Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

§ 21. ПОВОРОТ

Нехай дано кут а і точку О (мал. 294). Візьмемо довільну, відмінну від О, точку Х. Точці Х поставимо у відповідність таку точку X', що:

1) кут між променями ОХ і ОХ' дорівнює а;

2) відстані ОХ і ОХ' — рівні.

Такий перехід точки Х у точку X' називають поворотом навколо точки О на кут а проти годинникової стрілки. Сама точка О внаслідок повороту переходить у себе. Точку О називають центром повороту, кут між променями ОХ і ОX' — кутом повороту проти годинникової стрілки (мал. 294).

Якщо центр О і кут а повороту задано, то точку X', у яку переходить точка X унаслідок повороту проти годинникової стрілки, будуємо так (мал. 295): проводимо промінь ОХ; від променя ОХ відкладаємо кут ХОА, що дорівнює куту а; на промені ОА знаходимо точку X', таку, що ОX' = ОX.

Мал. 294

Мал. 295

Якщо на площині дано деяку фігуру F, то для кожної її точки Х можна знайти точку X', у яку перейде точка Х унаслідок повороту навколо точки О на кут а (мал. 296). У результаті одержимо фігуру F', у яку перейшла фігура F при заданому повороті. При цьому точка О переходить у себе.

Поворот на кут 180° навколо точки О є симетрією відносно точки О (мал. 297).

Мал. 296

Мал. 297

ТЕОРЕМА

властивість повороту

Поворот є переміщенням.

Д а н о: перетворення, що є поворотом.

Д о в е с т и: дане перетворення є переміщенням.

Д о в е д е н н я. Нехай поворот навколо точки О на кут а переводить точки Х, Y фігури F у точки Х', Y' фігури F' (мал. 298). Доведемо, що Х'Y' = ХY. Розглянемо загальний випадок, коли точки О, Х, Y не лежать на одній прямій.

∆ОХТ' = ∆ОХY за двома сторонами й кутом між ними. У них ОХ' = ОХ, ОY' = ОY за означенням повороту і ∠Х'ОY' = ∠ХОY (кожний із цих кутів дорівнює різниці кута а й кута YОХ'). З рівності трикутників випливає ХХ' = Х Y. (Випадок, коли точки О, Х, Y лежать на одній прямій, розгляньте самостійно.)

Мал. 298

НАСЛІДОК. Поворот має всі властивості переміщення.

Задача. Побудуйте відрізок, у який переходить відрізок АВ при повороті навколо точки О на кут 70° за годинниковою стрілкою.

Розв’язання Проводимо промені ОА і ОВ (мал. 299). Відкладемо за годинниковою стрілкою ∠АОN = 70° і ∠ВОМ = 70°. На промені ОN відкладемо відрізок ОА' = ОА, а на промені ОМ — відрізок ОВ' = ОВ. Сполучимо точки А' і В'.

Мал. 299

Дізнайтеся більше

Розглянемо фігури, зображені на малюнках 300-302. Кожна з цих фігур внаслідок повороту навколо точки О на деякий кут переходить у себе. Правильний трикутник (мал. 300) переходить у себе при повороті на кут 120° навколо його центра О.

Мал. 300

Мал. 301

Мал. 302

Справді, ОА = ОВ = ОС, ∠AОВ = ∠ВОС = ∠AОС = 120°, тому трикутник АВС переходить у себе при даному повороті.

Аналогічно можна показати, що квадрат переходить у себе при повороті на кут навколо його центра (мал. 301), правильний шестикутник — при повороті на кут навколо його центра (мал. 302). Зрозуміло, що будь-який правильний многокутник з n вершинами переходить у себе внаслідок повороту навколо свого центра на кут .

Пригадайте головне

1. Що таке поворот?

2. Що таке центр повороту; кут повороту?

3. Доведіть, що поворот є переміщенням.

4. Сформулюйте властивості повороту.

Розв'яжіть задачі

950'. На якому з малюнків 303, а — в, точка A перейшла в точку А' унаслідок повороту навколо точки О на кут а?

951'. За допомогою транспортира побудуйте ∠МОN = 60°. На стороні ОМ кута позначте точку Х. На стороні ON знайдіть точку Х', у яку перейде точка Х унаслідок повороту навколо точки О на кут 60°.

Мал. 303

Мал. 304

952'. За клітинками побудуйте відрізок А'В', у який переходить відрізок АВ при повороті навколо точки О на кут 90° проти годинникової стрілки (мал. 304).

953°. Дано точки О і А. Побудуйте точку А', у яку переходить точка А при повороті навколо точки О:

1) на кут 50° за годинниковою стрілкою;

2) на кут 120° проти годинникової стрілки;

3) на кут 180° за годинниковою стрілкою.

954°. Дано відрізок АВ і точку О, що лежить на прямій АВ. Виконайте поворот відрізка АВ навколо точки О:

1) на кут 80° проти годинникової стрілки;

2) на кут 140° за годинниковою стрілкою;

3) на кут 90° за годинниковою стрілкою.

955°. Розв’яжіть задачу 954 за умови, що точка О не лежить на прямій АВ.

956°. Накресліть відрізок АВ. Виконайте поворот відрізка АВ:

1) навколо точки А на кут 150° за годинниковою стрілкою;

2) навколо точки В на кут 60° проти годинникової стрілки;

3) навколо середини відрізка на кут 40° за годинниковою стрілкою.

957°. У яку фігуру перейде при повороті на деякий кут:

1) пряма, що проходить через центр повороту;

2) коло, центр якого збігається із центром повороту;

3) кут з вершиною в центрі повороту?

958°. У трикутнику АОВ АО = ОВ. Побудуйте трикутник, у який переходить трикутник АОВ при повороті навколо точки О:

1) на кут АОВ за годинниковою стрілкою;

2) на кут АОВ проти годинникової стрілки;

3) на кут 120° за годинниковою стрілкою.

959°. Побудуйте кут, у який переходить прямий кут MON при повороті навколо вершини О на кут 45°:

1) за годинниковою стрілкою;

2) проти годинникової стрілки.

960. Накресліть пряму а та позначте точку М, яка не лежить на прямій. Побудуйте пряму, у яку переходить пряма а при повороті навколо точки М:

1) на кут 90° за годинниковою стрілкою;

2) на кут 45° проти годинникової стрілки.

961. Виконайте поворот даного кола навколо точки А на кут 90°, якщо:

1) точка А лежить поза колом; 2) точка А лежить на колі.

962. Позначте точки Х і Х'. Побудуйте геометричне місце центрів поворотів, за яких точка Х переходить у точку Х'.

963. Дано два рівні кола. Знайдіть геометричне місце центрів поворотів, за яких одне коло переходить у друге.

964. Побудуйте фігуру, у яку переходить трикутник ABC при повороті на 90° за годинниковою стрілкою навколо:

1) вершини С;

2) середини сторони АС;

3) точки О, яка лежить поза трикутником.

965. Накресліть квадрат ABCD. Побудуйте квадрат, у який переходить квадрат ABCD при повороті за годинниковою стрілкою:

1) навколо вершини D на 135°;

2) навколо центра квадрата на 45°.

966. Доведіть, що квадрат при повороті навколо точки перетину його діагоналей на кут 90° переходить у себе.

967. Доведіть, що рівносторонній трикутник при повороті навколо точки перетину його висот на кут 120° переходить у себе.

968. Через центр правильного трикутника проведено дві прямі, кут між якими дорівнює 60°. Доведіть, що відрізки цих прямих, які містяться між сторонами трикутника, рівні між собою.

969. Через центр квадрата проведено дві взаємно перпендикулярні прямі. Доведіть, що відрізки прямих, які містяться всередині квадрата, — рівні.

970*. Дано два кола. Поворотом на кут 45° одне коло переводиться в друге. Побудуйте центр цього повороту.

971*. Дано два рівні відрізки АВ і А'В'. Побудуйте центр повороту О, за якого точка А переходить у точку А', а точка В — у точку В'. Чи завжди можна знайти центр такого повороту?

972*. Нехай на сторонах АВ і ВС трикутника АВС побудовано квадрати ABPQ і BCMN. Квадрат ABPQ і трикутник АВС розміщені з різних боків відносно прямої АВ, а квадрат BCMNі трикутник АВС — з одного боку відносно прямої ВС. Доведіть, що відрізки PN i AC — рівні та перпендикулярні.

973*. При повороті навколо точки А на кут 60° кінець В відрізка ВС переходить у кінець С, а кінець С — у точку D. Доведіть, що точки A, B, C, D — вершини ромба.

974*. Виконайте поворот рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом 1 см навколо вершини прямого кута на 45°. Знайдіть площу спільної частини даного трикутника і трикутника, який одержали при повороті.

Проявіть компетентність

975. Опишіть ситуацію математичною мовою:

1) подивившись на годинник, Андрій побачив, що пройшло: а) чверть години; б) півгодини;

2) розкрили складаний ніж;

3) шматок мотузки склали вдвічі.

976. Стрілки годинника показують 12 годин. Який час показуватиме годинник, якщо хвилинна стрілка здійснить поворот:

1) на 60°;

2) на 120°;

3) на 150°?

977. Потрібно виготовитити розкладний столик так, щоб у закритому стані його кришка (стільниця) була розміщена, як показано на малюнку 305, у відкритому — як на малюнку 306. У якому місці потрібно помістити шип, поворотом навколо якого кришка столу переходила б з положення, зображеного на малюнку 305, у положення, зображене на малюнку 306? Під час розв’язування скористайтеся малюнком 307.

Мал. 305

Мал. 306

Мал. 307