Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

§ 22. ПАРАЛЕЛЬНЕ ПЕРЕНЕСЕННЯ

Подивіться на малюнок 308. Кожну точку фігури F змістили в одному й тому самому напрямі (уздовж паралельних прямих XX', АА', ВВ'…) на одну й ту саму відстань (ХХ' = АА' = ВВ'…). Одержали фігуру F'. Говорять, що фігура F перейшла у фігуру F' унаслідок паралельного перенесення на вектор .

Перетворення, за якого всі точки фігури зміщуються в одному й тому самому напрямі й на одну й ту саму відстань, називають паралельним перенесенням.

Мал. 308

ТЕОРЕМА

властивість паралельного перенесення

Паралельне перенесення є переміщенням.

Д а н о: перетворення, що є паралельним перенесенням.

Д о в е с т и: дане перетворення є переміщенням.

Д о в е д е н н я. Нехай X і Y — дві довільні точки фігури (мал. 309). Паралельне перенесення переводить їх у точки X’ і Y' фігури F'. Доведемо, що X'Y' = XY. За означенням паралельного перенесення, XX' = YY' і XX' || YY'. Тоді чотирикутник XYY'X' — паралелограм. У паралелограмі протилежні сторони рівні, отже, X'Y' = XY. (Випадок, коли рівні відрізки XX' і YY' лежать на одній прямій, розгляньте самостійно.)

Мал. 309

НАСЛІДОК 1. Паралельне перенесення має всі властивості переміщення.

НАСЛІДОК 2. При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе.

Справді, паралельність прямих випливає з паралельності відрізків XY і X'Y' (мал. 310). Якщо ж пряма паралельна напряму перенесення, то кожна точка прямої переходить у точку цієї самої прямої, а сама пряма переходить сама в себе.

Мал. 310

Щоб побудувати точку Х', у яку переходить точка Х при паралельному перенесенні на вектор скористайтеся наслідком 2:

проведіть паралельні прямі так, як показано на малюнку 310.

Задача. У рівнобічній трапеції гострий кут дорівнює 60°. Доведіть, що бічна сторона трапеції дорівнює різниці її основ.

Розв’язання Нехай а, b — основи, с — бічна сторона рівнобічної трапеції (мал. 311). Доведемо, що с = а - b. Виконаємо паралельне перенесення так, щоб точка В бічної сторони АВ перейшла в точку С. Тоді точка А перейде в точку K. Оскільки паралельне перенесення є переміщенням, то воно переводить кут у рівний йому кут. Отже, ∠DKC = ∠KAB = 60°. Тоді AKCD — рівносторонній і KD = с.

З іншого боку, KD = AD - AK = AD - BC = a - b. Маємо: с = a - b.

Мал. 311

Паралельне перенесення малюнків (вони однакові й періодично повторюються) є на вишивках, шпалерах, тканинах, паркетній підлозі, орнаментах. На малюнках 312-314 подано орнаменти на старовинній грецькій вазі (мал. 312), вітражі в соборі Паризької Богоматері (Франція, Середньовіччя) (мал. 313), на стіні палацу Дарія в Сузах (Давня Персія) (мал. 314).

Мал. 312

Мал. 313

Мал. 314

Дізнайтеся більше

1. Нехай деяке переміщення переводить фігуру F у фігуру F', а інше переміщення переводить фігуру F' у фігуру F". Тоді послідовне виконання цих переміщень називають їх композицією.

Одна з композицій має таку властивість: послідовне виконання двох осьових симетрій з паралельними осями симетрій є паралельним перенесенням.

Доведемо це твердження.

Нехай задано дві осьові симетрії з паралельними осями l₁ і l₂ (мал. 315). Симетрія з віссю l₁ точку Х переводить у точку Х', а симетрія з віссю l₂ точку Х переводить у точку Х". Точки Х, Х', Х" лежать на одній прямій, оскільки ХХ' 1 l₁ і Х'Х" і l₂, а прямі l₁ і l₂ — паралельні. Позначимо через А₁ і А₂ точки перетину прямої ХХ’’ з l₁ і l₂.

Тоді ХХ" = 2А₁А₂.

Мал. 315

Справді, ХХ" = ХА₁ + А₁Х' + Х'А₂ + А₂Х" = 2А₁Х' + 2Х А₂ = 2(А₁Х' + Х А₂) = 2А₁A₂. Отже, відрізок, що сполучає точки Х і Х', дорівнює відрізку 2А₁A₂, який визначений заданням прямих l₁ і l₂. А це означає, що композиція двох осьових симетрій з паралельними осями є паралель

ним перенесенням на відстань 2А1A₂.

2. Значний внесок у розвиток шкільної геометрії зробив відомий український математик Семенович Олександр Федорович (1920-2009), який пройшов шлях від учителя математики сільської школи у Свердловській області до професора, завідувача кафедри геометрії та методики викладання математики Черкаського педінституту. Наукові інтереси О. Ф. Семеновича формувалися під впливом видатних математиків-педагогів А. М. Фішер, С. О. Яновської, А. М. Колмогорова. У 1949 р. О. Ф. Семенович захистив дисертацію на тему «Про числення точок», і його подальша наукова діяльність була пов’язана з геометрією та її викладанням. Творчий доробок ученого становить понад 150 праць, серед яких книги з проективної геометрії та основ геометрії, навчально-методичні посібники для вчителів та учнів. Він один з авторів шкільних підручників з геометрії 60-70-х років ХХ ст.

О. Ф. Семенович

Пригадайте головне

1. Яке перетворення називають паралельним перенесенням?

2. Доведіть, що паралельне перенесення є переміщенням.

3. Поясніть, чому при паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе.

4. Назвіть властивості паралельного перенесення.

Розв'яжіть задачі

978'. На якому з малюнків 316, а — в, зображено паралельне перенесення, що переводить трикутник АВС в трикутник А' В' С' ?

Мал. 316

979'. При паралельному перенесенні точка А переходить у точку В (мал. 317). За клітинками побудуйте точку D, у яку переходить точка С при цьому паралельному перенесенні.

980°. Дано відрізок АВ і точку М, що не лежить на прямій АВ. Виконайте паралельне перенесення відрізка АВ так, щоб:

1) точка А перейшла в точку М;

2) точка В перейшла в точку М;

3) середина відрізка АВ перейшла в точку М.

Мал. 317

981°. Чи може пряма при паралельному перенесенні перейти сама в себе?

982°. Чи існує паралельне перенесення, за якого:

1) одна зі сторін прямокутника переходить в іншу його сторону;

2) одна сторона трикутника переходить в іншу його сторону?

983°. За клітинками побудуйте фігуру, у яку переходить трикутник ABC (мал. 318) при паралельному перенесенні, що переводить:

1) точку А в точку С;

2) точку С в точку В.

Мал. 318

984°. Накресліть прямокутник ABCD. Виконайте паралельне перенесення цього прямокутника так, щоб:

1) точка А перейшла в точку С;

2) точка D перейшла в точку А;

3) точка А перейшла в точку В.

985°. Відрізки АВ і CD — рівні. У якому випадку існує паралельне перенесення, що переводить один із цих відрізків у другий?

986°. Позначте точки А, В і С. Побудуйте точку, у яку переходить точка А при паралельному перенесенні, що переводить:

1) точку В в точку С;

2) точку С в точку В.

Розгляньте два випадки:

а) точка С лежить на прямій АВ; б) точка С не лежить на прямій АВ.

987°. Виконайте паралельне перенесення даного кола так, щоб його центр О перейшов у дану точку О₁.

988. За яких умов відрізок АВ можна перевести у відрізок CD за допомогою паралельного перенесення?

989. Дано паралельні прямі а і b. Скільки існує паралельних перенесень, що переводять одну із цих прямих у другу? Відповідь поясніть.

990. При паралельному перенесенні відрізка АВ точка А переходить у точку В, а точка В — у точку В'. Доведіть, що точка В — середина відрізка АВ'.

991. Виконайте паралельне перенесення квадрата АВCD зі стороною 4 см так, щоб точка А перейшла в точку О перетину діагоналей. Знайдіть площу спільної частини даного й утвореного квадратів.

992. Доведіть, що різниця основ трапеції більша за різницю бічних сторін і менша від їх суми.

Мал. 319

Якщо в умові задачі дано трапецію, то корисно паралельно перенести бічну сторону або діагональ так, як показано на малюнках 319 і 320. Потім використати властивості утвореного трикутника.

Мал. 320

993. Доведіть, що в рівнобічній трапеції кути при основі рівні.

994. Якщо діагоналі трапеції рівні, то трапеція — рівнобічна. Доведіть.

995. У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює 6 см, бічна сторона — 2 см, а кут між ними — 60°. Знайдіть меншу основу трапеції.

996*. У рівнобічній трапеції гострий кут дорівнює 60°. Доведіть, що більша основа трапеції дорівнює сумі меншої основи й бічної сторони.

997*. Доведіть, що сума діагоналей трапеції більша за суму її основ.

998*. Якщо в трикутнику дві медіани рівні, то він рівнобедрений. Доведіть.

Проявіть компетентність

999*. Виокремте базовий елемент орнаменту та опишіть математичною мовою принцип побудови такого орнаменту:

1) на малюнку 321; 2) на малюнку 322; 3) на малюнку 323.

Мал. 321

Мал. 322

Мал. 323

1000. Села А і В розміщені на різних берегах річки (мал. 324). У якому місці потрібно побудувати міст, щоб шлях між селами був найкоротшим?