Підручник Геометрія 9 клас - М. І. Бурда - Оріон 2017 рік

Розділ 5 Геометричні перетворення

§ 23. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДІБНОСТІ

Подивіться на малюнок 325. З одного плану ділянки місцевості виготовили інший. При цьому відношення відстаней між відповідними парами точок на планах рівні й дорівнюють 2,5 (відношенню масштабів):

Можна сказати, що один план одержали з іншого перетворенням подібності.

Мал. 325

Мал. 326

Перетворення, що переводить фігуру F у фігуру F', за якого відстані між відповідними точками змінюються в тому самому відношенні k > 0, називають перетворенням подібності, або подібністю (мал. 326). Це означає, що коли довільні точки X і Y фігури F при перетворенні подібності переходять у точки X' і Y' фігури F', то X'Y' = k ∙ XY, де k > 0. Число kназивають коефіцієнтом подібності.

Чи існує зв’язок між перетворенням подібності й переміщенням? Так. Переміщення можна розглядати як перетворення подібності з коефіцієнтом k = 1, тобто переміщення є окремим випадком перетворення подібності.

ТЕОРЕМА

властивість перетворення подібності

При перетворенні подібності точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.

Д а н о: перетворення, що є перетворенням подібності.

Д о в е с т и: 1) точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій; 2) зберігається порядок взаємного розміщення точок на прямій.

Д о в е д е н н я. Нехай точки А, В і С лежать на одній прямій і точка В лежить між точками А і С (мал. 327). Тоді АС = АВ + ВС. Деяке перетворення подібності переводить точки А, В і С в точки А', В' і С . За означенням перетворення подібності маємо:

А'С'= k ∙ АС = k ∙ (AB + BC) = k ∙ AB + k ∙ BC = A'B' + B'C'.

З рівності А'С' = А'В' + В'С' випливає, що точки А', В' і С' лежать на одній прямій, а точка В' лежить між точками А' і С'.

Мал. 327

НАСЛІДОК. Перетворення подібності прямі переводить у прямі, промені — у промені, відрізки — у відрізки.

Приймемо без доведення ще таку властивість: перетворення подібності переводить кут у рівний йому кут.

Властивості перетворення подібності подано в таблиці 30.

Таблиця 30

Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.

Якщо фігура F подібна фігурі F', то записують F ~ F' або (коли треба вказати коефіцієнт подібності)

Подібні фігури добре відомі з практики. Наприклад, подібними є скановані копії документа, які зберегли в різних, але пропорційних форматах, дві однакові географічні карти різного масштабу, те саме фото, яке роздивляємось на смартфоні й на планшеті тощо. Прикладами подібних геометричних фігур можуть бути будь-які два квадрати, два кола.

Із властивостей перетворення подібності випливає, що в подібних фігурах відповідні кути рівні, а відповідні відрізки — пропорційні. Зокрема, у подібних многокутниках АВС… Е і А' В' С'… Е' (мал. 328):

Мал. 328

ТЕОРЕМА

про відношення площ подібних многокутників     

Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Д а н о: F i F' — подібні многокутники з коефіцієнтом подібності k (мал. 329).

Мал. 329

Д о в е с т и:

Д о в е д е н н я. Розіб’ємо многокутник F на трикутники Д₁, Д₂, … , Д_n (мал. 329). Оскільки многокутники F i F' подібні, то існує перетворення подібності, яке переводить многокутник F у многокутник F', а трикутники розбиття многокутника F — у трикутники Д'₁, Д'₂, … , Д'_n відповідного розбиття многокутника F'. Площа многокутника F дорівнює сумі площ трикутників Д₁, Д₂, … , Дn, а площа многокутника F' дорівнює сумі площ трикутників Д'₁, Д' ₂, … , Д'_n. Якщо коефіцієнт подібності дорівнює k, то сторони й висоти трикутників многокутника F' у k разів більші (мал. 323) за відповідні сторони й висоти трикутників многокутника F.

Звідси випливає:

Додавши ці рівності почленно, дістанемо:

Отже,

Цей факт справджується для будь-яких фігур.

Коефіцієнт подібності k дорівнює відношенню довжин відповідних лінійних елементів фігур F i F'. Тому площі подібних фігур відносяться, як квадрати їх відповідних лінійних елементів.

Дізнайтеся більше

Розглянемо особливий спосіб побудови подібних фігур (мал. 330, 331). Нехай F — дана фігура. Позначимо довільну точку О. Через кожну точку Х фігури F проведемо промінь ОХ і відкладемо на ньому відрізок ОХ', що дорівнює k ∙ OX. Одержимо шукану фігуру F'.

На малюнку 330 точки Х і Х' лежать на одному промені ОХ, а на малюнку 331 — на доповняльних променях ОХ і ОХ'. Щоб розрізняти ці випадки, вважають, що в першому випадку k > 0, а в другому — k < 0. Фігури F і F' називають гомотетичними.

Перетворення називається гомотетією, якщо воно переводить кожну точку Х фігури F у точку Х' фігури F' так, що ОХ' = | k | OX, де k — будь-яке число, відмінне від нуля, О — фіксована точка, Х' є ОХ.

Число k називають коефіцієнтом гомотетії, точку О — центром гомотетії.

На малюнку 332 трикутник АВС при гомотетії з центром О та коефіцієнтом k = 3 переходить у трикутник А₁В₁С₁, а при гомотетії з коефіцієнтом k = -2 й тим самим центром — у трикутник А₂В₂С₂.

Мал. 330

Мал. 331

Мал. 332

Пригадайте головне

1. Що таке перетворення подібності?

2. Доведіть, що при перетворенні подібності точки, які лежать на прямій, переходять у точки, які теж лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.

3. У які фігури переходять прямі, промені, відрізки, кути під час перетворення подібності?

4. Які дві фігури називаються подібними? Наведіть приклади подібних фігур.

5. Сформулюйте теорему про відношення площ подібних многокутників.

Розв'яжіть задачі

1001'. На якому з малюнків 333, а — б зображено перетворення подібності, що переводить трикутник АВС в трикутник А'В'С'?

Мал. 333

1002°. На малюнку 334 перетворення подібності переводить відрізок АВ у відрізок А'В'. За клітинками побудуйте точки, у які переходять точки С і D відрізка АВ при цьому перетворенні.

1003°. На малюнку 335 перетворення подібності переводить відрізок ОА у відрізок ОА'. Скориставшись клітинками, знайдіть коефіцієнт подібності.

Мал. 334

Мал. 335

1004°. За якої умови дві подібні фігури — рівні?

1005°. Побудуйте дві подібні, але не рівні фігури.

1006°. Чи достатньо лише рівності відповідних кутів двох многокутників або лише пропорційності відповідних сторін, щоб ці многокутники були подібними?

1007°. Чи будуть подібними:

1) два будь-які квадрати;

2) два будь-які прямокутники;

3) два будь-які кола?

1008°. Чому дорівнює відношення площ двох подібних многокутників, якщо коефіцієнт їх подібності дорівнює:

1) 0,5;

2) 2;

3) 5?

1009°. Площі двох подібних многокутників дорівнюють 16 см і 32 см.

Знайдіть коефіцієнт подібності многокутників.

1010. Чи подібні два ромби, якщо:

1) кут одного ромба дорівнює 45°, а кут другого — 135°;

2) у кожного з них сторона дорівнює меншій діагоналі?

1011. Сторони одного прямокутника дорівнюють 12 см і 8 см, а сторони другого прямокутника — 6 см і 9 см. Чи подібні ці прямокутники? Відповідь поясніть.

1012. Кожну діагональ прямокутника поділено на три рівні частини й точки поділу послідовно сполучено відрізками. Чи подібний даному прямокутнику утворений чотирикутник?

1013. Карти одного району виготовлено в масштабах 1: 25 000 і 1: 100 000. Який коефіцієнт подібності цих карт?

1014. Середня лінія трапеції ділить її на дві частини. Чи подібні ці частини між собою? Чи подібна якась із цих частин даній трапеції?

1015. Сторони одного чотирикутника дорівнюють 16 см, 24 см, 32 см і 40 см. Менша сторона подібного йому чотирикутника дорівнює 14 см. Знайдіть сторони другого чотирикутника.

1016. Знайдіть відношення площ двох квадратів, якщо їхні сторони відносяться, як:

1) 1 : 4;

2) 2 : 5;

3) m : n.

1017. Як відносяться сторони двох квадратів, якщо їхні площі відносяться, як:

1) 4 : 9;

2) 1 : 16;

3) m : n?

1018.Площі двох квадратів відносяться, як 1 : 4. Знайдіть периметр другого квадрата, якщо периметр першого дорівнює:

1) 8 см;

2) 12 см;

3) 16 см.

1019.Відповідні сторони двох подібних многокутників дорівнюють 2 см і 4 см. Знайдіть площу більшого многокутника, якщо площа меншого дорівнює:

1) 14 см²;

2) 25 см²;

3) 30 см².

1020. У чотирикутнику ABCD на відрізках АВ, АС і AD позначено відповідні їм середини — K, L, M. Чи подібні чотирикутники ABCD I AKLM?

1021. Чи подібні трикутники ABC і AMN, якщо MN — середня лінія трикутника ABC? Відповідь поясніть.

1022*. Пряма ділить трапецію на дві подібні трапеції. Порівняйте довжину відрізка цієї прямої, що міститься між сторонами трапеції, з довжиною її середньої лінії.

1023*. Пряма, паралельна основам трапеції, ділить її на дві подібні трапеції. У якому відношенні ця пряма ділить бічні сторони трапеції, якщо її основи відносяться, як:

1) 1 : 4;

2) 2 : 3?

1024*. Упишіть у даний трикутник квадрат, дві вершини якого лежать на одній стороні, а дві інші вершини — на двох інших сторонах трикутника. За малюнком 336 складіть план побудови.

1025*. У трикутник АВС впишіть ромб із даним гострим кутом а так, щоб одна з його сторін лежала на основі АС трикутника, а дві його вершини — на бічних сторонах АВ і ВС трикутника.

Мал. 336

Проявіть компетентність

1026. Коротке плече «журавля» колодязя має довжину 2 м. Коли кінець короткого плеча опустився на 0,4 м, кінець довгого піднявся на 0,9 м (мал. 337). Яка довжина довгого плеча?

Мал. 337

1027. На відстані 21 м одна від одної ростуть дві сосни. Висота першої сосни становить 39 м, а висота другої — 11 м. Знайдіть відстань між їхніми верхівками. Відповідь подайте в метрах.

1028. У давньому Китаї зародилася гра (за легендою, її придумав китаєць Тан) — з певних геометричних фігур («танграмів»), складали різні силуети. Танграми вирізали із чорного картону або випилювали з дерева, тому силуети виходили правдоподібними (мал. 338, 339). На малюнку 340 ви бачите квадрат ABCD, у якому проведено відрізки — лінії розрізу квадрата для одержання танграмів. Точки K, М, L, G, I — середини відповідних відрізків.

1) Форму яких геометричних фігур мають танграми:

а) на малюнку 338;

б) на малюнку 339?

Відповідь обґрунтуйте.

2) Чи є серед танграмів подібні фігури:

а) на малюнку 338;

б) на малюнку 339?

Відповідь обґрунтуйте.

3) Чи є серед танграмів подібні фігури з коефіцієнтом 1:

а) на малюнку 338;

б) на малюнку 339?

Відповідь обґрунтуйте.

4) Якщо серед танграмів є подібні фігури, то який коефіцієнт їх подібності:

а) на малюнку 338;

б) на малюнку 339?

Відповідь обґрунтуйте.

5) Скільки рівних і скільки подібних танграмів використали для складання:

а) силуету на малюнку 338;

б) силуету на малюнку 339;

в) силуетів на обох малюнках разом?

6) Придумайте інший силует, який можна скласти із танграмів.

1029. План земельної ділянки в масштабі 1 : 200 виконано на аркуші 407 х 288 мм. Чи поміститься на аркуші 288 х 203 мм цей план у масштабі 1 : 300?

Мал. 338

Мал. 339

Мал. 340