Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ В НЕРІВНОСТІ

§ 28 НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

Рівняння, що містить змінну під знаком тригонометричної функції, називають тригонометричним рівнянням.

Такі рівняння ми вже розглядали у вправах 17.23-17.26, де шукали окремі їх розв’язки. Також тригонометричними є рівняння:

тощо.

У цьому параграфі навчимося знаходити множину всіх розв’язків рівнянь вигляду sin t = a, cos t = a, tg t = a, ctg t = а, де а - будь-яке число, t - змінна або вираз зі змінною, які називають найпростішими тригонометричними рівняннями.

1. Рівняння соs t = а

Якщо а < -1 або а > 1, то рівняння cos t = а розв’язків не має, оскільки соs t ≤ 1 для будь-якого значення t.

Нехай -1 ≤ а ≤ 1, тоді рівняння має розв’язки. Проілюструємо їх на одиничному колі. За означенням, cos t - це абсциса точки P _t одиничного кола. Тому розв’язками рівняння cost = а будуть кути, абсциси точок яких на одиничному колі дорівнюють а. Для |а| < 1 таких кутів буде два, їм на колі відповідають дві точки (мал. 28.1 і 28.3), а для а = 1 та а = -1 - по одному куту (мал. 28.2).

Мал. 28.1

Мал. 28.2

Мал. 28.3

Оскільки cos t ₁= а і t ₁∈ [0; ], то t ₁= arccos а. Тоді t ₂= -t ₁= - arccos а. Ураховуючи, що функція у = cos x є періодичною з найменшим додатним періодом 2 , маємо формули коренів рівняння cos t = а: t ₁= arccos а + 2 n, n ∈ Z і t ₂= -arccos а + 2 n, n ∈ Z.

Ці розв’язки рівняння cos t = а можна об’єднати в одну формулу:

Якщо а = -1, а = 0, а = 1, матимемо часткові випадки рівняння cos t = а, які зручніше розв’язувати не за формулою (1), а використовуючи одиничне коло:

1) якщо cos t = -1, то t = + 2 k, k ∈ Z (мал. 28.2);

2) якщо cos t = 0, то t = + k, k ∈ Z (мал. 28.3);

3) якщо cos t = 1, то t = 2 k, k ∈ Z (мал. 28.2).

Подамо розв’язки рівняння cos t = a y вигляді таблиці:

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

За формулою (1):

Оскільки

то розв’язків немає.

За формулою (1), маємо:

Значення arccos можна знайти лише наближено (наприклад, за допомогою калькулятора). У прикладних задачах знаходять наближено: arccos ≈ 1,4274 і так само наближено записують розв’язки: х ≈ ±1,4274 + 2Зk, k ∈ Z. У математиці ж залишають точний розв’язок:

4) cos 4x = 0 - це частковий випадок. Отже, маємо:

Відповідь.

2) розв’язків немає;

2. Рівняння sin t = а

Якщо а < - 1 або а > 1, то рівняння sin t = а розв’язків не має, оскільки |sin t| < 1 для будь-якого значення t.

Нехай -1 ≤ a ≤ 1. Тоді рівняння має розв’язки. Проілюструємо їх на одиничному колі. За означенням, sin t - це ордината точки Р _t одиничного кола. Тому розв’язками рівняння будуть кути, ординати точок яких на одиничному колі дорівнюють а. Для |а| < 1 таких кутів буде два, їм на колі відповідають дві точки (мал. 28.4 і 28.6), а для а = 1 або а = -1 - по одному куту (мал. 28.5).

Мал. 28.4

Мал. 28.5

Мал. 28.6

Оскільки

Тоді

Ураховуючи, що функція у = sin x є періодичною з найменшим додатним періодом 2 , маємо формули коренів рівняння sin t = а:

Ці розв’язки рівняння sin t = а можна об’єднати в одну формулу:

Справді, якщо у формулу (2) підставити парне k, тобто k = 2n, n ∈ Z, отримаємо, що t = arcsin а + 2 n. Якщо ж підставити непарне k, тобто k = 2n + 1, n ∈ Z, отримаємо, що t = - arcsin а + 2 n.

Якщо а = -1, а = 0, а = 1, матимемо часткові випадки рівняння sin t = а, які, як і у випадку рівняння cos t = а, зручніше розв’язувати, використовуючи одиничне коло:

Подамо розв’язки рівняння sin t = а у вигляді таблиці:

Приклад 2.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

За формулою (2):

тобто

Оскільки

то

Оскільки -3 < -1, то розв’язків немає.

Маємо частковий випадок. Тоді:

звідси

отже,

Відповідь.

3. Рівняння tg t = а

Оскільки tg t може набувати будь-яких дійсних значень, то рівняння tg t = а має розв’язки для будь-якого а. Знайдемо їх на одиничному колі.

На лінії тангенсів існує єдина точка D _t, ордината якої дорівнює а (мал. 28.7). Сполучимо точку із центром кола О. Промінь ОD _t перетинає одиничне коло в точці Р _t, яка відповідає куту і такому, що tg t = а і

Тоді t = аrctg а. Це і є розв’язок рівняння tg t = а.

Оскільки функція у = tg x періодична з найменшим додатним періодом , то маємо формулу коренів цього рівняння:

Мал. 28.7

Приклад 3.

Розв’язати рівняння:

Розв'язання. За формулою (3) маємо:

4. Рівняння ctg t = а

Оскільки ctg t може набувати будь-яких дійсних значень, то рівняння ctg t = а має розв’язки для будь-якого а.

Знайдемо їх на одиничному колі.

Міркуючи так само, як і для рівняння tg t = а (мал. 28.8), отримаємо, що множину розв’язків рівняння ctg t = а можна задати формулою:

Мал. 28.8

Приклад 4.

Розв’язати рівняння:

Розв’язання. 1)3а формулою (4) маємо:

2) Оскільки невідомий кут задано у градусах, то й формулу (4) також використаємо у градусах. Ураховуючи, що

маємо:

Відповідь.

5. Тригонометричні рівняння, що зводяться до найпростіших

Розв’язування тригонометричних рівнянь, що не є найпростішими, за допомогою тригонометричних формул та тотожних перетворень зводять до розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

Приклад 5. Розв’язати рівняння:

Розв’язання.

1) Оскільки

матимемо:

Відповідь.

2) Помножимо обидві частини рівняння на 2, матимемо: 2sin x cos x = -1.

Ураховуючи, що 2 sin х cos x = sin 2X, отримаємо частковий випадок найпростішого рівняння:

Відповідь.

Приклад 6. Знайти корені рівняння

що належать проміжку

Розв’язання. Спочатку знайдемо всі корені рівняння, а потім виберемо з них ті, що належать даному проміжку. Зведемо рівняння до найпростішого методом допоміжного кута (§ 23, п. 4). Поділимо обидві частини рівняння на , матимемо:

Ураховуючи, що

отримаємо:

Спростивши ліву частину, матимемо:

звідки

отже,

Тепер з отриманої множини коренів виберемо ті, що належать проміжку

Запишемо для коренів умову їх належності цьому проміжку:

Розв’язавши отриману нерівність, знайдемо саме ті значення k, при яких корені належатимуть даному проміжку:

Оскільки k ∈ Z, розв’язками нерівності є k = 0 і k = 1. Отже, даному проміжку належать два корені рівняння. Знайдемо їх:

Відповідь.

Приклад 7. Знайти найбільший від’ємний корінь рівняння

Розв’язання. Щоб знайти найбільший від’ємний корінь рівняння, треба знайти множину всіх коренів рівняння, а потім вибрати з неї найбільше від’ємне число.

Перетворимо ліву частину рівняння:

Маємо рівняння:

яке рівносильне системі:

Система рівносильна рівнянню: sin 2x = 1, що є найпростішим. Розв’яжемо його: 2х = 90° + 360°k, k ∈ Z; х = 45° + 180°k, k ∈ Z.

Отримали множину коренів початкового рівняння.

Тепер виберемо із цієї множини найбільше від’ємне число. Очевидно, що при k ≥ 0 всі корені будуть додатними, а при k < 0 — від’ємними. Оскільки значення кореня залежить від значення k, то найбільшим коренем серед від’ємних буде той, який отримано для найбільшого від’ємного значення k, тобто для k = -1.

Якщо k = -1, то 45° + 180°k = 45° + 180° · (-1) = -135°.

Відповідь. -135°.

6. Сторонні корені тригонометричних рівнянь

Якщо область допустимих значень (ОДЗ) змінної у рівнянні, яке не є найпростішим, не є множиною всіх дійсних чисел, то під час розв’язування рівняння зведенням його до найпростішого можлива поява сторонніх коренів. Це можливо і тоді, коли перетворення тригонометричних виразів у рівнянні призводить до розширення його ОДЗ.

У більшості випадків уникнути появи сторонніх коренів дозволяє метод рівносильних перетворень тригонометричних рівнянь, що полягає в заміні початкового рівняння рівносильною йому системою рівнянь і нерівностей (додаткових умов, пов’язаних з ОДЗ змінної у рівнянні, які допоможуть виявити і вилучити сторонні корені).

Розглянемо застосування цього методу на прикладах.

Приклад 8. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Маємо рівносильну рівнянню систему:

Розв’язки системи покажемо на одиничному колі. Домовимося, розв’язки тих співвідношень системи, що є рівняннями (у нашому випадку - перший рядок системи), позначати на колі точками, а тих співвідношень, що не є рівняннями, тобто відповідають за відбір коренів (у нашому випадку - це другий рядок системи) позначати на колі «хрестиками». Коренями рівняння cos х = 0 є значення х, яким на одиничному колі відповідають точки і . Коренями рівняння sin х = -1 є значення х, яким на одиничному колі відповідає точка .

Ураховуючи, що другий рядок системи мас вигляд sin х ≠ -1, позначимо точку «хрестиком» (мал. 28.9). Це означає, що в такий спосіб ми вилучили («викреслили») точку, що відповідає стороннім кореням, тобто вилучили сторонні корені, які з’явилися після розв’язання рівняння cos х = 0, яким ми замінили початкове рівняння.

Отже, множиною розв’язків початкового рівняння є ті значення х, яким на одиничному колі відповідають точки без «хрестиків». Це кути вигляду

Відповідь.

Мал. 28.9

Приклад 9. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Для розв’язування цього і подібних йому рівнянь, можна скористатися періодичністю тригонометричних функцій. За умовою, маємо рівність значень тангенсів кутів 3х і 5х. Ураховуючи періодичність тангенса, ці значення можуть бути рівними лише тоді, коли кути між собою рівні або різняться на число, кратне числу . Тому, з урахуванням цього та ОДЗ тангенса, рівняння

tg 5x = tg 3x рівносильне системі:

З першого рівняння системи отримаємо корені вигляду

Перевіримо, чи є серед них сторонні, тобто ті, які не задовольняють хоча б одну з умов cos 5х ≠ 0 або cos 3х ≠ 0.

Якщо k = 2n + 1, n ∈ Z, тобто k - непарне, то

отже, корені мають вигляд

Підставимо ці корені, наприклад, у рівняння cos 3x = 0. Матимемо:

Отже, для коренів вигляду

умова cos 3x ≠ 0 не виконується, тому це сторонні корені.

Якщо k = 2n, n ∈ Z, тобто k - парне, то

отже, корені мають вигляд х = n, n ∈ Z. Знайдемо значення виразів соs 5х та соs 3х для цих значень х. Матимемо:

Отже, корені вигляду х = n, n ∈ Z задовольняють кожну з умов соs 5х ≠ 0 та соs 3х ≠ 0.

Доходимо висновку, що коренями початкового рівняння є лише числа вигляду х = n, n ∈ Z.

Відповідь. n, n ∈ Z.

✵ Яке рівняння називають тригонометричним?

✵ Запишіть формули для розв’язування рівняння sin t = a у випадках: а = -1; а = 0; а = 1 і |а| < 1, а ≠ 0.

✵ Запишіть формули для розв’язування рівняння cos t = а у випадках: а = -1; а = 0; а = 1 і |а| < 1, а ≠ 0.

✵ Запишіть формулу для розв’язування рівняння tg t = а.

✵ Запишіть формулу для розв’язування рівняння ctg t = а.

Розв’яжіть задачі та виконайте вправи

1.Чи має корені рівняння (28.1—28.2):

28.1.

28.2.

Розв’яжіть рівняння (28.3—28.10):

28.3.

28.4.

2. 28.5.

28.6.

28.7.

28.8.

28.9.

28.10.

Знайдіть область визначення функції (28.11—28.12):

28.11.

28.12.

3. Розв’яжіть рівняння (28.13—28.17):

28.13.

28.14.

28.15.

28.16.

28.17.

28.18. Складіть рівняння, розв’язками якого є числа:

За допомогою тригонометричних формул зведіть рівняння до найпростішого і розв’яжіть його (28.19-28.20):

28.19.

28.20.

Розв’яжіть рівняння (28.21—28.26):

28.21.

28.22.

28.23.

28.24.

28.25.

28.26.

28.27. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння:

28.28. Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння:

28.29. Знайдіть найменший додатний і найбільший від’ємний

корені рівняння

28.30. Розв’яжіть рівняння

і знайдіть ті його корені, що належать проміжку

28.31. При яких значеннях а має корені рівняння:

28.32. При яких значеннях b має корені рівняння:

4. Розв’яжіть рівняння (28.33—28.36):

28.33.

28.34.

28.35.

28.36.

Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння (28.37—28.38):

28.37.

28.38.

Розв’яжіть рівняння (28.39—28.40):

28.39.

28.40.

28.41. Знайдіть усі розв’язки рівняння

Що належать проміжку

28.42. Знайдіть усі розв’язки рівняння

Що належать проміжку [0; ].

Розв’яжіть рівняння (28.43—28.44):

28.43.

28.44.

28.45. Серед коренів рівняння

знайдіть той, що має найменшу відстань до числа 2 на числовій осі.

28.46. Серед коренів рівняння

знайдіть той, що має найменшу відстань до числа на числовій осі.

28.47. Визначте кількість коренів рівняння cos х = а на проміжку

залежно від значень параметра а.

28.48. Визначте кількість коренів рівняння sin х = а на проміжку

залежно від значень параметра а.

Для всіх значень параметра а розв’яжіть рівняння (28.49—28.50):

28.49.

28.50.

Знайдіть усі цілі корені рівняння (28.51—28.52):

28.51.

28.52.

Розв’яжіть рівняння (28.53—28.54):

28.53.

28.54.

28.55. Знайдіть усі розв’язки рівняння ctg(3 cos x) = 1, що задовольняють умову - 2 < х < - .

28.56. Знайдіть усі розв’язки рівняння tg(3 sin x) = 1, що задовольняють умову

28.57. Клієнт планує орендувати автомобіль на добу для поїздки на відстань 400 км. У таблиці наведено характеристики трьох автомобілів і вартість їх оренди. Крім оренди, клієнт зобов’язаний оплатити паливо для автомобіля на всю поїздку. Яку суму заплатить клієнт за оренду і паливо, якщо вибере найдешевший варіант?

Ціна дизельного палива - 20 грн за літр, бензину - 22 грн за літр, газу - 12 грн за літр.

28.58. (Національна олімпіада Швеції) Числа 1; 2; 3; …; n переставлено в деякому порядку а ₁, а ₂, …, а _n. Доведіть,що коли n - непарне число, то добуток (а ₁ - 1)(а ₂ - 2) … (а _n - n) є парним числом.