Збірник самостійних та контрольних робіт - Математика 10 клас - 2018

ГЕОМЕТРІЯ

ТЕМА 2. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 2

Нульовий (підготовчий) варіант

У завданнях 1-6 виберіть правильну відповідь.

1. Яке з наведених тверджень неправильне (a, b, m, n — прямі, α — площина)?

A. Якщо m ⊥ n, a||m і b||n, то a ⊥ b.

Б. Якщо m, n лежать у площині α і перетинаються, a ⊥ m і a ⊥ n, то a ⊥ α.

B. Якщо a||b і a ⊥ α, то b||α.

Г. Якщо a ⊥ α і b ⊥ α, то a||b.

2. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Яка з наведених прямих перпендикулярна до площини ACC₁?

A. DD₁.

Б. B₁D₁.

B. BD₁.

Г. DC.

3. Із точки A проведено перпендикуляр AD до площини трикутника ABC. Визначте вид трикутника ABC, якщо ∠A = 60° і BD = CD.

A. Прямокутний.

Б. Рівнобедрений.

B. Різносторонній.

Г. Рівносторонній.

4. У прямокутному трикутнику ABC відрізок AB є гіпотенузою. MA — перпендикуляр до площини трикутника. Яке з наведених тверджень неправильне?

A. MA ⊥ AB.

Б. MA ⊥ AC.

B. MB ⊥ BC.

Г. MC ⊥ BC.

5. Через точку O перетину діагоналей квадрата ABCD до площини квадрата проведено перпендикуляр SO завдовжки 5√2 см. Знайдіть кут між прямою AS і площиною квадрата, якщо AB = 10 см.

A. 30°.

Б. 45°.

B. 60°.

Г. 90°.

6. На рисунку SM і CM — висоти трикутників SAB і CAB. Знайдіть кут між площинами SAB і CAB, якщо SM = MC = SC.

A. 60°.

Б. 30 °.

B. 90°.

Г. 45°.

7. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Установіть відповідність між твердженням (1-4) і прямою (А-Д), для якої виконується це твердження.

8. PA — перпендикуляр до площини трикутника ABC, PC ⊥ BC.

1) Визначте вид трикутника ABC.

2) Знайдіть відстань від точки P до площини трикутника, якщо AB = 13 см, BC = 5 см, а пряма PC утворює з площиною трикутника кут 30°.

Наведіть повне розв'язання задач 9 і 10.

9. Кінці відрізка завдовжки 12 см належать двом перпендикулярним площинам. Знайдіть відстані від кінців відрізка до кожної з площин, якщо цей відрізок утворює з площинами кути 45° і 60°.

10. Доведіть, що якщо пряма BP перпендикулярна до площини трикутника ABC, у якому ∠C = 90°, то площини PAC і PBC перпендикулярні.

Варіант 1

У завданнях 1-6 виберіть правильну відповідь.

1. Яке взаємне розміщення прямих а і b, якщо пряма а перпендикулярна до площини α, а пряма b паралельна площині α?

A. Паралельні.

Б. Перпендикулярні.

B. Мимобіжні.

Г. Перпендикулярні або мимобіжні.

2. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Яка з наведених прямих перпендикулярна до площини DCC₁?

А. AA₁.

Б. А₁D₁.

В. D₁B.

Г. BC₁.

3. У трикутнику ABC ∠A = 35°, ∠B = 45°. Із точки A проведено перпендикуляр AD до площини трикутника ABC. Розташуйте відрізки DA, DB, DC у порядку зростання їхніх довжин.

A. DB, DC, DA.

Б. DC, DB, DA.

B. DA, DC, DB.

Г. DA, DB, DC.

4. У прямокутному трикутнику ABC сторона AC є гіпотенузою. OA — перпендикуляр до площини трикутника. Укажіть лінійний кут двогранного кута між площинами OBC і ABC.

A. ∠ACO.

Б. ∠BAO.

B. ∠OBA.

Г. ∠AOB.

5. Через сторону AD прямокутника ABCD проведено площину α. BO — перпендикуляр до площини α. Укажіть кут між прямою BD і площиною α.

A. ∠ODB.

Б. ∠ADC.

B. ∠BDA.

Г. ∠BOD.

6. Кут між площинами трикутників ABC і ABK дорівнює 60°. CM і KM — висоти цих трикутників, CM = KM = 4√3 см. Знайдіть довжину відрізка CK.

A. 2√3 см.

Б. 4√3 см.

B. 6 см;

Г. 8√3 см.

7. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Установіть відповідність між твердженням (1-4) і прямою (А-Д), для якої виконується це твердження.

8. PA — перпендикуляр до площини паралелограма ABCD, PB ⊥ BC.

1) Визначте вид паралелограма ABCD.

2) Знайдіть відстань від точки P до площини паралелограма, якщо AD = 6 см, AB = 8 см, PC = 26 см.

Наведіть повне розв'язання задач 9 і 10.

9. Кінці відрізка AB лежать у двох перпендикулярних площинах. AM і BK — перпендикуляри, проведені з кінців відрізка AB до цих площин. Знайдіть проекції відрізка AB на кожну з площин, якщо AB = 65 м, AM = 25 м, BK = 39 м.

10. ABCD — ромб. Через вершину A проведено пряму AM, перпендикулярну до сторін AB і AD ромба. O — точка перетину діагоналей ромба. Доведіть, площини MBD і MOA перпендикулярні.

Варіант 2

У завданнях 1-6 виберіть правильну відповідь.

1. Яке взаємне розміщення прямих а і b, якщо пряма а перпендикулярна до площини α і пряма b перпендикулярна до площини α?

A. Перпендикулярні.

Б. Паралельні.

B. Мимобіжні.

Г. Паралельні або мимобіжні.

2. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Яка з наведених площин перпендикулярна до прямої AC?

A. A₁B₁C₁.

Б. ACC₁.

B. BCC₁.

Г. BDD₁.

3. У трикутнику ABC ∠A = 105°, ∠B = 25°.

Із точки B проведено перпендикуляр BD до площини трикутника ABC. Розташуйте відрізки DA, DB, DC у порядку зростання їхніх довжин.

A. DA, DB, DC.

Б. DB, DC, DA.

B. DB, DA, DC.

Г. DC, DA, DB.

4. У прямокутному трикутнику ABC відрізок AC є гіпотенузою. OC — перпендикуляр до площини трикутника. Укажіть лінійний кут двогранного кута між площинами OAB і ABC.

A. ∠OBC.

Б. ∠OAB.

B. ∠OAC.

Г. ∠OCB.

5. Через сторону AD прямокутника ABCD проведено площину α. CO — перпендикуляр до площини а. Укажіть кут між прямою CA і площиною α.

A. ∠DAO.

Б. ∠CAB.

B. ∠ACO.

Г. ∠CAO.

6. Кут між площинами квадратів ABCD і ABC₁D₁ дорівнює 60°. Знайдіть довжину відрізка DD₁, якщо AB = 5 см.

A. 5√2 см.

Б. 5√3 см.

B. 5 см.

Г. 10√2 см.

7. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Установіть відповідність між твердженням (1-4) і прямою (А-Д), для якої виконується це твердження.

8. MA — перпендикуляр до площини паралелограма ABCD, O — середина BD і MO ⊥ BD.

1) Визначте вид паралелограма ABCD.

2) Знайдіть відстань від точки M до площини паралелограма, якщо ∠ADC = 60°, AD = 24 см, MO = 13 см.

Наведіть повне розв'язання задач 9 і 10.

9. Кінці відрізка AB лежать у двох перпендикулярних площинах. AC і BD — перпендикуляри, проведені з кінців відрізка AB до цих площин. Знайдіть проекції відрізка AB на кожну з площин, якщо AB = 25 м, AC = 15 м і BD = 7 м.

10. ABCD — прямокутник. Через вершину A проведено пряму AH, перпендикулярну до сторін AB і AD прямокутника. Доведіть, що площини HCD і HAD перпендикулярні.