Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ МИ…

✵ пригадаємо поняття арифметичного квадратного кореня та його властивості;

✵ дізнаємося про корінь n-го степеня та його властивості; степінь з раціональним показником та його властивості; про

функцію у = та степеневу функцію;

✵ навчимося обчислювати та перетворювати вирази, що містять корені і степені з раціональним показником; розв’язувати ірраціональні рівняння.

§ 9 КОРІНЬ n-го СТЕПЕНЯ. АРИФМЕТИЧНИЙ КОРІНЬ n-го СТЕПЕНЯ

1. Функція у = х ⁿ, де n ∈ N

Розглянемо функцію у = x ⁿ, n ∈ N. Її називають степеневою функцією з з натуральним показником. Степеневі функції для n = 1 і n = 2, тобто функції у = х і у = х ², нам вже відомі. Їх графіки зображено на малюнках 9.1 і 9.2.

Мал. 9.1

Мал. 9.2

З’ясуємо властивості функції у = х ⁿ та особливості її графіка для будь-яких значень n, n ∈ N.

Спочатку розглянемо випадок, коли n - парне число.

На малюнку 9.2 зображено графік функції у = х ², а на малюнку 9.3 - графік функції у = х ⁴. Функція у = х ⁿ, де n - парне, є парною, оскільки (-х) ⁿ = х ⁿ, тому її графік симетричний відносно осі ординат.

Графік функції у = х ⁿ з парним натуральним показником n схематично зображено на малюнку 9.4.

Мал. 9.3

Мал. 9.4

Розглянемо випадок, коли n — непарне число.

На малюнку 9.5 зображено графік функції у = х ³, а на малюнку 9.6 - графік функції у = х ⁵. Функція у = х ⁿ при непарному n є непарною, оскільки (-х) ⁿ = -х ⁿ, тому її графік симетричний відносно початку координат.

Графік функції у = х ⁿ з непарним натуральним показником n, n ≥ 3, зображено на малюнку 9.7.

Мал. 9.5

Мал. 9.6

Мал. 9.7

Узагальнимо властивості функції у = х ⁿ, де n - натуральне число, і подамо їх у вигляді таблиці (с. 86).

Приклад 1. Функцію задано формулою f(х) = х ⁹. Порівняти: 1) f(0) і f(-1,8); 2) f(-2) і f(2).

Розв’язання. Оскільки функція f(х) = х ⁹ зростає на (-∞; +∞) то більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Отже:

1) f(0) > f(-1,8), бо 0 > -1,8;

2) f(-2) < f(2), бо -2 < 2.

Відповідь: 1) f(0) > f(-1,8); 2) f(-2) < f(2).

Приклад 2. Функцію задано формулою g(x) = х ¹⁴. Порівняти:

1) g(-2) і g(-3);

2) g(1,7) і g(1,6);

3) g(5) і g(-5);

4) g(-8) і g(7).

Розв’язання. 1) Оскільки на проміжку (-∞; 0] функція g(x) = х ¹⁴ спадає, то більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції» Оскільки -2 > З, то g(- 2) < g(- 3).

2) На проміжку [0; +∞) функція g(x) = х ¹⁴ зростає, тому більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Оскільки 1,7 > 1,6, то g(1,7) > g(1,6).

3) Функція g(x) = х ¹⁴ - парна, тому g(-x) = g(x). Отже, g(5) = g(-5).

4) Функція g(x) = х ¹⁴ - парна, тому g(-8) = g(8). На проміжку [0; +∞) функція зростає, тому g(8) > g(7), а отже g(-8) > g(7).

Відповідь.

1) g(-2) < g(-3);

2) g(1,7) > g(1,6);

3) g(5) = g(-5);

4) g(-8) > g(7).

2. Корінь n-го степеня

Нагадаємо, що квадратним коренем із числа а називають таке число, квадрат якого дорівнює а.

Наприклад, числа 4 і -4 - квадратні корені із числа 16, бо 4 ² = 16 і (-4) ² = 16; 0 - квадратний корінь із числа 0, оскільки 0 ² = 0; а квадратного кореня із числа -9 не існує, бо немає числа, квадрат якого дорівнює -9.

У той самий спосіб уведемо означення кореня n-го степеня із числа а, де n ∈ N, n > 2.

Коренем n-го степеня із числа а називають таке число, n-й степінь якого дорівнює а.

Наприклад, корінь третього степеня із числа 64 дорівнює 4, оскільки 4 ³ = 64. Числа 3 і -3 є коренями четвертого степеня із числа 81, бо 3 ⁴ = 81 і (-3) ⁴ = 81. Коренем п’ятого степеня із числа -32 є число -2, оскільки (-2) ³ = -32.

3. Арифметичний корінь n-го степеня

Як і для квадратного кореня, для кореня n-го степеня розглянемо поняття арифметичного кореня. Нагадаємо, що арифметичним квадратним коренем із числа а називають таке невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а.

Арифметичний квадратний корінь із числа а позначають і читають так: квадратний корінь із числа а (слово «арифметичний» при цьому домовилися не вживати). Нагадаємо, що вираз має зміст для а ≥ 0.

Аналогічно означують арифметичний корінь n-го степеня.

Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа а називають таке невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Арифметичний корінь n-го степеня із числа а позначають , при цьому число n називають показником кореня, а число а - підкореневим виразом. Знак кореня ще називаютьрадикалом. Запис читають так: корінь n-го степеня із числа а (тут також слово «арифметичний» не вживають).

Якщо n = 2, то матимемо арифметичний квадратний корінь із числа а, який позначають (показник кореня у цьому випадку не пишуть). Якщо n = 3, матимемо - арифметичний кубічний корінь із числа а (слово «арифметичний» під час читання не вживають).

Приклад 3. Знайти:

Розв’язання.

1) = 3 (оскільки З ³ = 27 і 3 ≥ 0);

2) = 2

(оскільки 2 ⁴ = 16 і 2 ≥ 0);

(оскільки

(оскільки 0 ⁷ = 0 і 0 ≥ 0).

З означення випливає, що рівність = х, де а ≥ 0, є правильною, якщо виконуються одночасно дві умови: 1) х ≥ 0; 2) х ⁿ = а. Тому, якщо в рівність х ⁿ = а замість х підставити , то отримаємо тотожність ( ) ⁿ = а.

Для будь-якого а ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 2 маємо тотожність:

Наприклад,

Приклад 4. Знайти значення виразу:

Розв’язання. Спочатку треба знайти значення підкореневого виразу З ⁴ + 5 ² + 137, а потім з отриманого значення добути корінь 5-го степеня:

Відповідь. 3.

4. Тотожності для кореня n-го степеня

Знак кореня ⁿ використовують не тільки для запису арифметичного кореня n-го степеня з невід’ємного числа, а й для запису кореня непарного степеня з від’ємного числа. Наприклад,

Тому рівність = х, де а - будь-яке число, n — непарне натуральне число, є правильною, якщо виконується лише одна умова: х ⁿ = а. Доходимо висновку: для будь-якого числа а і непарного числа n, n є N, n ≥ З, маємо тотожність:

Оскільки = -2 і - = -2, то = - . Узагалі, для коренів непарного степеня маємо тотожність:

Отже,

1) якщо а ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 2, то вираз означає арифметичний корінь n-го степеня із числа а;

2) якщо а < 0, то при непарному n вираз означає корінь n-го степеня із числа а, а при парному n цей вираз не має змісту.

Доходимо висновку:

вираз при парному n має зміст лише для а ≥ 0; при непарному n — для будь-якого значення а.

Приклад 5. При яких значення х має зміст вираз:

Розв’язання. 1) Корінь 7-го (непарного) степеня існує для будь-якого значення підкореневого виразу, тому вираз має зміст для будь-якого значення х.

2) Корінь 4-го (парного) степеня має зміст лише в тому випадку, коли підкореневий вираз — невід’ємний. Розв’язавши нерівність: 5х - 10 ≥ 0, матимемо, що х ≥ 2. Відповідь: 1) х - будь-яке число; 2) х ≥ 2.

5. Рівняння х ⁿ = а, n ∈ N, n ≥ 2

Розглянемо рівняння хn = а, а ∈ R, n ∈ N, n ≥ 2. Розв’яжемо його графічно.

Нехай у рівнянні хn = а маємо випадок, коли n - парне. Побудуємо графіки функцій у = х ⁿ, n - парне, і у = а (мал. 9.8). Якщо а > 0, то графіки перетинатимуться у двох точках, тобто рівняння х ⁿ = а матиме два корені. Оскільки ( )n = а і (- ) ⁿ = а, то х ₁ = і х ₂ = - - корені рівняння х ⁿ = а у випадку парного n. Якщо а = 0, то рівняння х ⁿ = 0 має єдиний корінь - число 0. Якщо а < 0, при парному n рівняння х ⁿ = а коренів не має.

Мал. 9.8

Мал 9.9

Нехай n - непарне. Тоді для будь-якого а рівняння х ⁿ = а має єдиний корінь (мал. 9.9). Оскільки ( ) ⁿ - а, то х = - єдиний корінь рівняння х ⁿ = а, коли n - непарне.

Систематизуємо дані про розв’язки рівняння х ⁿ = а у вигляді схеми.

Приклад 6. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

Отже, х ₁ = 3; х ₂ = -3.

2) Коренів немає.

3) х = ; корінь рівняння х ⁵ = 19 є ірраціональним числом.

4) Маємо:

Отже, рівняння має два корені: 0 i 1.

Відповідь.

1) 3;-3;

2) коренів немає;

3) ;

4) 0; 1.

А ще раніше…

Терміни «радикал» і «корінь», які було введено у XIII cm., походять від латинського слова «radix», яке має два значення: сторона і корінь. Грецькі математики замість «добувати корінь» говорили «знайти сторону квадрата за його даною величиною», маючи на увазі під величиною квадрата його площу.

Знак кореня у вигляді символу вперше з’явився в 1525 р. У 1626 р. голландський математик Альбер Жирар (1595- 1663) увів позначення 2 , З , …, при цьому над підкореневим

виразом ставили риску, тобто замість писали . Сучасне позначення кореня з’явилося завдяки французькому математику, фізику і філософу Рене Декарту (1596-1650). У своїй праці «Геометрія» (1637 р.) він з’єднав горизонтальну риску зі знаком . Англійський математик, фізик і механік Ісаак Ньютон (1643-1727) записував корені будь-яких степенів у сучасному вигляді: ^З, ⁴ тощо.

✵ Яку функцію називають степеневою функцією з натуральним показником?

✵ Сформулюйте властивості функції у = х ⁿ для парного n і для непарного n.

✵ Що називають коренем n-го степеня із числа а?

✵ Що називають арифметичним коренем n-го степеня із числа а?

✵ При яких значеннях а має зміст вираз у випадку парного n; непарного n?

✵ Що можна сказати про корені рівняння х ⁿ = а, залежно від значень а і n, де n ∈ N, n ≥ 2?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Чи має зміст вираз (9.1-9.2):

9.1.

9.2.

9.3. Доведіть, що число:

1) є арифметичним кубічним коренем із числа ;

2) 5 є арифметичним коренем четвертого степеня із числа 625;

3) -1 не є арифметичним коренем шостого степеня із числа 1;

4) 0,1 не є арифметичним коренем п’ятого степеня із числа 0,0001.

Доведіть, що справджується рівність (9.4—9.5):

9.4.

9.5.

Знайдіть значення виразу (9.6—9.7):

9.6.

9.7.

9.8. (Усно.) Чи має корені рівняння:

2. Обчисліть (9.9—9.12):

9.9.

9.10.

9.11.

9.12.

Схематично побудуйте графік функції (9.13—9.14):

9.13.

9.14.

При яких значення змінної має зміст вираз (9.15—9.16):

9.15.

9.16.

Обчисліть (9.17-9.18):

9.17.

9.18.

Розв’яжіть рівняння (9.19—9.20):

9.19.

9.20.

9.21. Чи належить графіку функції у = точка:

1) А(0; 0);

2) В(-1; 1);

3) С(16; 2);

4) D(81; -3)?

Обчисліть значення виразу (9.22—9.23):

9.22.

9.23.

Знайдіть значення виразу (9.24—9.25):

9.24.

9.25.

З. При яких значення х має зміст вираз (9.26-9.27):

9.26.

9.27.

Розв’яжіть рівняння (9.28—9.29):

9.28.

9.29.

9.30. Функцію задано формулою f(x) = х ¹⁷. Порівняйте:

1) f(4) і f(7);

2) f(-2) і f(-5);

3) f(0) і f(1,8);

4) f(3) і f(-3).

9.31. Функцію задано формулою g(х) = х ¹¹. Порівняйте:

1) g(2) і g(1);

2) g(-9) і g(-8);

3) g (1,7) і g (0);

4) g(-5) і g(5).

9.32. Функцію задано формулою g(x) = х ¹². Порівняйте:

1) g(7) i g(11),

2) g(-7) і g(-11);

3) g(-7) і g(7);

4) g(-11) і g (7).

9.33. Функцію задано формулою f(х) = х ⁸. Порівняйте:

1) f(9) і f(7);

2) f(-9) і f(-7);

3) f(-9) і f(9);

4) f(9) і f(-7).

9.34. Знайдіть два послідовних цілих числа, між якими міститься число:

1) 4;

2) - ;

3) ;

4) - .

9.35. Знайдіть два послідовних цілих числа, між якими міститься число:

1) ;

2) - ;

3) ;

4) - .

9.36. Бак має форму куба і вміщує 2,744 м ³ води. Знайдіть висоту бака і площу його основи.

9.37. Вкладник відкрив у банку депозит на 10 000 грн, а через 3 роки, закриваючи депозит, отримав 17 280 грн. Який відсоток річних нараховував банк?

9.38. Вкладник відкрив у банку депозит на 20 000 грн, а через 4 роки, закриваючи депозит, отримав 29 282 грн. Який відсоток річних нараховував банк?

Установіть графічно, скільки розв’язків має рівняння (9.39-9.40):

9.39.

9.40.

Побудуйте графік функції (9.41—9.42):

9.41.

9.42.

Знайдіть усі корені рівняння (9.43—9.44):

9.43.

9.44.

Знайдіть область визначення функції (9.45—9.46):

9.45.

9.46.

4. Побудуйте графік функції (9.47—9.48):

9.47.

9.48.

Знайдіть область визначення функції (9.49—9.50):

9.49.

9.50.

Для всіх значень параметра а розв’яжіть рівняння (9.51—9.52):

9.51.

9.52.

9.53. На малюнку точками позначено середньодобову температуру повітря в Одесі щоденно із 6 по 19 червня. По горизонтальній осі вказано числа місяця, по вертикальній - температура у градусах Цельсія. Для наочності точки з’єднано лінією. За даними малюнка визначте різницю між найбільшою і найменшою середньодобовими температурами у зазначений період. Відповідь дайте у градусах Цельсія.

9.54. Дано три числа 2; ; - . Дозволяється будь-які два з них замінити двома такими: їх сумою, поділеною на , та їх різницею, поділеною на . Чи можна, виконавши цю процедуру кілька разів, отримати трійку чисел: 1; ; 1 + ?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

Обчисліть значення виразу (9.55—9.56):

9.55.

9.56.

9.57. При яких значеннях х справджується рівність:

9.58. Замініть вираз йому тотожно рівним, але без знака кореня:

9.59. Спростіть вираз: