Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - О. С. Істер - Генеза 2018 рік

РОЗДІЛ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ В НЕРІВНОСТІ

§ 29 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ ЗА ДОПОМОГОЮ ЗАМІНИ ЗМІННОЇ

У цьому параграфі розглянемо ті, відмінні від найпростіших, тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних рівнянь введенням нової змінної (заміни змінної).

1. Рівняння з очевидною заміною змінної

Якщо тригонометричне рівняння містить одну й ту саму тригонометричну функцію одного й того самого аргументу (або зводиться до такого рівняння), то, увівши замість цієї функції нову змінну, отримаємо алгебраїчне рівняння відносно нової змінної.

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Нехай cos х - t, тоді |t| ≤ 1. Маємо рівняння: 2t² - 3t + 1 = 0, корені якого: t₁ = 1, t₂ = 0,5. Повертаємося до заміни: 1) t = 1, тоді cos x = 1, отже, х = 2k, k ∈ Z.

2) t = 0,5, тоді cos х = 0,5, отже, х = ± + 2n, n ∈ Z.

Відповідь.

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Нехай tg x = t. Тоді маємо рівняння: = t, яке рівносильне системі:

звідки t = 1.

Повертаємося до заміни: tg x= 1, отже,

Відповідь.

Розглянемо рівняння, що містять різнойменні тригонометричні функції або одну й ту саму функцію різних аргументів. Зазвичай після використання відповідних тригонометричних формул удається звести таке рівняння до рівняння відносно однієї тригонометричної функції одного й того самого аргументу, після чого застосовують заміну змінних.

2. Рівняння вигляду F(tg f(x), ctg f(x)) = 0

У таких рівняннях використовуємо взаємну оберненість тангенса і котангенса, тим самим зводимо рівняння до рівняння, що міститиме тільки тангенс

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. ОДЗ рівняння: cos х ≠ 0 і sin х ≠ 0.

Оскільки

рівняння на ОДЗ набуває вигляду:

Нехай tg x = t. Маємо рівняння:

корені якого t₁ = -1 і t₂ = -2. Повертаємося до заміни:

Відповідь.

3. Рівняння вигляду F(cos²ⁿ f(х), sin f(x)) = 0 або F(sin²ⁿ f(х), cos f(x)) = 0, n ∈ N

У таких рівняннях використовуємо основну тригонометричну тотожність sin² а + cos² а = 1, яка дозволяє виразити синус через косинус, або навпаки, та звести рівняння до рівняння відносно однієї з функцій синуса або косинуса.

Приклад 4. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Оскільки cos² 2х = 1 - sin² 2х, матимемо рівняння: 6(1 -sin² 2х) + 5 sin 2х - 2 = 0. Спростивши його І ліву частину, відносно sin 2х отримаємо рівняння вигляду: -6 sin² 2х + 5 sin 2x + 4 = 0. Уведемо заміну: sin 2x = t, |t|≤ 1.

Отримаємо рівняння: 6t² - 5t - 4 = 0, корені якого t₁= - і t₂ = 1. Число 1 не задовольняє умову |t| ≤ 1. Повертаємося до заміни: t = -, тоді sin 2x = -, тобто

k ∈ Z, отже,

Відповідь.

4. Рівняння вигляду F(cos 2f(x), cos f(x)) = 0 і F(cos 2f(x), sin f(x)) = 0

Якщо до першого рівняння застосуємо формулу cos 2а = 2 cos²а - 1, то отримаємо рівняння відносно косинуса. Якщо до другого рівняння застосуємо формулу cos 2а = 1 - 2 sin²а, то отримаємо рівняння відносно синуса.

Приклад 5. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Оскільки cos 2x = 1 - 2 sin² х, маємо рівняння: 1 - 2 sin² х - 5 sin х - 3 = 0. Нехай sin х = t, |t| ≤ 1, маємо рівняння: 2t² + 5t + 2 = 0, корені якого t₁ = - і t₂ = -2,з яких лише задовольняє умову |t| < 1. Повертаємося до заміни: sin x = - , тобто

Відповідь.

5. Рівняння вигляду F(sin f(x) ± cos f(x); sin 2f(x)) = 0

У рівняннях такого вигляду доцільною є заміна t = sin х ± cos х. Тоді t² = sin² х ± 2 sin х cos х + cos² х, тобто t² - 1 = ± sin 2х, звідки sin 2х = ±(t² - 1).

Зауважимо, що

Отже, використовуючи заміну t = sin х ± соs х, слід пам’ятати, що -≤ t ≤, тобто |t| ≤ .

Приклад 6. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Заміна: t = sin х + cos х. Тоді t² = sin²х + 2 sin х cos x + cos²x = 1 + sin 2x, отже, sin 2x = t² - 1. Після заміни маємо рівняння: t² - 1 + 5t + 1 = 0, звідки t₁ = 0 і t₂= -5.

Ураховуючи, що |t| ≤ , повертаємося до заміни тільки для t = 0. Маємо: sin x + cos x = 0. Уведенням допоміжного кута запишемо рівняння у вигляді:

звідки

отже,

Відповідь.

6. Інші випадки застосування заміни змінної

Розглянемо ще кілька прикладів розв’язування тригонометричних рівнянь за допомогою заміни змінної.

Приклад 7. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. ОДЗ:

Оскільки

рівняння перепишемо у вигляді:

та позначимо

Маємо рівняння:

звідки t = -1. Повертаємося до заміни:

Звідки cos х = -, що задовольняє ОДЗ. Отже, маємо множину коренів початкового рівняння:

Відповідь.

Приклад 8. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. Перетворимо обидві частини рівняння:

тобто

Заміна: cos²х - t, 0 ≤ t ≤ 1. Маємо рівняння:

корені якого:

Корінь t₂ не задовольняє умову 0 ≤ і ≤ 1.

Повертаємося до заміни, отримаємо рівняння:

Перепишемо його у вигляді:

звідки

Відповідь.

Приклад 9. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Заміною зведемо рівняння до системи рівнянь. Нехай

Тоді, за умовою, u + ʋ = 4. Крім того:

Маємо систему рівнянь:

Отримаємо, що u = = 2 (розв’яжіть систему самостійно). Повертаємося до заміни, наприклад, для змінної u:

Тоді маємо рівняння:

Розв’язавши це рівняння, отримаємо, що

Відповідь.

• Назвіть випадки застосовування заміни змінних у тригонометричних рівняннях.

Розв'яжіть задачі та виконайте вправи

1. Розв’яжіть рівняння (29.1—29.20):

29.1.

29.2.

2. 29.3.

29.4.

29.5.

29.6.

29.7.

29.8.

3. 29.9.

29.10.

29.11.

29.12.

29.13.

29.14.

29.15.

29.16.

29.17.

29.18.

29.19.

29.20.

1) 9 ctg² x = 6 - 4 sin² x;

2) 2 tg² x - 7 + 4 cos² x = 0.

29.21. Знайдіть усі розв’язки рівняння 4 - 2 sin² х = 5 cos x, що задовольняють нерівність sin х > 0.

29.22. Знайдіть усі розв’язки рівняння 1 + 2 cos² х — 5 sin x, що задовольняють нерівність cos x> 0.

29.23. Знайдіть усі розв’язки рівняння

що належать проміжку

29.24. Знайдіть усі розв’язки рівняння

що належать проміжку [; 2].

29.25. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння

29.26. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння

4. Розв’яжіть рівняння (29.27—29.30):

29.27.

29.28.

29.29.

29.30.

29.31. Скільки розв’язків, що належать проміжку [0; 2], має рівняння

29.32. Скільки розв’язків, що належать проміжку

має рівняння

29.33. Знайдіть усі корені рівняння

що задовольняють умову tg х < 0.

29.34. Знайдіть усі корені рівняння

що задовольняють умову х > 0.

Розв’яжіть рівняння (29.35—29.40):

29.35.

29.36.

29.37.

29.38.

29.39.

29.40.

29.41. Сашко і Павло разом можуть пофарбувати паркан за 9 годин. Павло та Ігор разом пофарбують той самий паркан за 12 годин, а Сашко та Ігор - за 18 годин. За скільки годин пофарбують паркан ці хлопці, працюючи втрьох?

29.42. (Національна олімпіада Чехословаччини, 1952 р.).

Доведіть, що коли додатні раціональні числа а, b і с задовольняють умову + = с, то числа і також є раціональними.