Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 13 ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Рівняння називають ірраціональним, якщо воно містить змінну під знаком кореня.

Розглянемо деякі види ірраціональних рівнянь і методи їх розв’язування.

1. Рівняння = а, n N, n ≥ 2

Розглянемо рівняння = а, де а - деяке число, n N, n ≥ 2.

Нехай n - парне. Знайдемо розв’язки рівняння графічно. Побудуємо графіки функцій у = , n - парне, і у = а (мал. 13.1).

Якщо а ≥ 0, то рівняння = а має розв’язки. Оскільки = а, якщо а ≥ 0, то х = аⁿ - єдиний корінь рівняння у випадку а ≥ 0. Якщо ж а < 0, то рівняння коренів не має.

Мал. 13.1

Мал. 13.2

Якщо n - непарне, то для будь-якого значення а рівняння має тільки один корінь (мал. 13.2). Оскільки = а, то х = аⁿ - єдиний корінь рівняння.

Систематизуємо дані про розв’язки рівняння = а у вигляді схеми.

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

Розв'язання.

Відповідь.

1) 8;

2) 49;

3) немає коренів;

4) 43.

2. Рівняння вигляду = , n ∈ N, n ≥ 2

Оскільки функція у = для будь-якого n ∈ N кожного свого значення набуває лише один раз, то з рівності = випливає, що f(x) = g(x).

У випадку непарного n функції f(х) і g(x) можуть набувати будь-яких значень. Тому рівняння = для непарного n буде рівносильне рівнянню f(x) = g(x).

Якщо ж n — парне, то областю допустимих значень рівняння є такі значення х, для яких одночасно справджуються умови f(х) ≥ 0 і g(x) ≥ 0. Тому у випадку парного n рівняння = буде рівносильне одній із систем

У першій системі умову g(x) ≥ 0 ми не писали, оскільки при виконанні умов f(х) = g(x) і f(х) ≥ 0 умова g(x) ≥ 0 виконується автоматично. Аналогічно й у другій системі умова f(x) ≥ 0 є зайвою. Записуючи систему для розв’язування рівняння = , яку саме з двох нерівностей f(x) ≥ 0 або g(x) ≥ 0 вибирати залежить від того, яку з них легше розв’язати.

Систематизуємо дані про розв’язки рівняння = у вигляді схеми.

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

2) Рівняння рівносильне системі:

тобто:

звідки отримаємо, що х = 2.

Відповідь. 1) 13; 2) 2.

3. Рівняння вигляду =g(x), n ∈ N, n ≥ 2

Загальним методом розв’язування рівняння ( = g(x) є піднесення лівої і правої частин рівняння до степеня n.

Якщо n — непарне число, то піднесення обох частин рівняння до степеня є рівносильним перетворенням рівняння.

Отже, у випадку непарного n рівняння = g(x) буде рівносильне рівнянню f(х) = gⁿ(x), де gⁿ(x) = (g(х))ⁿ.

Якщо n — парне число, то ліва частина рівняння = g(x) є невід’ємною, тому невід’ємною має бути і права його частина. Отже, для рівносильних перетворень рівняння умова g(х) ≥ 0 є обов’язковою. Після піднесення обох частин рівняння до степеня n, отримаємо: f(x) = gⁿ(х), де gⁿ(х) ≥ 0 (оскільки n — парне), тому f(x) ≥ 0. Отже, у випадку парного n рівняння рівносильне системі

Умову f(х) ≥ 0 (ОДЗ рівняння) включати в систему необов’язково, оскільки, як було зазначено вище, з рівності f(х) = gⁿ(x), де f - парне число, автоматично випливає, що f(х) ≥0.

Систематизуємо дані про розв’язки рівняння = g(x) у вигляді схеми.

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. 1) Піднесемо ліву і праву частини рівняння до третього степеня, отримаємо рівняння: х³ + х² - 2х = х³, розв’язавши яке матимемо: х₁ = 0; х₂ = 2.

2) Рівняння рівносильне системі:

х = 4 - єдиний розв’язок системи, а отже, єдиний корінь рівняння.

Відповідь.

1) 0; 2;

2) 4.

4. Розв’язування ірраціональних рівнянь. що містять кілька квадратних коренів

Розв’язування рівняння вигляду ± = а, де а - деяке число, + = та їм подібні доцільно починати зі знаходження ОДЗ рівняння, а далі скористатись одним із двох нижченаведених способів розв’язування.

1-й спосіб. Послідовність дій може бути такою:

1) знайти ОДЗ рівняння;

2) записати рівняння так, щоб обидві його частини стали невід’ємними, наприклад, перенести доданки з однієї частини рівняння в іншу;

3) піднести ліву і праву частини отриманого рівняння до квадрата, спростити його та звести до більш простого ірраціонального рівняння;

4) розв’язати отримане рівняння та з отриманих коренів вилучити сторонні, тобто ті, що не належать ОДЗ початкового рівняння.

Приклад 4. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Знайдемо ОДЗ рівняння, розв’язавши систему

звідки отримаємо, що х ≥ 2.

Перенесемо вираз у праву частину рівняння, матимемо: = 1 + . Оскільки тепер обидві частини рівняння - невід’ємні, піднесемо їх до квадрата та розв’яжемо отримане рівняння:

Оскільки 3 належить ОДЗ початкового рівняння, то і є його коренем.

Відповідь. 3.

2-й спосіб полягає в тому, щоб після знаходження ОДЗ рівняння обидві його частини підносять до квадрата, не вимагаючи їх невід’ємності. Але такий спосіб може призвести до появи сторонніх коренів. Для виявлення сторонніх коренів можна запропонувати два підходи. Перший полягає в тому, щоб виконати перевірку отриманих коренів підстановкою в початкове рівняння. Але, якщо отримані корені - ірраціональні, перевірка буде доволі громіздкою. Другий підхід полягає у тому, щоб перейти до системи, рівносильної даному рівнянню. Таку систему можна отримати, якщо доповнити рівняння, у якому записано ліву і праву частини, піднесені до квадрата, нерівністю, що забезпечує однаковий знак обох частин.

Приклад 5. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. ОДЗ рівняння задається системою

Ліва і права частини заданого рівняння невід’ємні, тому їх можна підносити до квадрата, але це призводить до досить громіздких обчислень (перевірте це самостійно). Тому доцільніше один з ірраціональних виразів, наприклад , перенести у праву частину. Матимемо: = 5 — . Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата і розв’яжемо його. Оскільки права частина останнього рівняння може бути як додатною, так і від’ємною, то таке перетворення не є рівносильним, тому отриманий корінь слід перевірити.

Перевірка:

Отже, число 1 - єдиний корінь рівняння.

Відповідь. 1.

Приклад 6. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Знайдемо ОДЗ рівняння, розв’язавши систему нерівностей:

з якої маємо: х ≥ -0,5.

Обидві частини рівняння є невід’ємними. Піднесення їх до квадрата призведе до громіздких обчислень. Тому вираз перенесемо у праву частину:

Отримане рівняння можна розв’язати тим самим способом, що й попереднє, а можна підійти до розв’язування інакше. Ліва частина отриманого рівняння — невід’ємна, тому невід’ємною має бути і права частина. Отже, рівняння рівносильне системі:

Перше рівняння має корені х₁ = -, х₂ = -0,5. Але лише другий задовольняє як умову х ≥ -3, так і ОДЗ рівняння. Оскільки всі перетворення рівняння були рівносильними, то перевірка не є обов’язковою. Отже, х = -0,5 - єдиний корінь рівняння.

Відповідь. -0,5.

Отже, розв’язувати рівняння, що містять кілька знаків радикала, можна в такій послідовності:

1) знайти ОДЗ рівняння;

2) піднести до квадрата обидві його частини;

3) після спрощень отримати простіше ірраціональне рівняння і розв’язати його;

4) виконати перевірку отриманих коренів.

Або в такій послідовності:

1) знайти ОДЗ рівняння;

2) піднести до квадрата обидві його частини;

3) скласти систему умов, доповнивши отримане після піднесення до квадрата рівняння нерівністю (або нерівностями), що забезпечують однаковий знак лівої і правої частин рівняння;

4) розв’язати отриману систему;

5) виключити з її розв’язків ті, що не належать ОДЗ початкового рівняння.

5. Метод заміни змінної в ірраціональному рівнянні

Деякі ірраціональні рівняння зручно розв’язувати, зводячи їх до раціональних заміною = t.

Приклад 7. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Зробимо заміну = t, очевидно, що t > 0. Тоді - t = 1, звідки маємо t₁ = 2; t₂ = -3. Умову t > 0 задовольняє лише t₁.Повертаємося до заміни: = 2; звідки х = 1.

Відповідь. 1.

Приклад 8. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Нехай

тоді матимемо

Отже, маємо рівняння:

корені якого: t₁ =2, t₂ = 3. Обидва корені задовольняють умову t ≥ 0. Повертаємося до заміни:

1) якщо t = 2, то = 2; тоді х = 66.

2) якщо t = 3, то = 3; тоді х = 731.

Відповідь. 66; 731.

Приклад 9. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Нехай

Маємо рівняння: t² - 20 + t - 22 = 0, тобто t² + t - 42 = 0, звідки t₁ = 6, t₂ = -7. Враховуючи обмеження на t, маємо, що t = 6. Повертаємося до заміни: = 6. Тоді: х² + 20 = 6², тобто х² = 16, отже, х_1,2 = ±4.

Відповідь. ±4.

Приклад 10. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Нехай

Враховуючи, що 2,5 = 2 + , маємо рівняння: у + = 2 + , звідки у₁ = 2, у₂ = . Повертаємося до заміни:

1) Якщо у = 2, то

Маємо:

звідки z = 2.

2) Якщо у = , то

Маємо:

звідки z = - .

Відповідь. 2; - .

6. Розв’язування ірраціональних рівнянь з параметрами

Розглянемо, як розв’язувати ірраціональні рівняння з параметрами.

Приклад 11. Для всіх значень параметра а розв’яжіть рівняння

Розв'язання. Треба розглянути два випадки: а² - 1 = 0 і а² - 1 ≠ 0.

1) Нехай а² - 1 = 0, тоді а = 1 або а = -1.

Якщо а = 1, маємо рівняння: 0 · = 0, тоді коренем є будь-яке число з ОДЗ рівняння. Отже, х ≥ 0;

Якщо а = -1, маємо рівняння: 0 · = -2, яке не має коренів.

2) Нехай а² - 1 ≠ 0, тобто а ≠ 1; а ≠ -1. Тоді = тобто = .

Якщо а + 1 > 0, тобто а > -1, то х = .

Якщо а + 1 < 0, тобто а < -1, то рівняння не має коренів.

Відповідь. Якщо а ≤ -1, коренів немає; якщо а = 1, то х ≥ 0; якщо -1 < а < 1 або а > 1, то х = .

Приклад 12. Для всіх значень параметра а розв'яжіть рівняння

Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді:

ОДЗ рівняння: х ≥ 5.

Очевидно, що х = 5 - корінь рівняння для будь-якого а. Розглянемо рівняння для х > 5. Для таких значень х маємо, що х - 5 > 0, і рівняння можна записати у вигляді:

Поділимо обидві його частини на , отримаємо:

Розглянемо функцію

для х ≥ 5. Вона є зростаючою, як сума двох зростаючих функцій, а її найменше значення дорівнює у(5). Знайдемо це значення:

Тоді для а ≥ 2 + рівняння + = а матиме єдиний розв’язок, та не буде мати розв’язків, якщо а < 2 + . Запишемо рівняння у вигляді = а - і знайдемо його корінь за умови, що а ≥ 2 + . Маємо:

Мал. 13.3

Оскільки

для а ≠ 2 + .

Отже, остаточно маємо:

тоді

Відповідь. Якщо а < 2 + , то х = 5; якщо а ≥ 2 + , то

Приклад 13.

При яких значеннях параметра а рівняння = х має лише один корінь?

Розв’язання. Оскільки ліва частина рівняння невід’ємна, то х ≥ 0. Виконаємо заміну: = у, тоді у ≥ 0 і а + у = х². Початкове рівняння набуде вигляду: = х, тобто а + у = х². Маємо:

Додамо почленно рівняння системи: у² - х² + у - х = 0. Розкладемо ліву частину отриманого рівняння на множники: (y - х)(у + х + 1) = 0.

Оскільки х ≥ 0, у > 0, то у + х + 1 > 0, і рівняння рівносильне рівнянню у = х. Повертаючись до рівнянь системи, маємо: х² - х - а = 0, х ≥ 0. Знайдемо дискримінант цього рівняння: D = 1 + 4а та його корені.

1) Нехай D = 0, тобто а = -0,25, маємо: х² - х + 0,25 = 0; x = 0,5 - єдиний корінь рівняння.

2) Нехай D > 0, але один з коренів є від’ємним. Розглянемо функцію у(х) = х² - х - а.

Тоді очевидно, що для того, щоб один з коренів був додатним, а інший - від’ємним, достатньо виконання умови: y(0) < 0 (мал. 13.4).

Але y(0) = -а; тоді -а < 0, тобто а > 0.

Відповідь. а = -0,25; а > 0.

Мал. 13.4

Приклад 14. Скільки коренів залежно від значень параметра а має рівняння

Розв’язання. Область допустимих значень рівняння знайдемо з умови х² - 3х + 2 ≥ 0, тобто (х - 1)(х - 2) ≥ 0, отже, х ∈ (-∞; 1] ∪ [2; +∞).

Розв’язуючи рівняння, отримаємо корені x₁ = 1 і x₂ = 2 для будь-якого значення параметра а та корінь х = -а. Останній корінь має задовольняти ОДЗ, тобто -а ≤ 1 або -а ≥ 2, що справджується за умови: а ≥ -1 або а ≤ -2.

Якщо а = -1 або а = -2, то отримаємо корінь, що збігатиметься з раніше знайденим (х = 1 і х = 2 відповідно).

Якщо ж а < -2 або а > -1, то х₃ = -а - третій корінь рівняння.

Відповідь. Якщо а < -2 або а > -1, то рівняння має три корені, а якщо -2 ≤ а ≤ -1, то рівняння має два корені.

• Які рівняння називають ірраціональними?

• Як розв’язують рівняння — а, де а — число, у випадку парного n і у випадку непарного n?

• Як розв’язують рівняння = у випадку парного n і випадку непарного n?

• Як розв’язують рівняння = g(x) у випадку парного n і випадку непарного n?

• Як можна розв’язувати ірраціональні рівняння, що містять кілька квадратних коренів?

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. 13.1. (Усно.) Які з рівнянь є ірраціональними:

Чи є число а коренем рівняння (13.2—13.3):

13.2.

13.3.

Розв’яжіть рівняння (13.4—13.31):

13.4.

13.5.

13.6.

13.7.

2. 13.8.

13.9.

13.10.

13.11.

13.12.

13.13.

13.14.

13.15.

3. 13.16.

13.17.

13.18.

13.19.

13.20.

13.21.

13.22.

13.23.

13.24.

13.25.

13.26.

13.27.

13.28.

13.29.

13.30.

13.31.

4. За допомогою заміни змінної розв’яжіть рівняння (13.32— 13.33):

13.32.

13.33.

Для всіх значень параметра а розв’яжіть рівняння (13.34—13.35):

13.34.

13.35.

Розв’яжіть рівняння (13.36—13.37):

13.36.

13.37.

13.38. Скільки коренів має рівняння

залежно від значень параметра а?

13.39. Скільки коренів має рівняння

залежно від значень параметра а?

Для всіх значень параметра а розв’яжіть рівняння (13.40-13.41):

13.40.

13.41.

Розв’яжіть рівняння (13.42—13.43):

13.42.

13.43.

13.44. Агенція «Престиж» займається визначенням рейтингу фенів для волосся за співвідношенням «ціна-якість». Рейтинг обчислюють на основі середньої ціни Р і оцінок функціональності F, якості Q і дизайну D. Кожен окремий показник оцінюють експерти за 5-бальною шкалою цілими числами від 0 до 4. Підсумковий рейтинг обчислюють за формулою R = 3(F + Q) + D - 0,01Р.

У таблиці зазначено оцінку кожного з показників для кількох моделей фенів. Визначте, яка модель має найнижчий рейтинг і яка — найвищий.

13.45. Доведіть, що для будь-яких додатних чисел а, b і с справджується нерівність:

Підготуйтеся до вивчення нового матеріалу

13.46. Чи є число 4 розв’язком нерівності:

13.47. Укажіть деякі три числа, що є розв’язками нерівності: