у даній площині;

2) пряму, що паралельна даній площині?

612. Площини а і β перетинаються. Доведіть, що будь-яка площина у перетинає хоча б одну з площин а і β.

613. Площина β перетинає деяку пряму, паралельну площині а. Доведіть, що площини а і β перетинаються.

614. Площини а і β паралельні. Точка А лежить у площині а. Доведіть, що будь-яка пряма, яка проходить через точку А паралельно площині β, лежить у площині а.

615. Якщо площина а паралельна площині β, а площина β паралельна площині у, то площина а паралельна площині у. Доведіть.

616. Площини а і β паралельні площині у. Чи можуть площини а і β перетинатися?

617. Площина у перетинає площини а і β по паралельних прямих. Чи паралельні площини а і β?

618. Дано куб ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁. Доведіть паралельність площин:

1)ACB ₁ i A ₁C ₁D;   2)B ₁D ₁C i BDA ₁.

619. Як провести паралельні площини через дві дані мимобіжні прямі?

620. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Середини відрізків АВ, ВС, АС, AD, CD і BD позначено відповідно К, L, М, N, Е і F. Чи паралельні площини: 1) BCD і KMN; 2)ABD і LME; S)ACD і KLF? Відповідь обґрунтуйте.

621. Дано дві площини, які перетинаються. Чи можна провести площину, що перетинає дві дані площини по паралельних прямих? Скільки таких площин можна провести через дану:

1) точку; 2) пряму, яка паралельна даним площинам; 3) пряму, що паралельна одній з даних площин; 4) пряму, яка перетинає дані площини; 5) пряму, що лежить в одній з даних площин?

622. У кубі ABCDA ₁B ₁C ₁D ₁ побудуйте прямі перетину площин: 1)АВ ₁D ₁ і А ₁ВD); 2)A ₁BC i B ₁BD; 3) А ₁D ₁С і АВ ₁D.

623. Спільна вершина двох трикутників не лежить у даній площині, а протилежні цій вершині сторони трикутників лежать у даній площині. Побудуйте лінію перетину площин даних трикутників. Скільки випадків треба розглянути?

Проявіть компетентність

624. Які випадки взаємного розміщення двох площин можна проілюструвати за допомогою зошита?

625. Яке взаємне розміщення книжок на полиці, якщо вони щільно прилягають одна до одної? А якщо взяти кілька книжок з полиці?

626. Чи можна перевірити паралельність підлоги і стелі кімнати за допомогою:

1) двох прямих у цих площинах;

2) трьох прямих у цих площинах;

3) чотирьох прямих у цих площинах?

Якщо так, то як саме? Запропонуйте власний спосіб перевірки.

627. Як напрямлені сили, що діють на важелі?

628. Щоб з’ ясувати, чи не деформувалися дерев’яні двері під час експлуатації, їх зачиняють й обирають на їх периметрі кілька контрольних точок. Якщо в цих точках полотно дверей не однаково розміщується відносно дверної коробки (в одному місці заглиблюється, а в іншому виступає), то двері — деформовані. Скільки контрольних точок достатньо обрати? На чому ґрунтується такий спосіб перевірки?