Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 12 ФУНКЦІЯ КОРЕНЯ n-го СТЕПЕННЯ ТА ЇЇ ГРАФІК

Розглянемо функцію у = , де n ∈ N, n > 1.

1. Функція у = , де n - натуральне парне число

Розглянемо спочатку функцію у = , яку ми вже вивчали в курсі алгебри 8 класу. Її графік зображено на малюнку 12.1. Областю визначення функції є х ≥ 0, а множиною значень: у ≥ 0. Функція зростає на [0; +∞).

Мал. 12.1

Мал. 12.2

Розглянемо загальний випадок функції у = , де n - натуральне парне число. Функція визначена для х ≥ 0 і є зростаючою. Множина її значень: у ≥ 0.

Графік функції у = , де n - натуральне парне число, схематично зображено на малюнку 12.2.

2. Функція у = , де n - натуральне непарне число, n ≥ З

Розглянемо спочатку графік функції у = . Областю визначення цієї функції є множина всіх дійсних чисел. Складемо таблицю значень

функції для деяких значень аргументу:

Позначимо отримані точки на координатній площині і сполучимо їх плавною лінією. Отримаємо графік функції у = (мал. 12.3). Множиною значень цієї функції є множина всіх дійсних чисел, функція є зростаючою.

У загальному випадку функція у = , де n - натуральне непарне число, n ≥ 3, також визначена для будь-якого дійсного значення аргументу, зростає на і?, множиною її значень є множина всіх дійсних чисел.

Графік функції у = , де n - натуральне непарне число, n > 3, зображено на малюнку 12.4.

Мал. 12.3

Мал. 12.4

3. Властивості функції у = , n ∈ N, n ≥ 2

Узагальнимо властивості функції, яку ми щойно розглянули, у вигляді таблиці.

4. Застосування властивостей функції у =

Розглянемо кілька вправ, які розв’яжемо за допомогою властивостей функції у = .

Приклад 1. Знайти область допустимих значень виразу:

Розв’язання. ОДЗ виразу у випадку парного n знаходимо, розв’язавши нерівність f(х) ≥ 0, якщо ж n — непарне, то ОДЗ виразу збігається з областю визначення функції f(х).

1) х + 1 ≥ 0; х ≥ -1; D(y) = [-1; +∞);

2) D(у) = (-∞; +∞).

3) х ² + 2х - 3 ≥ 0, отже, D(y) = (-∞; -3] ∪ [1; +∞) (мал. 12.5).

Мал. 12.5

Мал. 12.6

4) ≥ 0, розв’язавши цю нерівність методом інтервалів (мал. 12.6), отримаємо, що D(y) = [2; 3).

Відповідь.

1) [-1; +∞);

2) (-∞; +∞);

3) (-∞; -3] ∪ [1; +∞);

4) [2; 3).

Приклад 2. Знайти множину значень функції:

Розв’язання. 1) Оскільки ≥ 0, то Е(у) = [0; +∞).

2) ≥ 0, тоді +1 ≥ 1, тому Е(у) = [1; +∞).

3) Оскільки областю значень функції у = є множина R, то областю значень функції у = -11 є також множина R.

4) х ²≥ 0, тоді х ² + 64 ≥ 64. Маємо: ≥ , тоді ≥ 2, а тому - 3 ≥ -1. Отже, Е(у) = [-1; +∞).

Відповідь.

1) [0; +∞);

2) [1; +∞);

3) (-∞; +∞);

4) [-1; +∞).

Приклад 3. Порівняти числа:

Розв’язання. Оскільки функція у = зростає на всій своїй області визначення при будь-якому натуральному n, n ≥2, то якщо а > b і значення виразів та існують, то > .

1) Отже, < .

2) Оскільки 2 = , а < , то < 2.

3) За властивостями кореня n-го степеня перетворимо вираз , подавши його у вигляді кореня 8-го степеня:

4/7 = = . Оскільки > , то > .

4) Подамо число у вигляді коренів одного й того самого степеня:

Оскільки

Відповідь.

✵ Схематично побудуйте графіки функцій у = для парного n та для непарного n.

✵ Сформулюйте властивості функції у = для парного n та для непарного п.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Знайдіть область визначення і область значень функції (12.1-12.2):

12.1.

12.2.

Схематично побудуйте графік функції (12.3—12.4):

12.3.

12.4.

12.5. Чи належить графіку функції у = точка:

1) А(0; 1);

2) В(16; 2);

3) С(-1; 1);

4) D(0; 0)?

12.6. Чи належить графіку функції у = точка:

1) А( 1; 1);

2) В(-8; 2);

3) С(8; -2);

4) D(-1; -1)?

2. За допомогою геометричних перетворень побудуйте схематично графік функції (12.7—12.8):

12.7.

12.8.

Чи перетинаються графіки функцій (відповідь обґрунтуйте) (12.9-12.10):

12.9.

12.10.

Порівняйте числа (12.11—12.12):

12.11.

12.12.

Знайдіть область визначення функції (12.13—12.14):

12.13.

12.14.

Знайдіть множину значень функції (12.15—12.16):

12.15.

12.16.

12.17. Оцініть значення виразу , якщо:

12.18. Оцініть значення виразу , якщо:

3. Побудуйте графік функції (12.19-12.20):

12.19.

12.20.

Між якими двома послідовними цілими числами на координатній прямій міститься число (12.21-12.22):

12.21.

12.22.

Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній прямій між числами (12.23-12.24):

12.23.

12.24.

Знайдіть область визначення функції (12.25—12.26):

12.25.

12.26.

Порівняйте числа (12.27—12.28):

12.27.

12.28.

4. Розв’яжіть рівняння графічно (12.29—12.30):

12.29.

12.30.

Порівняйте числа (12.31—12.32):

12.31.

12.32.

12.33. Для скління музейних вітрин в одній з трьох фірм треба замовити 28 однакових скляних прямокутників. Площа кожного скла 0,25 м ². У таблиці зазначено ціни на скло і на різку скла. Скільки буде коштувати найдешевше замовлення?

12.34. Доведіть, що число n ⁹ - n ³, n ∊ N, кратне числу 504.

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

12.35. Розв’яжіть рівняння: