Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 10 ВЛАСТИВОСТІ АРИФМЕТИЧНОГО КОРЕНЯ n-го СТЕПЕНЯ. ПЕРЕТВОРЕННЯ КОРЕНІВ. ДІЇ НАД КОРЕНЯМИ

1. Корінь з добутку і дробу

З курсу алгебри 8 класу нам відомо, що: коли а ≥ 0 і b ≥ 0, то = · ; коли а ≥ 0 і о > 0, то = .

Такі самі властивості має й арифметичний корінь n-го степеня для n > 2.

Теорема 1 (про корінь n-го степеня з добутку). Корінь n-го степеня з добутку двох невід’ємних чисел дорівнює добутку коренів n-го степеня із цих чисел, тобто якщо а ≥ 0 і b ≥0, то

Доведення. Оскільки а ≥ 0 і b ≥ 0, то вирази і мають зміст і ≥ 0, ≥ 0. Тому · ≥ 0. Крім того,

Отже, · > 0 і (- )ⁿ = аb. Тоді, за означенням арифметичного кореня n-го степеня, = ·.

Теорему можна поширити і на випадок, коли множників під знаком кореня більше ніж два.

Наслідок. Корінь n-го степеня з добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів n-го степеня із цих множників.

Доведення. Доведемо цей наслідок, наприклад, для трьох невід’ємних чисел а ≥ 0, b ≥ 0, с ≥> 0. Маємо:

За властивістю про корінь з добутку, наприклад, маємо:

Зауваження 1. Очевидно, що вираз при парному n має зміст, коли аb ≥ 0, тобто коли числа а і b - одного знака, а значить, і тоді, коли а і b - від’ємні. У такому випадкурівність у теоремі 1 набуває вигляду = · . Отже,

якщо аb ≥ 0 і n — парне.

Якщо в рівності = · поміняти місцями ліву і праву частини, матимемо тотожність: · = , де а ≥ 0, b ≥ 0.

Добуток коренів n-го степеня з невід’ємних чисел дорівнює кореню n-го степеня з добутку цих чисел.

Наприклад, · = = = 2.

Теорема 2 (про корінь n-го степеня з дробу). Корінь n-го степеня з дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню n-го степеня із чисельника, поділеному на корінь n-го степеня із знаменника, тобто якщо а ≥ 0 і b > 0, то

Пропонуємо довести цю теорему самостійно. За теоремою 2, наприклад, маємо:

Зауваження 2. Очевидно, що корінь із частки при парному n має зміст, коли аb ≥ 0, b ≠ 0, отже, і тоді, коли а ≤ 0, b < 0. У цьому випадку

Отже, якщо аb ≥ 0, b ≠ 0 і n - парне, то

Якщо в рівності

поміняти місцями ліву і праву частини, матимемо тотожність:

Частка, чисельник якої — корінь n-го степеня з невід’ємного числа, а знаменник — корінь n-го степеня з додатного числа, дорівнює кореню n-го степеня із частки цих чисел.

Наприклад,

2. Корінь із степеня

Теорема 3 (про корінь n-го степеня зі степеня). Для будь-якого а ∈ R і n ∈ N, n ≥ 2, маємо:

Доведення. 1) Якщо n - парне, то вираз має зміст для будь-якого а, оскільки в цьому випадку аⁿ ≥ 0. Крім того, |а| ≥ 0 і |а|ⁿ = аⁿ. Тоді за означенням кореня n-го степеня: = |а|.

2) Якщо n - непарне, то вираз також має зміст для будь-якого а, тоді за означенням кореня n-го степеня: = а.

За теоремою 3, наприклад, маємо:

Приклад 1. Спростити вираз:

Розв’язання.

Оскільки а ≥ 0, то |а| = а, а тому = а.

Оскільки m² ≥ 0 для будь-якого m, то |m²| = m², а тому = 2m².

Оскільки а ≤ 0, то |а| = -а, а тому = -2а.

Відповідь. 1) |р³|; 2) а; 3) с⁴; 4) 2m²; 5) аb²; 6) -2а.

Приклад 2. Побудувати графік функції

Розв’язання. Оскільки = х, то у = х - |х|.

Якщо х ≥ 0, то |х| = х, а тому у = х - х, тобто у = 0;

якщо х < 0, то |х| = -х, маємо у = х - (-х), тобто у = 2х.

Отже,

Мал. 10.1

Графік функції у = х - зображено на малюнку 10.1.

3. Корінь із кореня та степінь кореня

Теорема 4. Якщо n і k — натуральні числа і а ≥ 0, то

Доведення. Оскільки а ≥ 0, то вирази і мають зміст і невід’ємні. Крім того,

Тоді за означенням кореня n-го степеня:

За теоремою 4, наприклад, маємо:

Теорема 5. Якщо n, k і m — натуральні числа і а ≥ 0, то

Доведення. Використовуючи попередню теорему, маємо:

Зауваження 3. Якщо m - парне число, то вираз

має зміст при будь-якому дійсному а, і тоді для будь-якого а має місце рівність:

(доведіть самостійно).

Зауваження 4. Домовимося, що корінь першого степеня із числа а дорівнює числу а. Це дозволяє використовувати тотожність

і у випадку, коли n = 1.

Враховуючи теорему 5 і зауваження, наприклад, маємо:

Теорема 6. Якщо n — натуральне число, k — ціле число і а > 0, то

Доведення. Оскільки

то за означенням кореня n-го степеня:

Наприклад,

• Сформулюйте і доведіть теорему про корінь n-го степеня з добутку.

• Чому дорівнює добуток коренів n-го степеня?

• Сформулюйте теорему про корінь n-го степеня з дробу.

• Чому дорівнює частка коренів n-го степеня?

• Сформулюйте і доведіть теорему про корінь n-го степеня із степеня.

• Сформулюйте теорему про корінь n-го степеня з кореня.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. 10.1. (Усно). Чи правильно виконано обчислення:

10.2. Чи правильно виконано обчислення:

Закінчіть обчислення (10.3—10.4):

10.3.

10.4.

Подайте вираз у вигляді добутку коренів (10.5—10.6):

10.5.

10.6.

Подайте вираз у вигляді частки коренів (10.7-10.8):

10.7.

10.8.

2. Знайдіть значення виразу (10.9—10.22):

10.9.

10.10.

10.11.

10.12.

10.13.

10.14.

10.15.

10.16.

10.17.

10.18.

10.19.

10.20.

10.21.

10.22.

Подайте вираз у вигляді одночлена (літерами позначено невід’ємні числа) (10.23—10.24):

10.23.

10.24.

3. 10.25. При яких значеннях а справджується рівність:

10.26. При яких значеннях b справджується рівність:

10.27. При яких значення х і у, відмінних від нуля, виконується рівність:

10.28. При яких значення с і t, відмінних від нуля, виконується рівність:

Спростіть вираз (10.29—10.37):

10.29.

10.30.

10.31.

10.32.

10.33.

10.34.

10.35.

10.36.

10.37.

Обчисліть (10.38—10.41):

10.38.

10.39.

4. 10.40.

10.41.

Побудуйте графік функції (10.42—10.43):

10.42.

10.43.

10.44. Клієнт «Добробанку» взяв кредит у розмірі 24 000 грн на рік під 16 %. Погашати кредит він має, вносячи щомісяця однакову суму коштів, так, щоб через рік виплатити всю суму кредиту разом з відсотками. Скільки коштів має щомісяця вносити в банк цей клієнт?

10.45. (Міжнародний математичний конкурс «Кенгуру»). Ірина розрізала прямокутник площею 2016 см² на 56 рівних квадратів. Довжини сторін прямокутника і квадратів у сантиметрах є цілими числами. Для скількох різних прямокутників дівчинка могла це зробити?

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

10.46. Винесіть множник з-під знака кореня:

10.47. Внесіть множник під знак кореня:

10.48. Скоротіть дріб:

10.49. Звільніть знаменник дробу від ірраціональності: